2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題專題05小題易丟分（30題）理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE31學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精小題易丟分一、單選題1．放煙花是逢年過節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式,已知一種煙花模型的三視圖如圖中的粗實(shí)線所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該煙花模型的表面積為（)A。B.C。D?！敬鸢浮緿2．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的最大值是（）A。B.C。2D.3【答案】A【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，,設(shè),則，在中根據(jù)余弦定理可得到化簡得：該式可變成：，故選點(diǎn)睛:本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用基本知識點(diǎn)結(jié)合本題橢圓和雙曲線的定義給出與、的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求出與的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍。3．已知雙曲線（)的焦距為，直線過點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直；以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與直線交于兩點(diǎn)，若,則雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C。D.【答案】B【解析】由題意得，漸近線方程為，則直線的斜率直線方程為，整理可得：焦點(diǎn)到直線的距離則弧長為整理可得即分解因式：雙曲線的離心率，則雙曲線的漸近線方程為故選。4．設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn)，若直線和相交于點(diǎn)，直線交雙曲線于,直線交雙曲線于，且使則稱和為“直線對”.現(xiàn)有所成的角為60°的“直線對”只有2對，且在右支上存在一點(diǎn)，使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B。C.D.【答案】D【解析】由雙曲線的對稱性知，，因?yàn)樗?，根據(jù)題意所成的角為60°的“直線對”只有2對，則，又因?yàn)樵谟抑洗嬖谝稽c(diǎn)，使由焦半徑公式得,得，故因?yàn)榧淳C上則該雙曲線的離心率的取值范圍是故選點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的離心率問題，綜合性較強(qiáng)，一定要理解題目中給出的條件意思，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，如“所成的角為60°的“直線對"只有2對"將其轉(zhuǎn)化為離心率問題，需要熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識5．已知點(diǎn),，，,，是拋物線(）上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若,且,則拋物線的方程為（）A。B.C.D。【答案】B6．在三菱柱中，是等邊三角形,平面，,，則異面直線和所成角的正弦值為（）A.B。C.D?！敬鸢浮緼【解析】如圖,作交的延長線于，連接，則就是異面直線和所成的角（或其補(bǔ)角）,由已知，，由，知異面直線和所成的角為直角，正弦值為,故選A?！痉椒c(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角立體幾何解題的“補(bǔ)型法”，屬于難題。求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量,再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解。7．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形,E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD。其中正確的有(）A.1個B。2個C。3個D.4個【答案】B【解析】由題意畫出四棱錐P-ABCD如圖所示,∵E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，∴，且。∴，且?！嗨倪呅蜤FCB為梯形，所以直線BE與直線CF相交。故①不正確。結(jié)合圖形可得直線BE與直線AF異面，故②正確。由，平面PBC，平面PBC，可得直線EF∥平面PBC。故③正確.對于④，如圖，假設(shè)平面BCEF⊥平面PAD。過點(diǎn)P作PO⊥EF分別交EF、AD于點(diǎn)O、N,在BC上取一點(diǎn)M,連接PM、OM、MN，∴PO⊥OM,又PO=ON，∴PM=MN。若PM≠M(fèi)N時，必然平面BCEF與平面PAD不垂直。故④不一定成立.綜上只有②③正確。選B.點(diǎn)睛：解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系問題的基本思路：一是逐個判斷，利用空間線面關(guān)系證明正確的結(jié)論，尋找反例否定錯誤的結(jié)論;二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室）作出判斷，但要注意定理的應(yīng)用要準(zhǔn)確、考慮問題要全面細(xì)致．8．下列說法中正確的個數(shù)是（)①平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面有2條或3條交線；②如果a，b是兩條直線,a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；③直線a不平行于平面α，則a不平行于α內(nèi)任何一條直線;④如果α∥β，a∥α,那么a∥β.A.0個B.1個C。2個D.3個【答案】A【解析】（1）錯誤。平面α與平面β，γ都相交,則這三個平面有可能有1條或2條或3條交線。（2）錯誤。如果a，b是兩條直線，a∥b，那么直線a有可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)。(3）錯誤。直線a不平行于平面α，則a有可能在平面α內(nèi)，此時可以與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行.（4）錯誤.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a?β.故選A.9．已知矩形.將矩形沿對角線折成大小為的二面角，則折疊后形成的四面體的外接球的表面積是（)A。B.C。D.與的大小無關(guān)【答案】C10．如圖（1），五邊形是由一個正方形與一個等腰三角形拼接而成，其中，，現(xiàn)將進(jìn)行翻折,使得平面平面，連接,所得四棱錐如圖(2）所示，則四棱錐的外接球的表面積為（)A.B。C。D?！敬鸢浮緾【解析】對四棱錐進(jìn)行補(bǔ)型,得到三棱柱如下所示，故四棱錐的外接球球心即為三棱柱的外接球球心;故其外接球半徑，故表面積故選C.點(diǎn)睛：本題考查了多面體的外接球，把不易求其外接球半徑的幾何體轉(zhuǎn)化為易求半徑的幾何體是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了補(bǔ)體的方法.二、填空題11．條件,條件，若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】是的充分不必要條件，是不等式的解集的真子集故12．下列說法中所有正確命題的序號是__________．①“”是“”成立的充分非必要條件;②、,則“”是“”的必要非充分條件；③若一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真;④設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”成立的充要條件?！敬鸢浮竣冖邰軐τ冖苤校诘缺葦?shù)列中，當(dāng)時，，即成立,當(dāng)時，則，所以,所以在等比數(shù)列中，是的充要條件，所以是正確的,故選②③④。13．給出下列四個結(jié)論：（1）是真命題，則可能是真命題;（2)命題“"的否定是“”；(3）“且”是“”的充要條件；(4）當(dāng)時，冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減其中正確結(jié)論是______.【答案】4【解析】①若p∧q是真命題，則p，q同時為真命題，則￢p是假命題，故￢p可能是真命題錯誤，故①錯誤,②特稱命題的否定是全稱命題，則命題“"的否定是“”；錯誤,故②錯誤，③“a〉5且b〉?5"則“a+b〉0”成立，當(dāng)a=?1，b=2滿足a+b>0，但a+b〉0錯誤，故③錯誤，④根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)α〈0時,冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞)上單調(diào)遞減。正確，故④正確，故答案為：④14．三棱錐中,底面是邊長為3的等邊三角形，側(cè)面三角形為等腰三角形，且腰長為，若,則三棱錐外接球表面積是__________．【答案】【解析】如圖，∵三棱錐A﹣BCD中，底面△BCD是邊長為3的等邊三角形，側(cè)面三角△ACD為等腰三角形，且腰長為，AB=2，∴AB2+BC2=AC2,AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BC,AB⊥BD,∵BC∩BD=B，∴AB⊥平面BCD，∴將三棱錐還原成三棱柱AEF﹣BCD，則上下底面中心O1，O2的連線的中點(diǎn)O為三棱錐A﹣BCD外接球的球心,如圖，BO2=,O2O=1，BO==2，∴三棱錐A﹣BCD外接球表面積S=4πr2=4π×22=16π．故答案為：．點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P,A，B，C構(gòu)成的三條線段PA,PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體,利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．15．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__________．【答案】【解析】由題意得，∴又∵∴∴故答案為點(diǎn)睛:本題主要考查正方體的性質(zhì)以及異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種:一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法,利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解。16．已知是兩個不同的平面，是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷：（1）；（2）（3)（4）。以其中三個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題：___________．【答案】或17．由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑砷L方體長為2,寬為1,高為1,則長方體的體積V1=2×1×1=2，圓柱的底面半徑為1,高為1，則圓柱的體積V2=×π×12×1=，則該幾何體的體積V=V1+2V2=,故答案為：點(diǎn)睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.18．已知為直線：上兩動點(diǎn)，且,圓：，圓上存在點(diǎn)，使，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為__________【答案】【解析】由題，設(shè),線段中點(diǎn)則由已知及余弦定理可得，即又，兩邊平方解得,即，則，即即答案為19．三棱錐中，平面，，,，則該三棱錐外接球的表面積是__________．【答案】5【解析】由題，平面,，是三棱錐的外接球直徑;可得外接球半徑∴外接球的表面積．

即答案為．20．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為__________．【答案】點(diǎn)睛：解答本題的方法稱為“點(diǎn)差法”，此法主要應(yīng)用于解決圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題，當(dāng)題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線相交形成的弦的中點(diǎn)時,可設(shè)出弦的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程后兩式作差、整理可得關(guān)于弦所在直線的斜率和弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的關(guān)系式，由此可使問題得以求解。當(dāng)然在解答題中還要注意判別式的限制條件.21．在四棱錐中,平面平面，側(cè)面是邊長為的等邊三角形，底面是矩形，且，則該四棱錐外接球的表面積等于__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊咂矫鍿AB⊥平面SAD，平面SAB∩平面SAD=SA,側(cè)面SAB是邊長為的等邊三角形，設(shè)AB的中點(diǎn)為E,SA的中點(diǎn)為F，則BF⊥SA，∴BF⊥平面SAD,∴BF⊥AD,底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面SAB,SE?平面SAB,∴AD⊥SE，又SE⊥AB，AB∩AD=A,∴SE⊥底面ABCD，作圖如下：∵SAB是邊長為的等邊三角形,∴。又底面ABCD是矩形，且BC=4，∴矩形ABCD的對角線長為,∴矩形ABCD的外接圓的半徑為。設(shè)該四棱錐外接球的球心為O,半徑為R,O到底面的距離為h，則r2+h2=R2,即7+h2=R2,又R2=22+(SE?h）2=4+(3?h)2，∴7+h2=4+（3?h）2，∴h=1.∴R2=7+h2=8,∴該四棱錐外接球的表面積。點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑。22．表面積為的球面上有四點(diǎn),，，，且為等邊三角形，球心到平面的距離為,若平面平面，則三棱錐的體積的最大值為__________.【答案】【解析】過O作OF⊥平面SAB,則F為△SAB的中心,過F作FE⊥SA于E點(diǎn)，則E為SA中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD，則∠ASD=30°，設(shè)球O半徑為r，則,解得.連結(jié)OS,則.過O作OM⊥平面ABC，則當(dāng)C，M,D三點(diǎn)共線時，C到平面SAB的距離最大，即三棱錐S?ABC體積最大.連結(jié)OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四邊形OMDF是矩形，∴三棱錐S?ABC體積。點(diǎn)睛：求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，23．已知點(diǎn)為曲線：上的一點(diǎn)，在第一象限，曲線在點(diǎn)處的切線為，過點(diǎn)垂直于的直線與曲線的另外一個交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______時,長度最小。【答案】【解析】設(shè)P，由得，

所以過點(diǎn)垂直于的直線方程為聯(lián)立得設(shè)，則，所以所以

=令．則,

當(dāng)時，為減函數(shù)，

當(dāng)時，為增函數(shù)，

所以所以的最小值為．此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)即答案為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,解答此題的關(guān)鍵是把高次冪的函數(shù)式通過換元降冪．24．若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線的方程是______，若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，則到橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離之和的最小值等于______.【答案】【解析】設(shè)l斜率為k,橢圓的弦被點(diǎn)平分，由點(diǎn)差法得到，得到K=,代入已知的中點(diǎn)P的坐標(biāo)得到直線方程為；設(shè)點(diǎn),則到橢圓的兩個焦點(diǎn)距離，先找點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為,連接,交直線于點(diǎn)M，此時距離之和最小，最小值為。故答案為:（1）(2）。點(diǎn)睛：這個題目考查了橢圓中的點(diǎn)差法的應(yīng)用，點(diǎn)差法就是聯(lián)系弦中點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)成的斜率和直線的斜率的關(guān)系的；再就是考查了直線兩側(cè)的點(diǎn)的距離和問題，一般是點(diǎn)在直線一側(cè)和有最小值,點(diǎn)在直線兩側(cè)差有最大值。25．若是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若，則_____，的面積______.【答案】26．若拋物線的焦點(diǎn)，則__________;設(shè)是拋物線上的動點(diǎn)，，則的最小值為__________．【答案】25【解析】由得；設(shè)M,A在準(zhǔn)線上的射影為M1，A1則點(diǎn)睛:1。凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程,則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．27．從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為,延長交雙曲線右支于點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則__________．【答案】1?！窘馕觥吭O(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接P.∵M(jìn)、O分別為FP、FF′的中點(diǎn),∴。，由雙曲線定義得，，故，答案為：1。點(diǎn)睛:本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于中檔題。求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.本題是利用點(diǎn)到直線的距離等于圓半徑,中位線定理，及雙曲線