2021-2022學(xué)年浙江省金華市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年浙江省金華市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸的正半軸上，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】設(shè)，然后對(duì)化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸的正半軸上可求出的范圍，從而可求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限【詳解】設(shè)，所以，則，即，所以，，故該點(diǎn)在第二象限，故選：B．2．平行四邊形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近B），則（

）A． B．C． D．．【答案】D【分析】用向量的加法和數(shù)乘法則運(yùn)算.【詳解】由題意：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解題時(shí)可根據(jù)加法法則，從向量的起點(diǎn)到終點(diǎn)，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得.3．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和共線定理，列方程求出的值．【詳解】向量，，所以，，又，所以，解得．故選：B．4．已知矩形ABCD的一邊AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N分別在邊BC，DC上，當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，有.若，x+y＝3，則線段MN的最短長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C．2 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)M，N滿足的條件，將化成的表達(dá)式，從而判斷出矩形ABCD為正方形；再將，左邊用表示出來(lái)，結(jié)合x(chóng)+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.【詳解】當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，有所以AD＝AB，則矩形ABCD為正方形，設(shè)，則則，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.故NC+MC＝4，則（當(dāng)且僅當(dāng)MC＝NC＝2時(shí)取等號(hào)）.故線段MN的最短長(zhǎng)度為故選：D.5．若且，則的最大和最小值分別為，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，再次利用復(fù)數(shù)差的模的幾何意義得到，從而可得的值.【詳解】因?yàn)椋蕪?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離小于或等于2，所以在以為圓心，半徑為2的圓面內(nèi)或圓上，又表示到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，故該距離的最大值為，最小值為，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)中的幾何意義，該幾何意義為復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，注意也有明確的幾何意義（可把化成），本題屬于中檔題.6．已知球的半徑為，一等邊圓錐.(圓錐母線長(zhǎng)與圓錐底面直徑相等)位于球內(nèi)，圓錐頂點(diǎn)在球上，底面與球相接，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，求得圓錐的高，由球的截面性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理可得，由圓錐的表面積公式可得所求．【詳解】如圖，設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，則，解得，則圓錐的表面積為，故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)建立等式得到.7．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原．小明在和家人一起包粽子時(shí)，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開(kāi)后得到由六個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】考慮當(dāng)丸子與六面體各個(gè)面都相切時(shí)的情況，利用等體積的方法求解出此時(shí)丸子的半徑，則最大體積可求解出.【詳解】六面體每個(gè)面都是等邊三角形且每個(gè)面的面積，由對(duì)稱性可知該六面體是由兩個(gè)正四面體合成的，所以四面體的高為，所以四面體的體積為，所以六面體的體積為，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，若內(nèi)部丸子的體積最大，則丸子與六個(gè)面都相切，連接丸子的球心與六面體的五個(gè)頂點(diǎn)，將六面體分為六個(gè)三棱錐，設(shè)此時(shí)丸子的半徑為，所以，所以，所以丸子的體積為，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析丸子與六面體的位置關(guān)系以及采用等體積法求解丸子的半徑，本例中六面體是規(guī)則對(duì)稱圖形，其體積的計(jì)算方式有兩種：（1）底面積高，求解體積；（2）利用丸子的半徑作為高，六面體的每個(gè)面作為底面，求六個(gè)三棱錐的體積之和即為六面體體積.8．已知半球與圓臺(tái)有公共的底面，圓臺(tái)上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺(tái)側(cè)面積取最大值時(shí)，圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)，，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交球面于點(diǎn)，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進(jìn)而可表示出圓臺(tái)的側(cè)面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值即可【詳解】如圖1所示，設(shè)，，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交球面于點(diǎn)，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，則圓臺(tái)側(cè)面積，則，令，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．當(dāng)時(shí)，，則．在軸截面中，為圓臺(tái)母線與底面所成的角，在中可得，故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題是立體幾何中最值的綜合性問(wèn)題．旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題常需正確做出軸截面圖進(jìn)行分析，最值問(wèn)題要注意“選元”“列式”“討論最值”三個(gè)環(huán)節(jié)，考查線面角的余弦值，屬于較難題二、多選題9．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角可為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)可得；分別驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)中的的取值，根據(jù)可確定正確選項(xiàng).【詳解】由余弦定理得：，又，，整理可得：；對(duì)于A，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，，則，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．如圖，四邊形ABCD為直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】直接由向量的加減法法則、平面向量基本定理即可解決問(wèn)題.【詳解】由，知A正確；由，得知B正確；由知C正確；由N為線段DC的中點(diǎn)知，知D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．下列說(shuō)法正確的有（

）A．任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比大小B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，C．若，且，則D．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為3【答案】BD【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合反例，以及復(fù)數(shù)的模，判斷命題的真假即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，所以A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是0時(shí)，復(fù)數(shù)是0，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，滿足，但，所以C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為單位圓，則的幾何意義，是單位圓上的點(diǎn)到的距離，它的最大值為3，所以D正確；故選：BD.12．如圖，已知為正方體，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，則（）A． B．C．向量與向量的夾角是 D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【分析】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及異面直線所成角的向量求法，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，，，，所以，，因此；故A正確；又，，所以，，因此，即B正確；因?yàn)?，，所以，因此向量與向量的夾角是；故C錯(cuò)；因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，所以，，則，又，所以，又異面直角的夾角大于且小于等于，所以異面直線與所成的角為；即D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何體中空間角的求法：（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過(guò)作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對(duì)應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過(guò)計(jì)算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來(lái)求空間角即可.三、填空題13．已知向量，，且，則__________.【答案】5【分析】由已知可得，，代入即可求出答案.【詳解】由可得，，即，解得，，所以，所以.故答案為：5.14．已知復(fù)數(shù)集合，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形的面積為_(kāi)_______【答案】【分析】先由復(fù)數(shù)的幾何意義確定集合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，再確定集合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形即為集合與集合所對(duì)應(yīng)區(qū)域的重疊部分，結(jié)合圖像求出面積即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)集合，所以集合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榕c所圍成的正方形區(qū)域；又，設(shè)，且,,，所以，設(shè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以，又,，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形即為集合與集合所對(duì)應(yīng)區(qū)域的重疊部分，如圖中陰影部分所示，由題意及圖像易知：陰影部分為正八邊形，只需用集合所對(duì)應(yīng)的正方形區(qū)域的面積減去四個(gè)小三角形的面積即可.由得，由得，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考復(fù)數(shù)的幾何意義，以及不等式組所表示平面區(qū)域問(wèn)題，熟記復(fù)數(shù)的幾何意義，靈活掌握不等式組所表示的區(qū)域即可，屬于?？碱}型.15．正五角星是一個(gè)與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，，，，，是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，且，若，則__________（用表示）.【答案】【分析】使用平面向量線性運(yùn)算知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知，結(jié)合正五角星的圖形，有，∵與方向相同，，∴.故答案為：.16．如圖，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，BE＝2，BC＝4，的面積為2，點(diǎn)P為線段DE上一點(diǎn)，當(dāng)三棱錐P﹣ACE的體積為時(shí)，＝__．【答案】【分析】過(guò)A作AF⊥BC的延長(zhǎng)線，垂足為F，證明AF⊥平面BCDE，再由已知求得AF，進(jìn)一步求出三棱錐D﹣ACE的體積，利用求得，進(jìn)一步得到答案.【詳解】解：如圖，過(guò)A作AF⊥BC的延長(zhǎng)線，垂足為F，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AF⊥平面BCDE，由BE＝2，BC＝4，的面積為，得，∴AF＝，則＝4×2×；∵＝．∴，則．故答案為：．四、解答題17．已知向量，，，其中A是的內(nèi)角.（1）求角A的大??；（2）若角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由和三角恒等變換可得答案；（2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋从?，（），，（），又A為的內(nèi)角，所以；（2）由，得為鈍角，從而由正弦定理，得所以，，則又，所以，則18．如圖，在中，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，是中點(diǎn).（Ⅰ）若，，，且，求的坐標(biāo)和模（Ⅱ）若與的交點(diǎn)為，又，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由，根據(jù)，求得，，進(jìn)而求得向量坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量的模；（Ⅱ）因?yàn)?，得到，進(jìn)而得到和，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由是中點(diǎn)，可得，又由，且，，可知，，且.（Ⅱ）如圖所示，因?yàn)?，所以，可以化?jiǎn)為：，又，所以①不妨再設(shè)，即，由是的中點(diǎn)，所以，即②由①②，可得且，解得.19．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)列不等式求解；（2）也是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，所以，解得，所以（2）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，所以.20．如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=DC=AC，且CP⊥平面PAD，E為AD的中點(diǎn).(1)證明：AD⊥平面PCE；(2)若，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意證得AD⊥CE，AD⊥CP，再由線面垂直的判定定理即可證明；（2）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EC為y軸，過(guò)點(diǎn)E作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PCE和平面的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，∵AD=DC=AC，∴△ADC為等邊三角形，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥CE，∵CP⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AD⊥CP，∵CP∩CE=C，CP，CE平面PCE，∴AD⊥平面PCE.（2）如圖，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EC為y軸，過(guò)點(diǎn)E作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，0），設(shè)點(diǎn)A（1，0，0），則C（0，，0），由（1）知AD⊥平面PCE，設(shè)P（0，y，z），（y>0，z>0），，，解得，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，由（1）知，平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的余弦值為：21．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中點(diǎn)（1）求證：BC1∥平面A1DC；（2）求直線AB與平面DCC1所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接AC1，交A1C于E，連接DE，由中位線的性質(zhì)知DE∥BC1，再由線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面DCC1的法向量，利用線面角的向量公式，即得解【詳解】（1）證明：連接AC1，交A1C于E，連接DE，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴E是AC1的中點(diǎn)，∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC1，∵DE?平面A1DC，BC1平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）取AC的中點(diǎn)O，連接A1O，BO，∵△ABC和△A1AC都是正三角形，∴A1O⊥AC，BO⊥AC，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BO，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝2，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C1（0，2，），∴＝（，1，0），＝（，，0），＝（，，），設(shè)平面DCC1的法向量為＝（x，y，z），則，即，令x＝3，則y＝，z＝﹣1，∴＝（3，，﹣1），設(shè)直線AB與平面DCC1所成的角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴tanθ＝，故直線AB與平面DCC1所成角的正切值為.22．如圖，在四棱柱