2018屆九年級數(shù)學下冊第27章圖形的相似27.2相似三角形相似三角形的綜合同步測試（版）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE20學必求其心得，業(yè)必貴于專精相似三角形的綜合課后作業(yè)1、如圖,Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D,下列結論中錯誤的是（）A．AC2=AD?ABB．CD2=CA?CBC．CD2=AD?DBD．BC2=BD?BA2、如圖,身高為1.5米的某學生想測量一棵大樹的高度,她沿著樹影BA由B向A走去,當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=4米，CA=2米，則樹的高度為（)A．6米B．4。5米C．4米D．3米3、如圖所示,一張等腰三角形紙片，底邊長18cm，底邊上的高長18cm，現(xiàn)沿底邊依次向下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，已知剪得的紙條中有一張是正方形,則這張正方形紙條是(）A．第4張B．第5張C．第6張D．第7張4、如圖,小明同學用自制的直角三角形紙板EFG測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊EG保持水平，并且邊EF所在的直線經(jīng)過點A．已知紙板的兩條直角邊EF=60cm，F(xiàn)G=30cm，測得小剛與樹的水平距離BD=8m，邊EG離地面的高度DE=1.6m,則樹的高度AB等于()A．5mB．5。5mC．5。6mD．5.8m5、如圖所示，數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動．小剛身高1。6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米,HF的長為1米,測得小橋拱高（弧GH的中點到弦GH的距離,即MN的長）為2米，則小橋所在圓的半徑為(）A．B．5C．3D．66、如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點F是AB的中點，AD與FE、BE分別交于點G、H,∠CBE=∠BAD．有下列結論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正確的有（）A．1個B．2

個C．3

個D．4個7、矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC的面積是8、《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．其中卷第九勾股,主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關系．其中記載：“今有邑，東西七里,南北九里，各中開門,出東門一十五里有木,問:出南門幾何步而見木？”譯文：“今有一座長方形小城，東西向城墻長7里，南北向城墻長9里,各城墻正中均開一城門．走出東門15里處有棵大樹，問走出南門多少步恰好能望見這棵樹?”（注：1里=300步）你的計算結果是:出南門步而見木．9、在平面直角坐標系中,點A(-5，0),以OA為直徑在第二象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，作點A關于點B的對稱點D，過點D作x軸垂線,分別交直線OB、x軸于點E、F，點F為垂足，當DF=4時，線段EF=．10、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AC=6，BD=3．(1）求∠A的度數(shù)；（2)求BC的長及△ABC的面積．11、如圖,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB,FC．（1）求證：∠FBC=∠FCB;（2）已知FA?FD=12,若AB是△ABC外接圓的直徑,FA=2,求CD的長．12、課本中有一道作業(yè)題:有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．（1）加工成的正方形零件的邊長是多少mm?（2)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1,此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少？請你計算．(3)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

參考答案1、解析:直接根據(jù)射影定理對各選項進行判斷．解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∴AC2=AD?AB，CD2=DA?DB,BC2=BD?BA．故選B2、解析：如圖，CE=1.5m,易證得△ACE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用比例性質(zhì)求出BD即可．解：如圖，CE=1.5m，∵CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，∴AC:AB=CE:BD，即2：(2+4）=1.5：BD,∴BD=4。5（m），即樹的高度為4。5m．故選B．3、解析：根據(jù)相似三角形的相似比求得頂點到這個正方形的長，再根據(jù)矩形的寬求得是第幾張．解:已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊是3，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設從頂點到這個正方形的線段為x，則3:18=x：18，解得x=3，所以另一段長為18-3=15，因為15÷3=5，所以是第5張．故選：B．4、解析:先求出EC=BD，再求出△EFG和△ECA相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解得到AC，再根據(jù)AB=AC+BC求解即可．解：∵小剛與樹的水平距離BD=8m，∴EC=BD=8m,∵∠E=∠E，∠EFG=∠ECA=90°，∴△EFG∽△ECA，∴EF:FG=EC：CA，即60:30=8:CA，解得AC=4，又∵DE=1。6m，∴BC=DE=1.6m，∴AB=AC+BC=4+1.6=5。6m．故選C5、解析：小橋所在圓的圓心為點O，連結OG，設⊙O的半徑為r米．先利用平行投影的性質(zhì)和相似的性質(zhì)得到DE：EF=1.6：2。4，于是可求出GH=8米，再根據(jù)垂徑定理得到點O在直線MN上，GM=HM=GH=4米，然后根據(jù)勾股定理得到r2=（r-2）2+16，再解方程即可．解：如圖,設小橋的圓心為O,連接OM、OG．設小橋所在圓的半徑為r米．∵DE:EF=1.6：2。4，∴8：EF=1。6:2。4解得EF=12,∴GH=12—3—1=8（米)．∵MN為弧GH的中點到弦GH的距離，∴點O在直線MN上，GM=HM=GH=4米．在Rt△OGM中，由勾股定理得：OG2=OM2+GM2,即r2=（r—2）2+16,解得：r=5．答:小橋所在圓的半徑為5米．6、解析：由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD=AB,證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延長FD=FE，①正確；證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正確；證明△ABD～△BCE，得出BC：AB=BE:AD，即BC?AD=AB?BE,再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BC?AD=AE2；③正確；由F是AB的中點，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；即可得出結論．解:∵在△ABC中，AD和BE是高,∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵點F是AB的中點，∴FD=AB，∵∠ABE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE,∵點F是AB的中點，∴FE=AB,∴FD=FE，①正確；∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC,∵AD⊥BC，∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,在△AEH和△BEC中，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∠EAH＝∠CBE,∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD~△BCE，∴BC：AB=BE：AD，即BC?AD=AB?BE,∵AE2=AB?AE=AB?BE，BC?AD=AC?BE=AB?BE,∴BC?AD=AE2；③正確；∵F是AB的中點，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；故選：D7、解析：根據(jù)已知條件,先求出線段AE,BE，DE的長度,進而求Rt△AED的面積,再證明△ECD的面積與它相等即可得出答案．解:如圖，過點C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，AB=4，AE⊥BD,∠BAE=30°,∴AB2=BE×BD,BE=2，AE=2,∴ED=BD-BE=6，∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD=4，AEB=∠CFD=90°．∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．∴S△AED=ED?AE，S△ECD=ED?CF∴S△AED=S△CDE,∵AE=2，DE=6，∴△ECD的面積是6．故答案為:68、解析:根據(jù)題意寫出AB、AC、CD的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可．解:由題意得，AB=15里，AC=4。5里，CD=3。5里，△ACB∽△DEC，∴DE:AC=DC：AB，即DE：4。5=3.5：15,解得,DE=1。05里=315步，∴走出南門315步恰好能望見這棵樹,故答案為：315．9、解析:連接OD，則OD=OA=5，在直角三角形ODF中，可求出OF=3，故AF=2，在直角三角形ADF中由勾股定理求出AD，由相似三角形的判定定理找出△DBE∽△DFA,結合三角形相似的性質(zhì)找出DE：DA=DB:DF,在等腰三角形AOD中可得出AB=DB=AD，套用DE=DB×DA：DF得出DE值，再由EF=DF-DE得出結論．解:連接OD,如圖所示．∵點A、點D關于B點對稱，∴OD=OA=5．在Rt△ODF中，OD=5，DF=4，∠DFO=90°，∴OF==3,∴AF=OA—OF=2．∵AO為⊙C的直徑,∴∠ABO=90°，∴∠DBE=90°=∠DFA，又∵∠BDE=∠FDA，∴△BDE∽△FDA，∴DE：DA=DB:DF．在Rt△ADF中，AF=2，DF=4，∠AFD=90°，∴AD==2．∵OA=OD，且OB⊥AD，∴AB=DB=AD=,∴DE=DB×DA:DF=，∴EF=DF-DE=．故答案為：10、解析：（1）先利用射影定理得到AC2=AD?AB,即（6)2=AD?（AD+3),再解方程得到AD=9，然后根據(jù)正弦的定義求∠A；(2）先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系求BC,然后根據(jù)三角形面積公式求△ABC的面積．解：（1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB于點D，∴AC2=AD?AB，即（6）2=AD?（AD+3），整理得AD2+3AD-108=0,解得AD=9或AD=-12（舍去），在Rt△ACD中,∵AD：AC=9：6=：2，∴∠A=30°；（2）∵AB=AD+BD=9+3=12，而∠A=30°,∴BC=AB=6,∴S△ABC=?AC?BC=?6?6=1811、解析:（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補角關系證出∠FBC=∠CAD，再由角平分線和對頂角相等得出∠FAB=∠CAD，由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出結論；（2)由（1)得：∠FBC=∠FCB,由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，證出△AFB∽△BFD,得出對應邊成比例求出BF，得出FD、AD的長，由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°,由三角函數(shù)求出∠FBA=30°，再由三角函數(shù)求出CD的長即可．（1）證明：∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠FBC+∠FAC=180°,∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAD=∠FAB,∴∠FAB=∠CAD，又∵∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB；（2)解：由(1）得:∠FBC=∠FCB，又∵∠FCB=∠FAB，∴∠FAB=∠FBC，∵∠BFA=∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴BF:FD=FA：BF，∴BF2=FA?FD=12，∴BF=2，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB為圓的直徑，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF：BF=2:2=:3，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°，∴CD==4×=212、解析：（1）設正方形的邊長為xmm,則PN=PQ=ED=x,AE=AD-ED=80-x，通過證明△APN∽△ABC,利用相似比可得到x：120=（80—x):80，然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可；（2）由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設PQ=x,則PN=2x，AE=80-x，然后與（1)的方法一樣求解；（3）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．解：（1)如圖1，設正方形的邊長為xmm，則PN=PQ=ED=x，∴AE=AD-ED=80—x，∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC，∴PN:BC=AE:AD，即x：120=(80—x）:80,解得x=48．∴加工成的正方形零件的邊長是48mm;(2）如圖2，設PQ=x，則PN=2x，AE=80-x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PN：BC=AE：AD,即2x：120=（80-x）：80，解得：x=240