理論力學(xué)-第三章剛體力學(xué)1

第三章剛體力學(xué)

剛體也是一個理想模型，它可以看作是一種特殊的質(zhì)點組，這個質(zhì)點組中任何兩個質(zhì)點之間的距離不變，這使得問題大為簡化，使我們能更詳細地研究它的運動性質(zhì)，得到的結(jié)果對實際問題很有用。我們先研究剛體運動的描述，在建立動力學(xué)方程后，著重研究平面平行運動和定點運動。第三章剛體力學(xué)§3.1剛體運動的分析§3.2角速度矢量§3.3歐拉角§3.4

剛體運動方程與平衡方程§3.5轉(zhuǎn)動慣量§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動§3.7

剛體的平面平行運動§3.8剛體繞固定點的運動§3.1剛體運動的分析剛體特殊的質(zhì)點組、理想化模型——任意兩點間的距離始終保持不變（剛性）。當(dāng)物體的形變可以忽略不計時就可以近似看作剛體。自由度完全確定體系位置所需要的最少的獨立變量個數(shù)叫體系的自由度。例如：自由質(zhì)點自由度=3質(zhì)點組(n個質(zhì)點)：自由度=3n1.剛體運動的描述A確定剛體在空間的位置，最少需要幾個獨立變量？CB至少需要6個獨立變量來確定剛體位置剛體的自由度=6取哪6個獨立變量？剛體位置的描述（1）三點法：（2）轉(zhuǎn)軸法：（3）歐拉角法：從9個非獨立坐標中任取6個獨立的ABC軸上一點3個坐標，軸的方位3個坐標，再加上轉(zhuǎn)角φ直接選取獨立的2個變量確定轉(zhuǎn)軸方位，再加上轉(zhuǎn)角1）一般運動剛體一般運動的自由度為62.剛體運動的分類平動的自由度=32）平動世界最大的摩天輪——“倫敦眼”

剛體在運動中的各個時刻，其上任意一直線在運動過程中始終彼此平行，這種運動叫做平動。定軸轉(zhuǎn)動的自由度=13）定軸轉(zhuǎn)動剛體運動時所有質(zhì)點都繞著空間一條固定不動的直線作圓周運動，這種運動即定軸轉(zhuǎn)動平面平行運動的自由度：34）平面平行運動剛體運動時，其中任意一點如果始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運動，這種運動叫平面平行運動定點轉(zhuǎn)動的自由度：3個5）定點轉(zhuǎn)動剛體運動時，只有一點固定不動，整個剛體圍繞著通過定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動，這種運動叫定點轉(zhuǎn)動。§3.2角速度矢量設(shè)剛體繞通過定點O的某軸線轉(zhuǎn)動了Δθ角度角位移：在轉(zhuǎn)動軸上截取有向線段

稱為角位移的方向：與旋轉(zhuǎn)方向成右手螺旋關(guān)系角位移是不是矢量？——矢量的合成滿足平行四邊形法則AB滿足對易律：A+B=B+A：角位移不是矢量，不滿足矢量加法對易律有限轉(zhuǎn)動M證明:無限小轉(zhuǎn)動：角位移是矢量，滿足矢量加法對易律當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動無限小角度ΔθP點的線位移：——令剛體先后繞過O的軸線作兩次微小轉(zhuǎn)動若是矢量它應(yīng)當(dāng)滿足矢量加法交換律轉(zhuǎn)動后位移：1）轉(zhuǎn)動前位矢：再轉(zhuǎn)動后的位移：不計二階小量：2)交換轉(zhuǎn)動次序位矢：位矢：轉(zhuǎn)動后位移：位矢:再轉(zhuǎn)動后的位移：不計二階小量：位矢：

線位移是矢量2.角速度矢量角速度：角量與線量的關(guān)系：大?。悍较颍骸刂D(zhuǎn)動瞬時軸，與旋向成右手螺旋關(guān)系O一、歐拉角§3.3歐拉角當(dāng)剛體作定點轉(zhuǎn)動時，我們以該定點為原點，而用3個獨立的角度來確定剛體的位置，這3個角稱為歐拉角。x/ξy/ηz/ζξηζxyz固定在剛體上的坐標系o-xyz——動系，其位置代表剛體位置建立：定系o-ξηζOx/ξy/ηz/ζON：節(jié)線Oξηz/ζxyNOξηζxyNzOξηζxyNzNote：（1）3個歐拉角的作用：（2）歐拉角的取值范圍：OξηζxyNz

可以完全描述定點轉(zhuǎn)動剛體的一切位置二、歐拉運動學(xué)方程定點轉(zhuǎn)動剛體繞轉(zhuǎn)動瞬時軸轉(zhuǎn)動上述3次轉(zhuǎn)動疊加而成OξηζxyNz歐拉運動學(xué)方程A剛體一.力系的簡化§3.4

剛體運動方程與平衡方程作用在剛體上的力所產(chǎn)生的力學(xué)效果僅與力的量值和作用線的地位和方向有關(guān)，而與力的作用點在作用線上的地位無關(guān)。1、力的可傳性原理B非剛體Note：（1）在剛體力學(xué)中，力被稱為滑移矢量。（2）可沿作用線前后滑移，但作用線本身不能隨便遷移。2、力偶：F1F2ABPr1r2r12（2）作用效果：（1）定義：大小相等、方向相反，作用線相互平行的一對力矢量和：F1+F2

＝0力偶矩：大?。篗=Fd，——僅與兩力大小F和兩力作用線距離d有關(guān)與P無關(guān)Note：（1）力偶的唯一作用效果是力偶矩；（2）力偶對力偶面上任一點的力偶矩相等；（3）力偶矩用垂直于力偶面的任一有向線段表示；（4）力偶矩是自由矢量。方向：垂直于力偶面，與力偶的旋向成右手螺旋關(guān)系F1F2ABPr1r2r12一般力系3、力系的簡化：既不平行又不匯交的力共點力系的簡化

平行四邊形法則共面非平行力系的簡化

力的可傳性原理+平行四邊形法則（1）平行力系的簡化：按等效原則求合力。例：求同向平行力的合力

合力的大?。?/p>

F1＋

F2

合力的方向：與原分力同向

作用線位置：滿足MA

＋MB

＝M合，設(shè)距離F1為x

取A為矩心：F2d=(F1+F2)x

→x=F2d/(F1+F2)AF1BF2dFx練習(xí)：求反向平行力的合力F1≠F2

BAF（2）空間力系的簡化：力的作用線遷移后，轉(zhuǎn)化為一個力和一個力偶（矩）力的作用線的遷移：例如：力F從A遷移到B——必須加上一個力偶（相當(dāng)于力在原位置對新位置的力矩）FF’rMABFM空間力系的簡化可以簡化為空間定點的一個單力F和一個力偶矩M，F(xiàn)稱主矢，M稱主矩，定點稱簡化中心。Note:(1)簡化中心可以任意選?。ㄒ话闳≠|(zhì)心）；(2)主矢與簡化中心無關(guān)，主矩與簡化中心有關(guān)。遷移到B，需添加：遷移到C，需添加：ABrFCr’rBC力系分別向B、C遷移：（3）討論：共面力系簡化的最終結(jié)果有哪幾種可能？（只能是：零，合力，力偶三種情況）例如：作用在A點的力F分別向B、C遷移：剛體：特殊的質(zhì)點組二.剛體運動微分方程Note：①明確方程中各個量的意義。

:主矢6個方程正好確定剛體的6個獨立變量：以質(zhì)心為中心得到的動量矩和主矩。1、剛體的運動方程：2、剛體的動能定理：3、剛體的機械能守恒：質(zhì)點組：剛體：保守力作功：為以固定點中心得到的動量矩和主矩。②當(dāng)研究剛體對固定點的轉(zhuǎn)動時，可以將第二方程換為三.剛體的平衡方程剛體的平衡：剛體相對定系處于靜止?fàn)顟B(tài)平衡條件（方程）：維持初態(tài)平衡所需的條件1、平衡方程的一般形式：直角坐標系下：主矢為零，對任意定點主矩為零可用來求未知力2、平面力系的平衡方程：設(shè)剛體受力都在oxy平面內(nèi)平衡方程：一矩式：二矩式：三矩式：（A、B為平面上任意兩點，且AB連線與x軸不垂直）（A、B、C為平面上不共線三點）（A是平面上任意一點）例p128.φ最小，平衡。求A處的摩擦系數(shù)。解是共面力系的平衡問題，受力分析EH一矩式：（1.2.3）（1.2.4）（1.2.5）二矩式：（1.3.4）（1.3.5）（1.4.5）（2.3.4）（2.3.5）（2.4.5）××三矩式：（3.4.5）例題.均勻直桿AB和BC在B端鉸鏈，A端鉸鏈在墻上，C端抵在墻上，已知C端與墻之間的摩擦系數(shù)為μ=0.5，試求平衡時兩桿間的夾角θ的