第3章-線性系統(tǒng)的時域分析

1第3章線性系統(tǒng)的時域分析本章主要研究時域法——通過拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達式，提供線性控制系統(tǒng)時間響應的全部信息——動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。是一種直接且比較準確的分析方法?？刂葡到y(tǒng)分析和設計建立系統(tǒng)數(shù)學模型——首要工作系統(tǒng)性能分析時域法根軌跡法頻域（率）法……23.1典型試驗信號與系統(tǒng)性能指標

3.1.1典型試驗信號目的：為了在控制系統(tǒng)的分析和設計中有一個對不同系統(tǒng)的性能進行比較和評價的基準，必須規(guī)定一些典型的試驗信號作為系統(tǒng)的輸入。典型試驗信號

應能反映系統(tǒng)的實際工作情況（包括可能遇到的惡劣工作條件）；應具有簡單數(shù)學模型并易于通過實驗獲得；應具備控制系統(tǒng)實際輸入信號的時變性、隨機性，或者經(jīng)過混疊至少能夠合成任意輸入信號。31．階躍信號階躍輸入信號表示參考輸入量的一個瞬間突變過程，即瞬時躍變，它的數(shù)學表達方式為：0trA常用的典型試驗信號有以下5種。式中A為一常量。若A=1則稱為單位階躍輸入信號，表示為1(t)，其拉氏變換為1/s。2．斜坡信號4

斜坡輸入信號表示由零值開始隨時間作線性增加的信號，它的數(shù)學表達方式為：3．等加速度信號——等加速度信號是一種拋物線函數(shù),它的數(shù)學表達方式為：0tr式中為一常量，又名等速度輸入信號。若，則稱為單位斜坡信號，其拉氏變換為5（3-3）

為常量。這種信號的特點是函數(shù)值隨時間以等加速度增加。稱為單位等加速度信號，其拉氏變換為4．脈沖信號——脈沖信號是一種持續(xù)時間極短而幅值極大的信號，它的數(shù)學表達方式為：（3-4）脈沖寬度，面積為1。

6及若，則有：則稱為單位理想脈沖信號，也稱函數(shù)，其拉氏變換為1。說明：脈沖信號（函數(shù)）刻劃了持續(xù)時間無限短而幅值無限大的沖激特性。顯然實際工程中是無法獲得的。在工程實踐中，當遠小于被控對象的時間常數(shù)時，常近似地當作函數(shù)來處理。5．正弦信號7正弦信號是一種常見的信號，它的數(shù)學表達方式為：

為振幅，為角頻率。正弦信號主要用于求取系統(tǒng)的頻率特性，據(jù)此進行頻域分析，本章不涉及。說明：根據(jù)實際需要選擇輸入信號。如果系統(tǒng)的輸入信號是一個突變的量，則應取階躍信號為宜；如果系統(tǒng)的輸入信號是隨時間線性增加的函數(shù)，則應選取斜坡信號；8

如果系統(tǒng)的輸入信號是一個瞬時沖擊的函數(shù)，則顯然應選取脈沖信號最為合適。暫態(tài)響應；自由分量穩(wěn)態(tài)響應；強迫分量3.1.2時域響應的構成控制系統(tǒng)的時間響應（3-8）說明：1)如果線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定，則2)穩(wěn)態(tài)響應是指穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入作用下，經(jīng)過較長一段時間（暫態(tài)過程結(jié)束后）的輸出信號的變化規(guī)律。93）暫態(tài)響應的幅值、振蕩劇烈程度和持續(xù)時間直接影響系統(tǒng)穩(wěn)定質(zhì)量，所以都是系統(tǒng)分析和設計中要考慮的問題。3.1.3系統(tǒng)性能指標

控制系統(tǒng)除滿足穩(wěn)態(tài)性能要求外，還必須具有良好的動態(tài)特性，通常采用單位階躍函數(shù)作為測試試驗信號對系統(tǒng)動態(tài)性能進行分析和定標。

應當指出，穩(wěn)態(tài)響應是指變化規(guī)律固定的響應，如按時間的正弦函數(shù)或斜坡函數(shù)變化。

如果輸出的穩(wěn)態(tài)響應與輸入的穩(wěn)態(tài)分量不完全一致，則稱該系統(tǒng)是靜態(tài)有差的。10穩(wěn)態(tài)誤差2%或5%動態(tài)響應-------穩(wěn)態(tài)響應---延遲時間：y(td)=y(ts)×50%上升時間:y(tr)=y(ts)×[(10%～90%(第一次)]峰值時間（最大）超調(diào)量——反映系統(tǒng)響應振蕩的劇烈程度調(diào)節(jié)時間ts、tr、tp反映動態(tài)響應的快速性穩(wěn)定系統(tǒng)時域波形響應11

T為時間常數(shù)。這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。

以上指標中，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間反映了相對穩(wěn)定性和快速性，是系統(tǒng)動態(tài)性能的最重要的指標；而上升時間和延遲時間也從不同側(cè)面反映了系統(tǒng)響應起始階段的快速性。3.2一階系統(tǒng)的時域分析用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)其框圖和閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

12（3-13）對上式取拉氏反變換，得：（3-14）

比較式（3-13）與（3-14），可知輸入信號的極點形成系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)的極點產(chǎn)生系統(tǒng)響應的暫（瞬）態(tài)分量。這一結(jié)論同樣適用于高階線性定常系統(tǒng)。3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍輸入信號的拉氏變換為，則13

由于輸出y(∞)=1，因而t→∞,ess=0，無差跟蹤階躍信號。系統(tǒng)的單位階躍響應為一單調(diào)上升的指數(shù)曲線。A0.632AA/T

這是一階系統(tǒng)階躍響應的一個重要特征量。

t=0時的斜率為T，表明系統(tǒng)輸出響應的上升速度為1/T。14A0.632AA/T穩(wěn)態(tài)誤差2%或5%按照定義，一階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts=（3～4）T。這時是一階恒值系統(tǒng)。3.2.2一階系統(tǒng)的單位斜坡響應15拉氏反變換得：

（3-17）輸入、輸出間的誤差為：穩(wěn)態(tài)誤差為：

一階系統(tǒng)有差跟蹤斜坡輸入信號。穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)輸入、輸出信號的變化率完全相等，即:

這時是勻速隨動系統(tǒng)。16由于系統(tǒng)存在慣性，輸出信號滯后于輸入信號一個常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。顯然，減小時間常數(shù)不僅可以加快系統(tǒng)瞬態(tài)響應的速度，而且還能減小系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差。3.2.3一階系統(tǒng)的單位加速度響應￡-1：

17￡-1：

相應的系統(tǒng)輸入、輸出間的誤差為：(3-21)

一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入信號。

并不說明穩(wěn)定性。更正教材3.2.4一階系統(tǒng)的單位脈沖響應18￡-1：

T=1時脈沖響應圖

脈沖響應純粹是系統(tǒng)的動態(tài)響應過程，反映系統(tǒng)應激和回歸的能力，可以驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。說明與結(jié)論動態(tài)響應的收斂性和穩(wěn)定性與輸入信號無關，只與閉環(huán)傳遞函數(shù)極點有關，穩(wěn)態(tài)誤差取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)極點和輸入信號。193.3二階系統(tǒng)的時域分析用二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。

3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應為無阻尼自然角頻率；為阻尼比或稱阻尼系數(shù)。

決定了閉環(huán)傳遞函的極點，因而決定了二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，同時又決定了開環(huán)增益，所以也決定了穩(wěn)態(tài)誤差。典型開、閉環(huán)二階系統(tǒng)標準形式二階振蕩環(huán)節(jié)

、20由二階系統(tǒng)的特征方程式可求得閉環(huán)極點。閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式jωσ系統(tǒng)在左半平面有一對共軛復數(shù)極點，××ωnβ欠阻尼系統(tǒng)暫態(tài)響應為衰減振蕩其單位階躍響應為：21jωσ××ωnβ二階系統(tǒng)欠阻尼時間響應波形表明，系統(tǒng)穩(wěn)定、震蕩收斂、穩(wěn)態(tài)誤差為零。22單位階躍響應為：系統(tǒng)有兩個負實數(shù)極點，離平面原點較遠的極點對應的暫態(tài)分量幅值較小，衰減較快；

jωσ××

單調(diào)上升但不會超過穩(wěn)態(tài)值，響應是非振蕩的，系統(tǒng)過阻尼。隨著阻尼比的增大，其中一個極點越來越靠近原點；而另一個極點將越來越遠離平面原點?？拷c的極點幅值大，衰減慢，起主導作用。實部之比≥5～10233．，臨界阻尼系統(tǒng)有重極點單位階躍響應為：(3-30)單調(diào)上升，系統(tǒng)臨界阻尼，無超調(diào)量，ess=0。jωσ××y(t)t24

系統(tǒng)將不穩(wěn)定這里僅討論

的情況25可以看出，阻尼比決定系統(tǒng)響應的模式。

，則T越大，ωn越小，ts越長，所以T可以看成為系統(tǒng)的時間常數(shù)。越小，響應振蕩越劇烈，反之響應越顯呆滯；

臨界穩(wěn)定實際不能保持長久，屬于不穩(wěn)定范疇

263.3.3二階系統(tǒng)的性能指標計算過阻尼和臨界阻尼時系統(tǒng)不會發(fā)生振蕩，但動態(tài)響應時間太長，應該使二階系統(tǒng)工作于欠阻尼狀態(tài)。下面針對欠阻尼（）的情況，定量地討論系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。1.峰值時間——穩(wěn)定系統(tǒng)的動態(tài)響應第一次出現(xiàn)峰值（即ymax出現(xiàn)）的時間稱為峰值時間。將式并令其導數(shù)等于0，可得：對求導，270、、……

2.超調(diào)量系統(tǒng)最大的峰值出現(xiàn)在處，因而得：283.調(diào)節(jié)時間上式左端是衰減正弦振蕩的，當其包絡線衰減到時t=ts有：則：294.上升時間——系統(tǒng)階躍響應從穩(wěn)態(tài)值的10%第一次達到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。上升時間可采用下面的近似公式計算:()（一階近似）（二階近似）

精確定義，近似計算，公式難記。

近似定義，精確計算，公式好記。——系統(tǒng)階躍響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值時所需的時間。305.延遲時間——系統(tǒng)階躍響應達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間，可采用下面的近似公式計算：（）（一階近似）（二階近似）例3-1單位反饋控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)已知，，求：312）動態(tài)性能指標，（）；1）系統(tǒng)參數(shù)，；3）采用速度反饋，使反饋通道傳遞函數(shù)，重復1），2）。解：1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)32與典型二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表達式對照2）動態(tài)性能指標返回鏈接333）采用速度反饋后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為h=0.062534說明與總結(jié)最佳二階系統(tǒng):

，過（臨界）阻尼，S1，2位于負實軸，響應曲線單調(diào)收斂，必要時可降為一階系統(tǒng)處理。性能比較35

，欠阻尼，S1，2位于左半S平面，響應曲線振蕩收斂，其中超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間是兩個主要的動態(tài)性能指標。

無阻尼，S1，2

位于虛軸，理論上臨界穩(wěn)定，保持等幅振蕩，實際不穩(wěn)定，很快發(fā)散。

響應起始緩慢，但動態(tài)過程縮短。3.4高階系統(tǒng)的時域分析

3.4.1高階系統(tǒng)的主導極點36￡￡主導極點在響應中的作用可以忽略作用≥復數(shù)極點抑制超調(diào)37則G2(s)可降階處理。結(jié)論：

極點決定動態(tài)響應的分量數(shù)，決定穩(wěn)定性。最靠近虛軸的極點作用最大，稱為主導極點，若其余極點與主導極點相比與虛軸的距離在5~10倍以上，可以忽略不計，系統(tǒng)性能由主導極點決定，否則，依據(jù)y(t)具體分析。降階處理后381.附加閉環(huán)零點的影響被外加零點抵消后的主導極點分量3.4.1傳遞函數(shù)零點的影響￡-1￡-1主導極點分量39抵消非主導極點結(jié)論附加閉環(huán)零點不影響穩(wěn)定性和動態(tài)響應分量數(shù)；零點靠近那個極點將削弱該極點在動態(tài)響應中的作用；稱相鄰的一對零極點為偶極子。○402.附加開環(huán)零、極點的影響可通過閉環(huán)極點移動規(guī)律(根軌跡)來分析。3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1穩(wěn)定性的基本概念直觀地，時間響應收斂的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，但這不是原則性判據(jù)。穩(wěn)定不穩(wěn)定41但是同一系統(tǒng)對不同輸入的響應，可能收斂，或者不收斂（詳見一階系統(tǒng)分析）。

因此穩(wěn)定性和輸入無關，由系統(tǒng)閉環(huán)極點決定。真正的決定因素是系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)平衡點。穩(wěn)定不穩(wěn)定

系統(tǒng)將不穩(wěn)定這里僅討論

的情況42相對平衡態(tài)定義：系統(tǒng)原處于相對平衡的運動狀態(tài)，在外擾作用下偏離原平衡態(tài)，那么當擾動消失后，如果系統(tǒng)仍能夠回到原平衡態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。43說明：如果外擾不消失，穩(wěn)定系統(tǒng)的表現(xiàn)應該是與外擾建立新的平衡態(tài)，或者處于失衡態(tài)。建立動態(tài)平衡的關鍵是系統(tǒng)的工作點(動態(tài)平衡點)不能長期波動(飄移)或著能夠回歸原位。穩(wěn)定

動態(tài)平衡點是抽象的，無論系統(tǒng)外形如何，總是存在但無形無像，需運動起來才能看到，它是能量的引力中心。穩(wěn)定的線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的根本區(qū)別在于，前者工作點在擾動消失后能回歸原位；后者誤差很大或在新點建立平衡態(tài)。44

小臨域線性穩(wěn)定，大范圍非線性，新的動態(tài)平衡點不確定、不唯一。穩(wěn)定性與抗干擾措施相輔相成；小鄰域動態(tài)范圍輸入信號必須是系統(tǒng)可跟蹤的。453.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)希望能夠避免求解特征方程的根，不依靠直接求極點來判斷線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目的：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為實數(shù)或復數(shù)特征根。

可以從數(shù)學模型中尋找判斷穩(wěn)定性的辦法。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程式的所有根（或閉環(huán)極點）均在左半S平面。3.5.2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件46是不為零的實數(shù)且符號相同，則上式可寫為：設系統(tǒng)的特征方程式為：

（系數(shù)）的關系符合“韋達定理”。由此可見，如果（根）與則ai

(i=0,1,2‥‥‥n)必須同符號且不等于零，即ai(i=0,1,2‥‥‥n-1)與an同號。47勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯表（陣列）設控制系統(tǒng)的特征方程式為：

……呈倒三角形，末行一定只有首列一個元素。直到其余的系數(shù)均為零為止48勞斯判據(jù)內(nèi)容

首先，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：控制系統(tǒng)特征方程式的所有系數(shù)符號相同且不為零（不缺項）。其次，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列所有元素符號相同。第一列元素符號改變的次數(shù)等于實部為正的特征根的個數(shù)（不穩(wěn)定極點個數(shù)）。如果必要條件不滿足，則后兩條必然不滿足49說明：采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，如果必要條件不滿足（即特征方程式系數(shù)符號不全相同或缺項），則可確定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；如果滿足必要條件，就需要列出勞斯表，檢查表中第一列元素的符號是否相同，并且系統(tǒng)在右半S平面的極點數(shù)等于勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)。3.Routh

判據(jù)應用舉例50系數(shù)ai不同號，不穩(wěn)定；缺項，不穩(wěn)定。滿足必要條件，須列Routh表。首列元素均為正，穩(wěn)定。可以省略。51符號改變兩次，不穩(wěn)定，有兩個右極點滿足必要條件，須列Routh表。符號改變兩次，不穩(wěn)定，有兩個右極點5220

輔助方程往往是特征方程的一部分因式，其中必定含有一對純虛根，如本例S=±j4，表明系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，實際不穩(wěn)定。7)確定結(jié)構參數(shù)范圍：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為531+G0(s)=s(s+1)(s+5)+K=0，即

s3+6s2+5s+K=0系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍為3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算測量誤差:測量值與真值之間誤差(包括系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差等)?？刂普`差:給定輸入(控制)信號與被控(輸出)信號之間的誤差(包括動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差)。誤差——系統(tǒng)輸出與輸入之差。返回54穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關，同時與系統(tǒng)的結(jié)構、系統(tǒng)中有些元件的非線性特性以及摩擦、數(shù)字控制系統(tǒng)中的量化效應有關。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量控制系統(tǒng)精度的指標

控制系統(tǒng)的輸出應盡量準確地跟隨參考輸入的變化，同時盡量不受擾動的影響。產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差的原因3.6.1控制誤差與穩(wěn)態(tài)誤差廣義動態(tài)控制誤差(含穩(wěn)態(tài)誤差)55

以上是按輸入端定義的誤差：系統(tǒng)參考輸入與主反饋信號之差，即作用誤差或偏差。

按輸出端定義的誤差：系統(tǒng)期望輸出與實際輸出之差，即輸出誤差：穩(wěn)態(tài)誤差？見第二章等效變換表真值不可測，無實際意義！56說明：H(s)作為測量系統(tǒng)，不僅傳遞反饋信號，而且承擔量綱轉(zhuǎn)換、功率協(xié)調(diào)的作用，當H(s)=1時，只是表明輸入輸出的量綱、功率相同。

是否單位反饋，取決于系統(tǒng)結(jié)構圖的構成，以后若未加說明，總是采用輸入端定義的作用誤差，對于直接單位負反饋，兩種定義并無區(qū)別。3.6.2參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類型

系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差和輸入密切相關，所以，先在單位階躍輸入下進行定量分析，在推廣至其它輸入。57注意E(s)的位置！誤差傳遞函數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差的大小與參考輸入信號和開環(huán)傳遞函數(shù)有關。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為58K為開環(huán)增益；m和n為開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母的階數(shù)。為前向通道中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；

穩(wěn)態(tài)誤差最終與前向通道中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關。

將控制系統(tǒng)按的大小分成幾種類型：0型系統(tǒng)；Ⅰ型系統(tǒng)；···

Ⅱ型系統(tǒng)，3.6.3穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)計算1．位置誤差系數(shù)59令，則不同類型系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)和單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：

對階躍輸入信號，0型系統(tǒng)有差跟蹤，而Ⅰ型以上系統(tǒng)可做到無差跟蹤。0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)1．位置誤差系數(shù)602．速度誤差系數(shù)令，則0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)

對斜坡輸入信號，0型系統(tǒng)不能跟蹤，Ⅰ型系統(tǒng)可做到有差跟蹤，Ⅱ型以上系統(tǒng)則可無差跟蹤。3．加速度誤差系數(shù)Ka61加速度誤差系數(shù)

對拋物線輸入信號，0、Ⅰ型系統(tǒng)不能跟蹤，Ⅱ型系統(tǒng)可做到有差跟蹤，Ⅲ型以上系統(tǒng)則可無差跟蹤。0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)62

又稱為無差度，它反映了系統(tǒng)對參考輸入信號的跟蹤能力。

減小和消除給定輸入信號作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差的有效方法有：提高系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)的類型數(shù)（階次）