計算結構力學第四章

第四章單元剛度矩陣計算結構力學形成單元剛度矩陣是整個結構分析中的一個重要環(huán)節(jié)。靜力法推導利用了結構力學中的轉角位移方程，也是采用了Euler梁理論的結果。Euler梁：簡單梁有限元分析的計算精度在很大程度上取決于單元剛度矩陣，也就是取決于單元形狀函數(位移函數)的選擇。4-1概述單元位移函數：指單元位移場，或稱形狀函數。在形成單元剛度矩陣前需事先假設，如梁單元可假設為三次多項式等，位移函數一般選取代數多項式。一、單元位移函數二、選擇位移函數應遵守的準則1、允許發(fā)生剛體位移(不產生單元自應變)；2、能反應常應變。Kij的定義

[K]的某一行的元素表示{δ}中六個分量分別發(fā)生單位位移時所引起{F}中某一分量的值；

[K]的某一列的元素表示{δ}中某一分量發(fā)生單位位移時所引起{F}中六個分量的值。三、單元剛度矩陣中行列元素的物理意義4-2

平面剛架的單元剛度矩陣

(靜力法推導)分別采用靜力法、能量法(虛位移原理和勢能駐值原理)推導局部坐標系下的單元剛度矩陣。為方便計，均省略“'

”的記號。1、單剛是對稱的，Kij=Kji

①②反力互等定理討論：2、單剛是奇異的，不存在逆矩陣，如第一行(列)加第四行(列)等于零，或第二行(列)加第五行(列)等于零。奇異性的說明：沒有約束的自由體是不能求解位移的，故要引入足夠的約束條件消除剛體位移，這樣也就消除了矩陣的奇異性。令

則單剛便可寫成簡潔的形式，以利編程。3.Kii>04-3

利用能量原理推導

軸力桿單元的剛度矩陣(積分法)1、選擇位移函數考慮圖示桁架單元(等截面直桿)在桿端力作用下桿內應力應變均為常量，根據軸力桿單元的幾何條件(應變-位移關系)，故可將單元位移場選為：

u=a1+a2x

(1)其中：u=u(x)即為單元位移函數(單元位移模式)式(1)中：

a1——剛體位移項；

a2——常應變項。滿足單元位移模式的選擇準則。將(1)式寫成矩陣形式

u={X}T{a} (2)式中：

{X}T={1x}

{a}T={a1a2}xijxyyxij10(11)(12)(13)5．①采用虛位移原理推導任給單元一個虛位移δu*(x)，并設結點虛位移為δ{δ*}，于是虛應變能可寫為(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)4-4

利用能量原理推導梁單元的剛度矩陣(積分法)仍采用虛位移原理和勢能駐值原理進行推導，現討論較復雜的等截面直梁單元(如圖)，采用Euler梁理論。1、選擇位移函數因不考慮分布荷載(均簡化為等效結點荷載處理)，故有EI’’’’=q(x)=0，由此得∴ v=v(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3 ={X}T{a}

(1)v(x)滿足剛體位移及常應變準則。(2)(3)Ni(x)仍滿足：①0—l特性；②在區(qū)間內仍按(1)式的形式變化(三次函數)。(7)式稱Hermite型插值(不考慮函數本身，包括函數的導數均作為內插函數)。

3．(廣義)應變的插值形式4．(廣義)應力的插值形式σ=σ(x)=M(x)=EIXz(x)=EI[B]{δ} (10)5．①用虛位移原理任給梁單元一個虛位移δv*，則結點虛位移為δ{δ}*，虛應變能為(11’)(12’)(13’)將桁式單元和梁式單元的單元剛度矩陣進行歸并，便得到一般剛架單元的剛度矩陣。上述推導均是在局部系進行的，實際上應為[K’]，由矩陣的旋轉變換，在整體坐標系下的單元剛度矩陣應為

[K]=[T]T[K]’[T]

在上式[K]’中代入(4-2-3)式,并在[T]中令cosα=l，sinα=m，完成矩陣相乘，得到上面給出了經坐標變換后單元剛度矩陣[K]的表達式，要仔細研究，發(fā)現其剛度元素共有7個常數(其余只是符號的變化)，根據對稱性，單元剛度矩陣共有21個系數，均由這7個常數通過符號變化組成。程序沒計詳見附錄程序中的SUB.QXS，SUB.DKX

也就是說，組成每個變換后的單剛只需7個系數，將其存入計算機(程序)，只需輸入該單元相應的參數s，s1，s2，s3，s4，便可得到這7個系數，從而由上式可直接得到坐標交換后的單元剛度矩陣[K]。習題3試用靜力法和能量法兩種方法推導圖示單元的剛度矩陣。可令l1=l2=l/2,EA1=2EA2進行推導。ije習題4用靜力法推導圖示梁單元的剛度矩陣。習題5試求圖示平面桁架單元的單元剛度矩陣[K]

已知：E=2.0X107KN／m2，A=0.2m2。單元始端i和末端j的坐標如圖示:若{δ}=10-3X[0.1050.4550.220.564]T求單元軸力N。(參考答案N=39.08KN)習題6試求圖示平面剛架單元的坐標變換矩陣[T]以及[K]’、[K]。已知：