第10章一元線性回歸

不要過于教條地對待研究的結(jié)果，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)的質(zhì)量受到懷疑時。

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第10章一元線性回歸作者：中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院賈俊平PowerPoint統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計應(yīng)用

回歸分析在投資風(fēng)險中的應(yīng)用與一只股票相關(guān)的風(fēng)險可以通過兩種方式進行衡量系統(tǒng)風(fēng)險(systematicrisk)，可由市場解釋的股價變動—隨著股市的上漲或下跌，該股票趨于同一方向變化特定風(fēng)險(specificrisk)，由于其他因素引起的股價變動系統(tǒng)風(fēng)險通過一個稱為的指標來刻畫等于1，表明特定股票的變化與市場同步小于1，表明這只股票要比市場更加穩(wěn)定大于1，說明這只股票要比市場的變化大得多

值通過建立特定股票的收益(因變量)對市場平均收益(自變量)的回歸模型進行計算第10章一元線性回歸10.1

變量間關(guān)系的度量10.2一元線性回歸10.3利用回歸方程進行估計和預(yù)測10.4殘差分析學(xué)習(xí)目標1. 相關(guān)關(guān)系的分析方法一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗利用回歸方程進行估計和預(yù)測用Excel

進行回歸10.1變量間關(guān)系的度量10.1.1變量間的關(guān)系10.1.2相關(guān)關(guān)系的描述與測度10.1.3相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗變量間的關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一一對應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當(dāng)變量x取某個數(shù)值時，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測點落在一條線上

xy函數(shù)關(guān)系

(幾個例子)某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關(guān)系可表示為y=px

(p為單價)圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系可表示為S=R2

企業(yè)的原材料消耗額y與產(chǎn)量x1、單位產(chǎn)量消耗x2、原材料價格x3之間的關(guān)系可表示為

y=x1x2x3

相關(guān)關(guān)系

(correlation)變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定當(dāng)變量

x取某個值時，變量y的取值可能有幾個各觀測點分布在直線周圍

xy相關(guān)關(guān)系

(幾個例子)父親身高y與子女身高x之間的關(guān)系收入水平y(tǒng)與受教育程度x之間的關(guān)系糧食單位面積產(chǎn)量y與施肥量x1、降雨量x2、溫度x3之間的關(guān)系商品的消費量y與居民收入x之間的關(guān)系商品銷售額y與廣告費支出x之間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系

(類型)相關(guān)關(guān)系的描述與測度

(散點圖)相關(guān)分析及其假定相關(guān)分析要解決的問題變量之間是否存在關(guān)系？如果存在關(guān)系，它們之間是什么樣的關(guān)系？變量之間的關(guān)系強度如何？樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？為解決這些問題，在進行相關(guān)分析時，對總體有以下兩個主要假定兩個變量之間是線性關(guān)系兩個變量都是隨機變量散點圖

(scatterdiagram)不相關(guān)負線性相關(guān)正線性相關(guān)非線性相關(guān)完全負線性相關(guān)完全正線性相關(guān)散點圖

(例題分析)【例】一家大型商業(yè)銀行在多個地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國家重點項目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項目的貸款。近年來，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長，但不良貸款額也有較大比例的增長，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來較大壓力。為弄清不良貸款形成的原因，管理者希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)進行定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家分行2002年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)散點圖

(例題分析)散點圖

(不良貸款對其他變量的散點圖)散點圖

(5個變量的散點圖矩陣)不良貸款貸款余額累計應(yīng)收貸款貸款項目個數(shù)固定自產(chǎn)投資相關(guān)關(guān)系的描述與測度

(相關(guān)系數(shù))相關(guān)系數(shù)

(correlationcoefficient)度量變量之間關(guān)系強度的一個統(tǒng)計量對兩個變量之間線性相關(guān)強度的度量稱為簡單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱為相關(guān)系數(shù)，記為r也稱為線性相關(guān)系數(shù)(linearcorrelationcoefficient)或稱為Pearson相關(guān)系數(shù)

(Pearson’scorrelationcoefficient)

相關(guān)系數(shù)

(計算公式)

樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式或化簡為相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：r

的取值范圍是[-1,1]

|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負正相關(guān)

r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系-1r<0，為負相關(guān)0<r1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越強；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(取值及其意義的圖解)-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy=ryx性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點及尺度無關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點及計量尺度，并不改變r數(shù)值大小性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意味著，r=0只表示兩個變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系性質(zhì)5：r雖然是兩個變量之間線性關(guān)系的一個度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗解釋

|r|0.8時，可視為兩個變量之間高度相關(guān)0.5|r|<0.8時，可視為中度相關(guān)0.3|r|<0.5時，視為低度相關(guān)|r|<0.3時，說明兩個變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān)上述解釋必須建立在對相關(guān)系數(shù)的顯著性進行檢驗的基礎(chǔ)之上相關(guān)系數(shù)

(例題分析)用Excel計算相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(r

的抽樣分布)1. r的抽樣分布隨總體相關(guān)系數(shù)和樣本容量的大小而變化當(dāng)樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體時，隨著n的增大，r

的抽樣分布趨于正態(tài)分布，尤其是在總體相關(guān)系數(shù)很小或接近0時，趨于正態(tài)分布的趨勢非常明顯。而當(dāng)遠離0時，除非n非常大，否則r的抽樣分布呈現(xiàn)一定的偏態(tài)當(dāng)為較大的正值時，r呈現(xiàn)左偏分布；當(dāng)為較小的負值時，r呈現(xiàn)右偏分布。只有當(dāng)接近于0，而樣本容量n很大時，才能認為r是接近于正態(tài)分布的隨機變量相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(檢驗的步驟)1. 檢驗兩個變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系等價于對回歸系數(shù)b1的檢驗采用R.A.Fisher提出的t檢驗檢驗的步驟為提出假設(shè)：H0：；H1：0計算檢驗的統(tǒng)計量：確定顯著性水平，并作出決策若t>t，拒絕H0

若t<t，不拒絕H0相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(例題分析)對不良貸款與貸款余額之間的相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗(0.05)提出假設(shè)：H0：；H1：0計算檢驗的統(tǒng)計量3.根據(jù)顯著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒絕H0，不良貸款與貸款余額之間存在著顯著的正線性相關(guān)關(guān)系相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(例題分析)各相關(guān)系數(shù)檢驗的統(tǒng)計量相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(需要注意的問題)即使統(tǒng)計檢驗表明相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計上是顯著的，并不一定意味著兩個變量之間就存在重要的相關(guān)性因為在大樣本的情況下，幾乎總是導(dǎo)致相關(guān)系數(shù)顯著比如，r=0.1，在大樣本的情況下，也可能使得r通過檢驗，但實際上，一個變量取值的差異能由另一個變量的取值來解釋的比例只有10%，這實際上很難說明兩個變量之間就有實際意義上的顯著關(guān)系10.2一元線性回歸10.2.1一元線性回歸模型10.2.2參數(shù)的最小二乘估計10.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度10.2.4顯著性檢驗什么是回歸分析？

(regression)從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度趨向中間高度的回歸回歸這個術(shù)語是由英國著名統(tǒng)計學(xué)家FrancisGalton在19世紀末期研究孩子及其父母的身高時提出來的。Galton發(fā)現(xiàn)身材高的父母，他們的孩子身材也高。但這些孩子平均起來并不像他們的父母那樣高。對于比較矮的父母情形也類似：他們的孩子比較矮，但這些孩子的平均身高要比他們的父母的平均身高高。Galton把這種孩子的身高向平均值靠近的趨勢稱為一種回歸效應(yīng)，而他發(fā)展的研究兩個數(shù)值變量的方法稱為回歸分析回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別相關(guān)分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機變量；回歸分析中，因變量y是隨機變量，自變量x

是非隨機的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對變量y的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制

回歸模型的類型一元線性回歸模型一元線性回歸涉及一個自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預(yù)測或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來預(yù)測或用來解釋因變量的一個或多個變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示因變量與自變量之間的關(guān)系用一個線性方程來表示回歸模型

(regressionmodel)回答“變量之間是什么樣的關(guān)系？”方程中運用1個數(shù)值型因變量(響應(yīng)變量)被預(yù)測的變量1個或多個數(shù)值型或分類型自變量(解釋變量)用于預(yù)測的變量3. 主要用于預(yù)測和估計一元線性回歸模型描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項

的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+ey是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項

是隨機變量反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對y的影響是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性0和1稱為模型的參數(shù)回歸模型中為什么包含誤差項理由1：理論的含糊性。即使有決定y的行為的理論，而且常常是不完全的，影響y的變量不是無所知就是知而不確，因此不妨設(shè)作為模型所排除或忽略的全部變量的替代變量誤差項是未包括在模型中而又影響著y的全部變量的替代物，但為什么不把這些變量引進到模型中來？換句話說，為什么不構(gòu)造一個含有盡可能多個變量的復(fù)回歸模型？古扎拉蒂在《計量經(jīng)濟學(xué)》一書中列出了7點理由回歸模型中為什么包含誤差項理由2：數(shù)據(jù)的欠缺。即使我們明知被忽略變量中的一些變量，并因而考慮用一個復(fù)回歸而不是一個簡單回歸，我們卻不一定能得到關(guān)于這些變量的數(shù)量信息理由3：核心變量與周邊變量。影響y的全部或其中的一些變量，合起來的影響如此之小，充其量是一種非系統(tǒng)的或隨機的影響。從實際考慮以及從成本上計算，把它們一一引入模型是劃不來的。所以人們希望把它們的聯(lián)合效應(yīng)當(dāng)作一個隨機變量來看待回歸模型中為什么包含誤差項理由4：人類行為的內(nèi)在隨機性。即使我們成功地把所有有關(guān)的變量都引進到模型中來，在個別的y中仍不免有一些“內(nèi)在”的隨機性，這是無論我們花多少力氣都解釋不了的。隨機項也許能很好地反映這種隨機性理由5：糟糕的替代變量。雖然經(jīng)典回歸模型假定變量y和x能準確地觀測，但實際上數(shù)據(jù)會受到測量誤差的擾亂。由于這些變量不可直接觀測，故實際上我們用替代變量。這時誤差項又可以用來代表測量誤差回歸模型中為什么包含誤差項理由6：節(jié)省原則。我們想保持一個盡可能簡單的回歸模型。如果我們能用兩個或三個變量就“基本上”解釋了y的行為，并且如果我們的理論完善或扎實的程度還沒有達到足以提出可包含進來的其他變量，那么為什么要引進更多的變量呢？讓去代表所有的其他變量好了。當(dāng)然，我們不應(yīng)該只為了保持回歸模型簡單而排除有關(guān)的和重要的變量回歸模型中為什么包含誤差項理由7：錯誤的函數(shù)形式。即使我們有了解釋一種現(xiàn)象的在理論上正確的變量，并且能獲得這些變量的數(shù)據(jù)，我們卻常常不知道回歸子(因變量)和回歸元(自變量)之間的函數(shù)形式是什么形式。在雙變量模型中，人們往往能從散點圖來判斷關(guān)系式的函數(shù)形式，而在多變量回歸模型中，由于無法從圖形上想像一個多維的散點圖，要決定適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式就不容易一元線性回歸模型

(基本假定)因變量y與自變量x之間具有線性關(guān)系在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即假定x是非隨機的誤差項ε是一個期望值為0的隨機變量，即E(ε)=0。對于一個給定的x值，y的期望值為E(y)=0+

1x對于所有的x值，ε的方差σ2都相同誤差項ε是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，且相互獨立。即ε~N(0,σ2)獨立性意味著對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的ε與其他x值所對應(yīng)的ε不相關(guān)對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的y值與其他x所對應(yīng)的y值也不相關(guān)一元線性回歸模型

(基本假定)x=x3時的E(y)x=x2時y的分布x=x1時y的分布x=x2時的E(y)x3x2x1x=x1時的E(y)0xyx=x3時y的分布0+1x回歸方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依賴于x的方程稱為回歸方程一元線性回歸方程的形式如下

E(y)=0+1x方程的圖示是一條直線，也稱為直線回歸方程0是回歸直線在y軸上的截距，是當(dāng)x=0時y的期望值1是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)，表示當(dāng)x每變動一個單位時，y的平均變動值估計的回歸方程

(estimatedregressionequation)一元線性回歸中估計的回歸方程為用樣本統(tǒng)計量和代替回歸方程中的未知參數(shù)和，就得到了估計的回歸方程總體回歸參數(shù)和

是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計其中：是估計的回歸直線在y

軸上的截距，是直線的斜率，它表示對于一個給定的x

的值，是y

的估計值，也表示x

每變動一個單位時，y的平均變動值

參數(shù)的最小二乘估計最小二乘估計

(methodofleastsquares)德國科學(xué)家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來估計參數(shù)

使因變量的觀察值與估計值之間的誤差平方和達到最小來求得和的方法。即用最小二乘法擬合的直線來代表x與y之間的關(guān)系與實際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小KarlGauss的最小化圖xy(xn

,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei

=yi-yi＾最小二乘法

(

和的計算公式)

根據(jù)最小二乘法，可得求解和的公式如下估計方程的求法

(例題分析)【例】求不良貸款對貸款余額的回歸方程回歸方程為：y=-0.8295

+0.037895

x回歸系數(shù)=0.037895表示，貸款余額每增加1億元，不良貸款平均增加0.037895億元

^估計方程的求法

(例題分析)不良貸款對貸款余額回歸方程的圖示用Excel進行回歸分析第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第3步：在分析工具中選擇【回歸】，選擇【確定】第4步：當(dāng)對話框出現(xiàn)時

在【Y值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域在【X值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域在【置信度】選項中給出所需的數(shù)值在【輸出選項】中選擇輸出區(qū)域在【殘差】分析選項中選擇所需的選項

用Excel進行回歸分析回歸直線的擬合優(yōu)度變差因變量

y的取值是不同的，y取值的這種波動稱為變差。變差來源于兩個方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對y的非線性影響、測量誤差等)的影響對一個具體的觀測值來說，變差的大小可以通過該實際觀測值與其均值之差來表示誤差的分解

(圖示)xyy誤差平方和的分解

(三個平方和的關(guān)系)SST=SSR+SSE總平方和(SST){回歸平方和(SSR)殘差平方和(SSE){{誤差平方和的分解

(三個平方和的意義)總平方和(SST—totalsumofsquares)反映因變量的n個觀察值與其均值的總誤差回歸平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自變量x的變化對因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x以外的其他因素對y取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和判定系數(shù)R2

(coefficientofdetermination)回歸平方和占總誤差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝r2判定系數(shù)

(例題分析)【例】計算不良貸款對貸款余額回歸的判定系數(shù)，并解釋其意義

判定系數(shù)的實際意義是：在不良貸款取值的變差中，有71.16%可以由不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)系來解釋，或者說，在不良貸款取值的變動中，有71.16%是由貸款余額所決定的。也就是說，不良貸款取值的差異有2/3以上是由貸款余額決定的?？梢姴涣假J款與貸款余額之間有較強的線性關(guān)系估計標準誤差

(standarderrorofestimate)實際觀察值與回歸估計值誤差平方和的均方根反映實際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況對誤差項的標準差的估計，是在排除了x對y的線性影響后，y隨機波動大小的一個估計量反映用估計的回歸方程預(yù)測y時預(yù)測誤差的大小

計算公式為注：例題的計算結(jié)果為1.9799估計標準誤差的自由度估計標準誤差的是殘差平方和SSE除以它的自由度后的平方根殘差平方和SSE的自由度之所以是n-2，原因是在計算SSE時，必須先求出和，這兩個估計值就是附加給SSE的兩個約束條件，因此在計算SSE時，只有n-2個獨立的觀測值，而不是n個一般而言，在有k個自變量的多元回歸中，自由度則為n-k一般的規(guī)律是：自由度=n-待估參數(shù)的個數(shù)顯著性檢驗線性關(guān)系的檢驗檢驗自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗來分析二者之間的差別是否顯著回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個數(shù)k)殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-k-1)線性關(guān)系的檢驗

(檢驗的步驟)提出假設(shè)H0：1=0線性關(guān)系不顯著2.計算檢驗統(tǒng)計量F確定顯著性水平，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2找出臨界值F

作出決策：若F>F

,拒絕H0；若F<F

,不拒絕H0線性關(guān)系的檢驗

(例題分析)提出假設(shè)H0：1=0不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)系不顯著計算檢驗統(tǒng)計量F確定顯著性水平=0.05，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度25-2找出臨界值F

=4.28作出決策：若F>F,拒絕H0，線性關(guān)系顯著線性關(guān)系的檢驗

(方差分析表)Excel輸出的方差分析表回歸系數(shù)的檢驗在一元線性回歸中，等價于線性關(guān)系的顯著性檢驗采用t檢驗檢驗x與y之間是否具有線性關(guān)系，或者說，檢驗自變量x對因變量y的影響是否顯著理論基礎(chǔ)是回歸系數(shù)

的抽樣分布回歸系數(shù)的檢驗

(樣本統(tǒng)計量的分布)

是根據(jù)最小二乘法求出的樣本統(tǒng)計量，它有自己的分布的分布具有如下性質(zhì)分布形式：正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望：標準差：由于未知，需用其估計量se來代替得到的估計的標準差回歸系數(shù)的檢驗

(檢驗步驟)提出假設(shè)H0:b1=0(沒有線性關(guān)系)H1:b1

0(有線性關(guān)系)計算檢驗的統(tǒng)計量確定顯著性水平，并進行決策t>t，拒絕H0；t<t，不拒絕H0回歸系數(shù)的檢驗

(例題分析)對例題的回歸系數(shù)進行顯著性檢驗(＝0.05)提出假設(shè)H0：b1=0H1：b1

0計算檢驗的統(tǒng)計量

t=7.533515>t=2.201，拒絕H0，表明不良貸款與貸款余額之間有顯著的線性關(guān)系回歸系數(shù)的檢驗

(例題分析)P值的應(yīng)用P=0.000000<=0.05，拒絕原假設(shè)，不良貸款與貸款余額之間有顯著的線性關(guān)系回歸分析結(jié)果的評價建立的模型是否合適？或者說，這個擬合的模型有多“好”？要回答這些問題，可以從以下幾個方面入手所估計的回歸系數(shù)

的符號是否與理論或事先預(yù)期相一致在不良貸款與貸款余額的回歸中，可以預(yù)期貸款余額越多不良貸款也可能會越多，也就是說，回歸系數(shù)的值應(yīng)該是正的，在上面建立的回歸方程中，我們得到的回歸系數(shù)為正值如果理論上認為x與y之間的關(guān)系不僅是正的，而且是統(tǒng)計上顯著的，那么所建立的回歸方程也應(yīng)該如此在不良貸款與貸款余額的回歸中，二者之間為正的線性關(guān)系，而且，對回歸系數(shù)的t檢驗結(jié)果表明二者之間的線性關(guān)系是統(tǒng)計上顯著的回歸模型在多大程度上解釋了因變量y取值的差異？可以用判定系數(shù)R2來回答這一問題在不良貸款與貸款余額的回歸中，得到的R2=71.16%，解釋了不良貸款變差的2/3以上，說明擬合的效果還算不錯考察關(guān)于誤差項的正態(tài)性假定是否成立。因為我們在對線性關(guān)系進行F檢驗和回歸系數(shù)進行t檢驗時，都要求誤差項服從正態(tài)分布，否則，我們所用的檢驗程序?qū)⑹菬o效的。正態(tài)性的簡單方法是畫出殘差的直方圖或正態(tài)概率圖回歸分析結(jié)果的評價Excel輸出的部分回歸結(jié)果名稱計算公式AdjustedRSquareIntercept的抽樣標準誤差I(lǐng)ntercept95%的置信區(qū)間斜率95%的置信區(qū)間10.3利用回歸方程進行估計和預(yù)測10.3.1點估計10.3.2區(qū)間估計利用回歸方程進行估計和預(yù)測根據(jù)自變量x

的取值估計或預(yù)測因變量y的取值估計或預(yù)測的類型點估計y的平均值的點估計y的個別值的點估計區(qū)間估計y的平均值的置信區(qū)間估計y的個別值的預(yù)測區(qū)間估計點估計點估計2.點估計值有y的平均值的點估計y的個別值的點估計在點估計條件下，平均值的點估計和個別值的的點估計是一樣的，但在區(qū)間估計中則不同對于自變量x的一個給定值x0，根據(jù)回歸方程得到因變量y的一個估計值

y的平均值的點估計利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量

y

的平均值的一個估計值E(y0)，就是平均值的點估計在前面的例子中，假如我們要估計貸款余額為100億元時，所有分行不良貸款的平均值，就是平均值的點估計。根據(jù)估計的回歸方程得y的個別值的點估計利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y

的一個個別值的估計值，就是個別值的點估計例如，如果我們只是想知道貸款余額為72.8億元的那個分行(這里是編號為10的那個分行)的不良貸款是多少，則屬于個別值的點估計。根據(jù)估計的回歸方程得區(qū)間估計區(qū)間估計點估計不能給出估計的精度，點估計值與實際值之間是有誤差的，因此需要進行區(qū)間估計對于自變量

x的一個給定值x0，根據(jù)回歸方程得到因變量y的一個估計區(qū)間區(qū)間估計有兩種類型置信區(qū)間估計(confidenceintervalestimate)預(yù)測區(qū)間估計(predictionintervalestimate)置信區(qū)間估計利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y

的平均值的估計區(qū)間

，這一估計區(qū)間稱為置信區(qū)間(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信區(qū)間為式中：se為估計標準誤差置信區(qū)間估計

(例題分析)

【例】求出貸款余額為100億元時，不良貸款95%置信水平下的置信區(qū)間

解：根據(jù)前面的計算結(jié)果，已知n=25，

se=1.9799，t(25-2)=2.069

置信區(qū)間為當(dāng)貸款余額為100億元時，不良貸款的平均值在2.1141億元到3.8059億元之間預(yù)測區(qū)間估計利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y

的一個個別值的估計區(qū)間，這一區(qū)間稱為預(yù)測區(qū)間(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的預(yù)測區(qū)間為注意！預(yù)測區(qū)間估計

(例題分析)【例】求出貸款余額為72.8億元的那個分行，不良貸款95%的預(yù)測區(qū)間

解：根據(jù)前面的計算結(jié)果，已知n=25，se=1.9799，t(25-2)=2.069

預(yù)測區(qū)間為貸款余額為72.8億元的那個分行，其不良貸款的預(yù)測區(qū)間在-2.2766億元到6.1366億元之間影響區(qū)間寬度的因素置信水平(1-)區(qū)間寬度隨置信水平的增大而增大數(shù)據(jù)的離散程度s區(qū)間寬度隨離散程度的增大而增大3. 樣本容量區(qū)間寬度隨樣本容量的增大而減小4. 用于預(yù)測的xp與x的差異程度區(qū)間寬度隨xp與x的差異程度的增大而增大置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間

(例題分析)置信區(qū)間、預(yù)測區(qū)間、回歸方程xpyxx預(yù)測上限置信上限預(yù)測下限置信下限估計和預(yù)測需要注意的問題在利用回歸方程進行估計或預(yù)測時，不要用樣本數(shù)據(jù)之外的x值去預(yù)測相對應(yīng)的y值因為在一元線性回歸分析中，總是假定因變量y與自變量x之間的關(guān)系用線性模型表達是正確的。但實際應(yīng)用中，它們之間的關(guān)系可能是某種曲線此時我們總是要假定這條曲線只有一小段位于x測量值的范圍之內(nèi)。如果x的取值范圍是在xL和xU之間，那么可以用所求出的利用回歸方程對處于xL和xU之間的值來估計E(y)和預(yù)測y。如果用xL和xU之間以外的值得出的估計值和預(yù)測值就會很差實際數(shù)據(jù)是曲線而模型為直線xE(y)xLxUE(y)10.4殘差分析10.4.1用殘差證實模型的假定10.4.2用殘差檢測異常值和有影響的觀測值殘差

(residual)因變量的觀測值與根據(jù)估計的回歸方程求出的預(yù)測值之差，用e表示反映了用估計的回歸方程去預(yù)測而引起的誤差可用于確定有關(guān)誤差項的假定是否成立用于檢測有影響的觀測值用殘差