機(jī)械振動(dòng)5多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)5-6

機(jī)械振動(dòng)第五章1§5.5系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)·振型疊加法系統(tǒng)振動(dòng)方程2前文已證明固有振型向量的正交性，下面利用振型向量進(jìn)行坐標(biāo)變換，將得到解耦的方程組。345例5.5-1：求系統(tǒng)的響應(yīng)解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：頻率方程為：m1m2k3k1q1q2k2系統(tǒng)的特征值問題：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：6頻率方程展開為：代入特征值問題：系統(tǒng)的固有頻率：得固有振型：7固有振型：求正則振型：8由(5.5-12)給出的響應(yīng)：其中：初始條件：9由(5.5-12)給出的響應(yīng)：其中：10固有正則振型：令系統(tǒng)的正則坐標(biāo)為將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程其中也可以直接變換方程和初始條件求解11正則坐標(biāo)下系統(tǒng)的響應(yīng)(5.5-7)’12正則坐標(biāo)下系統(tǒng)的響應(yīng)：原坐標(biāo)下系統(tǒng)的響應(yīng)：13模態(tài)疊加法小結(jié)：物理空間耦合正則坐標(biāo)空間解耦145.6影響系數(shù)許多工程結(jié)構(gòu)可以簡化為多個(gè)質(zhì)量和彈簧組成的離散線性系統(tǒng)研究這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅要知道系統(tǒng)的質(zhì)量特性，也要知道系統(tǒng)的剛度特性，這些特性以影響系數(shù)的形式包含在運(yùn)動(dòng)微分方程之中。事實(shí)上剛度系數(shù)應(yīng)該更恰當(dāng)?shù)胤Q為剛度影響系數(shù)，而與之對(duì)應(yīng)的為柔度影響系數(shù)?？梢灶A(yù)計(jì)這兩類影響系數(shù)是密切相關(guān)的，他們是從相反的角度描述作用力與變形的關(guān)系。下面用實(shí)例說明他們的關(guān)系：剛度矩陣與柔度矩陣互逆。15考慮一個(gè)簡單的離散模型系統(tǒng)平衡時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)mi的坐標(biāo)xi，在力Fi作用下，位移為uimiuimjmnujxixj1.柔度影響系數(shù)（柔度系數(shù)）柔度影響系數(shù)aij定義為：由施加在x

=

xj

處的單位力Fj

=1所引起的x

=

xi處的位移。一個(gè)n

自由度系統(tǒng)有n個(gè)廣義坐標(biāo)，有n個(gè)位移，所以有

n×n個(gè)柔度系數(shù)aij

(i,j=1,2,…,n),組成n

階方陣——柔度矩陣[aij

]16柔度矩陣由于系統(tǒng)是線性的，位移與作用力成正比，所以當(dāng)x=xj點(diǎn)施寫成矩陣形式：加任意大小力Fj時(shí)，在點(diǎn)x=xi引起的位移為aij

Fj。由疊加原理，把每個(gè)力所引起的位移簡單地相加即可得到由所有的力Fj時(shí)(j=1,2,…,n)引起的在x=xi點(diǎn)的位移為ui,這是用柔度矩陣表示的位移方程。172.剛度影響系數(shù)（剛度系數(shù)）miuimjmnujxixj剛度影響系數(shù)kij定義為：僅在x

=

xj

處產(chǎn)生一個(gè)單位位移uj

=1,而在x

≠

xj

的所有其它一個(gè)n

自由度系統(tǒng)有n個(gè)廣義坐標(biāo)，有n個(gè)單位位移，而每個(gè)單1,2,…,n),組成n

階方陣——?jiǎng)偠染仃嘯kij

]點(diǎn)的位移為零時(shí)，在x

=

xi處所需施加的力。位位移對(duì)應(yīng)著n個(gè)剛度系數(shù)，所以有

n×n個(gè)剛度系數(shù)kij

(i,j=18剛度矩陣由于系統(tǒng)是線性的，位移與作用力成正比，所以當(dāng)x=xj點(diǎn)產(chǎn)寫成矩陣形式：生任意大小的位移uj時(shí)，由疊加原理，在所有點(diǎn)產(chǎn)生任意位移uj時(shí)，在點(diǎn)x=xi所需施這是用剛度矩陣表示的力方程。加的力Fi

(i=1,2,…,n)為在點(diǎn)x=xi所需施加的力應(yīng)為kij

uj。193.剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關(guān)系對(duì)于僅有一個(gè)彈簧的單自由度系統(tǒng)，剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互即剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣。對(duì)于多自由度系統(tǒng)，由（5.6-3）和（5.6-6）：但對(duì)于半正定系統(tǒng)，剛度矩陣是奇異的，不存在逆矩陣。為倒數(shù)。（5.6-7）（5.6-8）所以半正定系統(tǒng)不存在柔度矩陣。半正定系統(tǒng)某點(diǎn)施加力后，無法維持平衡，而產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)，故柔度系數(shù)無物理意義。20所以半正定系統(tǒng)只能用剛度矩陣來建立振動(dòng)微分方程，對(duì)m1施加單位力F1=1,用柔度矩陣建立振動(dòng)微分方程只能用于正定系統(tǒng)。例5.6-1根據(jù)定義計(jì)算柔度矩陣和剛度矩陣而F2=F3=0，見右下圖。在x

=

xi處所引起的位移：m2u1m2u1解：先求柔度系數(shù)aij

，21對(duì)m2施加單位力F2=1，而F1=F3=0，見右圖。在x

=

xi處所引起的位移：m2u1對(duì)m3施加單位力F3=1，而F1=F2=0，見右圖。在x

=

xi處所引起的位移：m2u122系統(tǒng)柔度矩陣為：使m1產(chǎn)生單位位移u1=1，而u2=u3=0，見右圖。求各點(diǎn)x

=

xi處所需的力：求系統(tǒng)的剛度矩陣m2F123使m2產(chǎn)生單位位移u2=1，而u1=u3=0，見右圖。求各點(diǎn)x

=

xi處所需的力：m2F1使m3產(chǎn)生單位位移u3=1，而u1=u2=0，見右圖。求各點(diǎn)x

=

xi處所需的力：m2F124系統(tǒng)剛度矩陣為：不難證明：可以看出剛度矩陣和柔度矩陣都是對(duì)稱矩陣。即剛度矩陣和柔度矩陣是互逆的。25例5.6-2求復(fù)合擺的剛度矩陣和柔度矩陣。解：先求柔度矩陣.假設(shè)微幅擺動(dòng).對(duì)m1施加單位力F1=1,而F2=0，可得在x

=

xi處所引起的位移：由靜力矩平衡，26得柔度矩陣對(duì)m2施加單位力F2=1,而F1=0，27再求剛度矩陣使m1產(chǎn)生單位位移u1=