拉普拉斯變換2

Chapter13拉普拉斯變換主要內(nèi)容1.拉普拉斯變換的定義；2.拉普拉斯變換的基本性質(zhì)；3.拉普拉斯反變換的部分分式法（分解定理）；4.KCL、KVL的運(yùn)算形式、運(yùn)算阻抗(導(dǎo)納)、運(yùn)算電路；5.運(yùn)用拉普拉斯變換分析線性電路?！?3-1拉普拉斯變換的定義定義在[0,)即(0t<)區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉氏變換式為F(s)

①F(s)稱為f(t)

的象函數(shù)，f(t)

稱為F(s)

的原函數(shù)。

1、拉普拉斯變換②拉氏變換是一種積分變換，把f(t)

與e-st

構(gòu)成的乘積由

t=0-到∞對t進(jìn)行積分，定積分的值不再是t的函數(shù)，而是復(fù)變數(shù)s的函數(shù)。③

拉氏變換把時(shí)域函數(shù)f(t)

變換到s

域復(fù)變函數(shù)F(s)

。④運(yùn)算法（復(fù)頻率分析）：應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析。s=+j為復(fù)數(shù)，有時(shí)稱為復(fù)頻率。2、拉普拉斯反變換拉氏變換

拉氏反變換

例13-1：求以下函數(shù)的象函數(shù)。(1)單位階躍函數(shù)f(t)=(t)

(2)單位沖激函數(shù)f(t)=(t)

(3)指數(shù)函數(shù)f(t)=e

t解：(1)單位階躍函數(shù)(t)

的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)(t)

的象函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)e

t

的象函數(shù)例13-2：求f(t)=(t-T)的象函數(shù)。解：推論：§13-2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

1.線性性質(zhì)2.微分性質(zhì)

例13-3：若（1）,（2）,求其象函數(shù)。解:（1）（2）3.積分性質(zhì)例13-4：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。解：(1)(2)例13-5：利用積分性質(zhì)求單位斜坡函數(shù)f(t)=t

的象函數(shù)。解：4.延遲性質(zhì)

例13-6：求下圖所示矩形脈沖的象函數(shù)。解：常用函數(shù)的拉氏變換表（表13-1PP294）?！?3-3拉普拉斯反變換的部分分式展開2.用部分分式展開有理分式F(s)

時(shí)，首先要把有理分式化為真分式，若n>m

，則為真分式；若n=m，則將化為1.電路響應(yīng)的象函數(shù)通常表示為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的s

的多項(xiàng)式之比，也就是s

的一個(gè)有理分式。3.展開有理分式F(s)

時(shí)，要求出D(s)

=0的根，再根據(jù)根的不同情況展開。①D(s)

=0有n個(gè)單根，n個(gè)單根分別為p1,p2,…,pn,則可展開為為待定系數(shù)例13-7：求的原函數(shù)f(t)。解：∵∴的根分別為又同理故②D(s)

=0具有共軛復(fù)根，p1=+j,p2=-j,則因F(s)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式之比，故k1,k2

為共軛復(fù)數(shù)設(shè),則,有例13-8：求的原函數(shù)f(t)。解：D(s)

=s2+2s+5=0

的根分別為p1=-1

+j2,p2=-1

-j2

③D(s)

=0具有重根，則應(yīng)含有(

s-p1)m的因式現(xiàn)設(shè)D(s)

=0中含有(

s-p1)m

的因式，其余為單根，F(xiàn)(s)可分解為b,a,只要含有共軛復(fù)數(shù)，其系數(shù)則為共軛復(fù)數(shù);這里例13-9：求的原函數(shù)f(t)。解：令D(s)

=(s+1)3s2=0,有p1=-1為三重根,p2=0

為二重根這里§13-4運(yùn)算電路2.元件電壓、電流關(guān)系的運(yùn)算形式1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式①電阻R的電壓、電流關(guān)系②電感L的電壓電流關(guān)系sL

為電感L的運(yùn)算阻抗，為運(yùn)算導(dǎo)納，或，為反映作用的附加電壓源電壓和附加電流源電流。③電容C

的電壓電流關(guān)系和分別為C的運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納。和分別為反映的附加電壓源電壓和附加電流源電流。④耦合電感的運(yùn)算電路

a.為互感運(yùn)算阻抗，和都是附加電壓源。b.附加電壓源的極性與

i1,i2

的進(jìn)端是否同名端有關(guān)。3.用運(yùn)算法分析串聯(lián)電路電壓源電壓為，電感電流初始值，電容電壓初始值由，則令為RLC

串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗，在零初始條件下，，則有

例13-10：用拉氏變換求RLC

串聯(lián)電路的(a)階躍響應(yīng)；(b)零輸入響應(yīng)。（設(shè)，欠阻尼）。解：(a)，此時(shí)有令，則得查表可得：(b)設(shè)，則有查表可得:(c)如求沖激響應(yīng)，則有§13-5應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路1.相量法正弦量→相量求解正弦交流電路→求解以相量為變量的線性代數(shù)方程相量→正弦量相量方程：描述電路的激勵相量與響應(yīng)相量的關(guān)系，求解正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2.運(yùn)算法時(shí)間函數(shù)→象函數(shù)求解時(shí)間函數(shù)→求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程象函數(shù)→時(shí)間函數(shù)運(yùn)算方程：描述電路的激勵和響應(yīng)的象函數(shù)關(guān)系，求解零狀態(tài)響應(yīng)。結(jié)論：相量法中各種計(jì)算方法和定理完全可以移用于運(yùn)算法。

例13-11：圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，試用運(yùn)算法求解電流i1(t)。解：∵∴運(yùn)算電路如圖所示。設(shè)回路電流為Ia(s)、Ib(s)，方向如圖中所示，則有

例13-12：下圖所示為RC

并聯(lián)電路，激勵為電流源is(t)，若(1)iS(t)=(t)

A，(2)iS(t)=

(t)

A，試求響應(yīng)u(t)。解：運(yùn)算電路如右圖，則有（1）當(dāng)iS(t)=(t)A

時(shí)，(2)當(dāng)iS(t)=

(t)A

時(shí)，例13-13：下圖所示電路中，電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)將開關(guān)S閉合，已知uS1=2e-2t

V,uS2=5V,R1=R2=5,L=1H,

求t

0時(shí)的uL(t)。解：∵∴運(yùn)算電路如右圖所示。應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法（彌爾曼定理），有

例13-14：下圖所示電路中，已知R1=R2=1,L1

=L2

=0.1H,M=0.05H,激勵為直流電壓

US=1V，試求t=0時(shí)，開關(guān)閉合后的電流

i1(t)和i2(t)。解：運(yùn)算電路如右圖所示，回路電流方程為解得：

例13—15：下圖所示電路，開關(guān)S原來是閉合的，試求S打開后電路的電流及兩電感元件上的電壓。解:開關(guān)S打開后，L1

和L2中的電流在t=0