八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章三角形的證明1.1等腰三角形1.1.4等邊三角形的判定授課課件新版北師大版

第一章

三角形的證明1.1等腰三角形第4課時(shí)

等邊三角形的判定1課堂講解等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升等邊三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧歸納等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長(zhǎng)度相等．1知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請(qǐng)證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.知1－導(dǎo)總

結(jié)知1－導(dǎo)定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.知1－講1．判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；判定定理2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．2．應(yīng)用注意事項(xiàng)：判定定理1在任意三角形中都適用，判定定理2適用的前提是等腰三角形；因此要結(jié)合題目的條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?－講如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF.求證：△OEF是等邊三角形．例1導(dǎo)引：從題中條件看，利用三角形的外角性質(zhì)易求∠OEF＝∠OFE＝60°，從而證明△OEF是等邊三角形．知1－講∵E，F(xiàn)分別是線段OB，OC的垂直平分線上的點(diǎn)，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等邊三角形．證明：總

結(jié)知1－講證明一個(gè)三角形是等邊三角形的方法：(1)若已知三邊關(guān)系，則選用等邊三角形定義來(lái)判定；(2)若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”來(lái)判定；(3)若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形”來(lái)判定．等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是(

)A．有一個(gè)內(nèi)角是60°B．有一個(gè)外角是120°C．有兩個(gè)角相等D．腰與底邊相等知1－練C2知1－練如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)為各邊中點(diǎn)，則圖中共有等邊三角形(

)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)D知1－練3下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(

)A．①②③

B．①②④C．①③

D．①②③④D知1－練4

(中考?河北)如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)D．3個(gè)以上D知1－練5

如圖，木工師傅從邊長(zhǎng)為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長(zhǎng)為(

)A．34cm

B．32cmC．30cmD．28cmC2知識(shí)點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)做一做用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說說你的理由.歸納知2－導(dǎo)定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.知2－導(dǎo)已知：如圖(1)，

△ABC是直角三角形，∠C

＝90°，∠A＝30°求證：BC＝AB.知2－導(dǎo)證明：如圖(2)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB

＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC

＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）∴

BC＝

BD＝

AB.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，

那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．要點(diǎn)精析：(1)適用條件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的關(guān)系——30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)

系．知2－講知2－講求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求證：CD＝AB例2

知2－講在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°

∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝

AC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等

于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴CD=AB.證明：知2－講例3

〈溫州〉如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若CD＝2，求DF的長(zhǎng)．導(dǎo)引：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．知2－講(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.解：總

結(jié)知2－講利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵要有兩個(gè)要素：一是含30°的角；二是直角三角形．

根據(jù)這兩個(gè)要素可建立直角三角形中斜邊與直角邊之間的關(guān)系．1知2－練如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的長(zhǎng).因?yàn)镃D是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：(2016?百色)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，

∠A＝30°，AB＝12，則BC＝(

)A．6

B．

C．

D．12知2－練A知2－練3如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB知2－練如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4知2－練如圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長(zhǎng)是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是(

)A．3mB．4mC．5mD．6B5知2－練【中考·河池】已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長(zhǎng)是(

)A．3B．4C．8D．9C6等邊三角形的判定方法：定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．(2)

含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．1知識(shí)小結(jié)已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則以P1，O，P2三點(diǎn)為頂點(diǎn)所確定的三角形是(

)A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法不理解導(dǎo)致出錯(cuò)2易錯(cuò)小結(jié)D如圖，連接PO.∵點(diǎn)P1與P關(guān)于