2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及基本定理（精講）（解析版）

10.1平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及基本定理（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考法一基本概念的辨析【例1】（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為單位向量，下列命題中：①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，與的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3．故選：D【一隅三反】1（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））判斷下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因向量共線(xiàn)，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，則是假命題，①不正確；因模相等的向量，方向不一定相同，即若，則是假命題，②不正確；因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，則是假命題，③不正確；由相等向量的定義可知：若，則是真命題，④正確，所以，正確命題的個(gè)數(shù)是1.故選：A2．（2021·全國(guó)）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；②若||＝||，則＝或＝－；③若(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則與共線(xiàn)．A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【解析】①錯(cuò)誤，如在?ABCD中，，但是這兩個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別不重合；②錯(cuò)誤，模相等的兩個(gè)向量，方向關(guān)系不確定；③錯(cuò)誤，若(λ為實(shí)數(shù))，則λ＝0或；④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，＝0，但與不一定共線(xiàn)．故選：A3．（2021·全國(guó)高三月考（文））對(duì)實(shí)數(shù)、和向量，，，正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對(duì)于A(yíng)：由數(shù)乘向量的性質(zhì)可知：，故A正確；對(duì)于B：表示與平行的某個(gè)向量，表示與平行的某個(gè)向量，顯然不一定相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)或時(shí)，，顯然成立，但不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，成立，但不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：．考法二線(xiàn)性運(yùn)算【例2】（1）（2021·江西上高二中（文））如圖，向量（）A． B．C． D．（2）（2021·三亞華僑學(xué)校高三月考）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）A【解析】（1）由圖可得，所以故選：D（2）連結(jié)，則為的中位線(xiàn)，，故選：A【一隅三反】1．（2021·新疆高三（文））如圖，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖知：，，則.故選：A2．（2021·陜西寶雞·（文））如圖，向量（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，.故選：D.3．（2021·全國(guó)高三月考（理））已知平面上四點(diǎn)，，，，則以下說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確.故選：D.4．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D.5．（2021·全國(guó)）在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫(huà)出圖形，如圖所示：.故選：A.考法三共線(xiàn)問(wèn)題【例3】（1）（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量且，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D（2）（2021·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考）向量不共線(xiàn)，點(diǎn)P、Q、S共線(xiàn)，已知，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】（1）A【解析】（1）由，可得，所以共線(xiàn)，所以A正確；因?yàn)楹停@然三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以B錯(cuò)誤；由，，顯然三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以C錯(cuò)誤；又由，，顯然三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以D錯(cuò)誤.故選：A.（2）因?yàn)?，又因?yàn)辄c(diǎn)P、Q、S共線(xiàn)，所以，所有，因此，故，解得，故選：D.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)（文））在中，，P為BD上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知B，P，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以，，故選D．2．（2021·全國(guó)高三（理））在中，，D是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)x的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，∴．故選：D．3．（2021·天水市第一中學(xué)高三月考（理））已知兩個(gè)非零向量，互相垂直，若向量，共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．5 B．3C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，是非零向量，且互相垂直，所以，因?yàn)楣簿€(xiàn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使，即，所以，又因?yàn)?，不共線(xiàn)，所以.故選：C.考法四基本定理【例4】（1）（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，矩形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C．1 D．（2）（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，O為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）D【解析】（1）由平面向量基本定理，化簡(jiǎn)，所以，即，故選：A．（2）根據(jù)題意，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，是等邊三角形，則，AB的中點(diǎn)為D，則，又由，則，則O是CD的中點(diǎn)，又由的邊長(zhǎng)為4，則，，則，則，故選：D．【一隅三反】1．（2021·江西?。┤鐖D，在中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】.故選：D.2．（2021·天水市第一中學(xué)高三月考（理））如圖所示，在中，，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B3．（2021·湖北）在中，，點(diǎn)D在上，，，則（）A．8 B．10 C．12 D．16.【答案】C【解析】在中，因?yàn)?，所以，所?故選：C．4．（2021·上海黃浦·盧灣高級(jí)中學(xué)高三月考）已知是三角形內(nèi)部的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比是（）A． B．C．2 D．1【答案】B【解析】如下圖所示，、分別是、中點(diǎn)，由得即，所以，由，，設(shè)，，則，，由三角形相似比可得，解得，因?yàn)椋?，即，所以，所以，即的面積與的面積之比是故選：B.5．（2021