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9.4雙曲線(精練)【題組一雙曲線的定義及運用】1.(2021·云南昆明市·昆明一中高三(理))已知雙曲線的左、右焦點分別為,,過的直線與該雙曲線的右支交于,兩點,若,則周長為()A.16 B.24 C.36 D.40【答案】C【解析】因為雙曲線為,所以;由雙曲線的定義得,所以,所以周長為,故選:C.2.(2021·南昌市豫章中學高三開學考試(理))已知雙曲線的一條漸近線方程為,右焦點為,點在雙曲線左支上運動,點在圓上運動,則的最小值為()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由雙曲線方程,得,所以漸近線方程為比較方程,得所以雙曲線方程為,點記雙曲線的左焦點為,且點在雙曲線左支上,所以所以由兩點之間線段最短,得最小為因為點在圓上運動所以最小為點到圓心的距離減去半徑1所以所以的最小值為8故選:C3.(2021·吉林白城一中高三月考(理))已知雙曲線的兩個焦點分別為,,為坐標原點,若為上異干頂點的任意一點,則與的周長之差為()A.8 B.16 C.或8 D.或16【答案】D【解析】的方程可化為,所以,易知與周長差的絕對值為,故與的周長之差為或16.故選:D.4.(2021·肥城市教學研究中心高三月考)已知雙曲線的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點.若|PF1|=|PF2|,則△F1PF2的面積為()A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,由勾股定理可知:三角形PF1F2為直角三角形,因此|PF1|·|PF2|=24.故選:B.5.(2021·全國高三專題練習)已知雙曲線的左?右焦點分別為,,為雙曲線上一點,且,則___________.【答案】【解析】依題意,設,不妨設,,設,根據(jù)雙曲線的定義、余弦定理、三角形的面積公式得,,,,,,,,由于,所以,所以.故答案為:6.(2021·全國)已知、為雙曲線的左、右焦點,點P在C上,,則的面積為____________【答案】【解析】雙曲線,則,所以,利用雙曲線定義知,,兩邊平方得,且,由余弦定理,解得:,則.故答案為:7.(2021·全國高三月考(理))已知雙曲線:的左?右焦點分別為,,直線與交于,兩點,當最小時,四邊形的面積為___________.【答案】【解析】設,由,得,由韋達定理得,所以,,,當時,有最小值,設到直線的距離分別為,,所以四邊形的面積為,故答案為:【題組二雙曲線的標準方程】1.(2021·全國高三(理))已知直線被中心在坐標原點,焦點在坐標軸上的雙曲線所截得的線段長為6,被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為,則該雙曲線的標準方程為()A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】由直線被雙曲線截得的線段長為6,被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為,可得雙曲線的焦點在軸上,不妨設雙曲線方程為,直線被雙曲線截得的線段長為6,所以當時,,①由雙曲線的漸近線方程為,直線被該雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為,所以對于,當時,,即,②由①②解得,故雙曲線方程為,故選:.2.(2021·北京高考真題)若雙曲線離心率為,過點,則該雙曲線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】,則,,則雙曲線的方程為,將點的坐標代入雙曲線的方程可得,解得,故,因此,雙曲線的方程為.故選:B3.(2021·北京海淀·清華附中高三)已知雙曲線的一個焦點為,并且雙曲線C的漸近線恰為矩形的邊所在直線(O為坐標原點),則雙曲線C的方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】焦點為,,為矩形,,根據(jù)雙曲的對稱性,,又,則可解得,則雙曲線方程為.故選:A.4.(2021·合肥市第八中學高三(理))已知雙曲線的一條漸近線過點,且雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為曲線的一條漸近線過點,所以雙曲線的焦點在軸上,且,雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,所以,所以,即雙曲線的方程為故選:B.5.(2021·山西臨汾·高三(理))已知雙曲線的右焦點為,設是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點,分別為的中點.若原點在以線段為直徑的圓上,直線的斜率為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意,不妨設,則,則,,又因為原點在以線段為直徑的圓上,所以,所以,即,所以,又因為直線的斜率為,所以,所以,解得所以,解得,所以雙曲線的方程為故選:C6.(2021·江西(理))已知雙曲線的離心率為,且經(jīng)過點,則該雙曲線的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知條件可得,解得,因此,雙曲線的方程為.故選:B.7.(2021·天津和平·高三月考)已知雙曲線,為等邊三角形.若點在軸上,點,在雙曲線上,且雙曲線的實軸為的中位線,雙曲線的左焦點為,經(jīng)過和拋物線焦點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為雙曲線的實軸為等邊的中位線,所以的邊長為,不妨設點在第一象限,代入得,解得,所以,得,所以雙曲線的左焦點的坐標為,因為拋物線焦點為,所以,因為漸近線的斜率為,所以或(舍去),所以,所以,所以雙曲線方程為,故選:B8.(2021·天津高三)設為雙曲線的右焦點,圓與E的兩條漸近線分別相交于A,B兩點,O為坐標原點,若四邊形OAFB是邊長為4的菱形,則E的方程為()A. B.C. D.【答案】D【解析】由四邊形OAFB是邊長為4的菱形,知:且△、△均為等邊三角形,而漸近線方程為,∴,又,∴,,故E的方程為.故選:D.9.(2021·天津)已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知條件可知,拋物線的準線方程為,可得,所以,拋物線的標準方程為,拋物線的焦點為,由于雙曲線的左頂點與拋物線的焦點間的距離為,則,解得,點在第三象限,由題意可知,點在直線上,所以,,解得.因此,雙曲線的標準方程為.故選:C.【題組三直線與雙曲線的位置關(guān)系】1(2021·上海高三專題練習)若直線與曲線交于不同的兩點,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】因為表示雙曲線的右支,由消去得,整理得,設直線與曲線的兩交點為,,其中,,則,解得,又,解得,綜上,.故選:D.2.(2021·全國高三專題練習)已知雙曲線的離心率為,過點的直線與雙曲線交于不同的兩點、,且為鈍角(其中為坐標原點),則直線斜率的取值范圍是()A. B.,,C. D.【答案】A【解析】由題意雙曲線的離心率為,得,解得,雙曲線,設直線,與雙曲線聯(lián)立得:,設點,,,,則,,又因為為鈍角,則,所以,即得出,即,所以直線的斜率,又且三點不可能共線,則必有,即直線斜率的取值范圍是,故選:A.3.(2021·全國高三專題練習)設F是雙曲線的右焦點.過點F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】因為雙曲線的兩條漸近線方程為,當過點F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時.直線l只與雙曲線右支有一個交點,數(shù)形結(jié)合可知,當漸近線的斜率滿足,即時,直線l與雙曲線左、右支均相交,所以.故選:C.4(2021·廣東高三專題練習)若為雙曲線的左焦點,過原點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于,兩點,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由得,,,則左焦點,右焦點,因為題中給出為雙曲線的左焦點,則,,又因為雙曲線與過原點的直線都關(guān)于原點對稱,所以,又根據(jù)雙曲線的定義,所以,設所以,設,,令,解得或,(),所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,,所以的取值范圍為,則的取值范圍是,故選:D5(2021·內(nèi)蒙古包頭·(文))設為坐標原點,直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點,若的焦距為,則當?shù)拿娣e最大值為()A. B.C. D.【答案】C【解析】聯(lián)立可得,所以,,因為,則,即,,當且僅當時,等號成立,因此,的面積最大值為.故選:C.6.(2021·全國高三月考(文))已知雙曲線的右焦點為,過原點的直線與雙曲線交于,兩點,且,則的面積為()A.3 B. C. D.【答案】C【解析】如圖,設雙曲線的左焦點為,連接,,依題可知,四邊形為平行四邊形.由可得,.在中,由余弦定理可得:,即,①又因為點在雙曲線上,則,所以,②兩式相減得,即,所以,也即為的面積,故選:C.【題組四弦長及中點弦】1.(2021·全國高三專題練習)已知直線:與雙曲線:(,)交于,兩點,點是弦的中點,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】D【解析】設,因為是弦的中點,根據(jù)中點坐標公式得.直線:的斜率為,故.因為兩點在雙曲線上,所以,兩式相減并化簡得,所以,所以.故選:D2(2021·全國高三專題練習)已知A,B為雙曲線1(a>0,b>0)上的兩個不同點,M為AB的中點,O為坐標原點,若kAB?kOM,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設,,則=,=,
由可得.
∴,
即,則雙曲線的離心率為.故選:D.3.(2021·廣東廣州·)(多選)過雙曲線的左焦點作直線交于,兩點,則()A.若,則直線只有條 B.若,則直線有條C.若,則直線有條 D.若,則直線有條【答案】ABD【解析】因為雙曲線的左焦點的坐標為,該雙曲線的漸近線方程為,若直線的斜率不存在,則的方程為,代入可得,此時;若直線的斜率存在,可設的方程為,設,,為使與有兩不同交點,只需;由消去整理得,則,所以;A選項,由可得,無解;因此,若,則的方程只有;故A正確;B選項,由可得或,解得無解或,因此,若,則的方程為;故B正確;C選項,由可得或,解得無解或,因此,若,則的方程為;故C錯;D選項,由可得或,解得或,因此,若,則的方程為或;故D正確;故選:ABD.4.(2021·全國)若直線:過雙曲線:的左焦點,且與雙曲線只有一個公共點,則雙曲線的方程為______.【答案】【解析】過雙曲線:(,)的漸近線方程為,因為過雙曲線:的左焦點的直線:與雙曲線只有一個公共點,所以直線與漸近線平行,得,,又因為,解得,,,所以雙曲線的方程為.故答案為:.5(2021·全國高三專題練習(理))若曲線與直線有兩個不同的公共點,則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】且【解析】聯(lián)立,消y得.當,即時,不滿足題意.當,即時,曲線與直線有兩個不同的公共點,,解得,.故答案為:,且.6.(2021·全國高三專題練習(理))若過點且斜率為k的直線與雙曲線只有一個公共點,則___________.【答案】或【解析】由題意可得,代入雙曲線方程得.當,即時,直線l與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個公共點;當時,,解得.綜上,當或時,直線與雙曲線只有一個公共點.故答案為:或7.(2021·廣西柳州·柳鐵一中高三月考(文))已知雙曲線與軸交于兩點,,則的面積的最大值為__________.【答案】2【解析】雙曲線與軸交于、兩點,,,,,點,面積.當且僅當時取等號,面積的最大值為2,故答案為:2.【題組五離心率及漸近線】1.(2021·陜西咸陽·高三)如圖,已知,分別為雙曲線:的左右焦點,過的直線與雙曲線的左支交于、兩點,連接,,在中,,,則雙曲線的離心率為()A.2 B.C. D.【答案】D【解析】設,由雙曲線的定義可得,由,可得,即有,因為為等腰三角形,所以,解得,在△中,,化為,即有.故選:.2.(2021·浙江高三)已知雙曲線的左、右焦點分別為,,為雙曲線上位于第二象限內(nèi)的一點,點在軸上運動,若的最小值為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示:連接,因為,當且僅當,,三點共線時等號成立,所以的最小值為,所以,解得.由題意知,∴,故選:B.3.(2021·黑龍江哈爾濱市第六中學校高三(文))點為雙曲線右支上一點,分別是雙曲線的左、右焦點,若,則雙曲線的一條漸進方程是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意,點為雙曲線右支上一點,分別是雙曲線的左、右焦點,因為,由雙曲線的定義,可得,解得,所以雙曲線的一條漸進方程是,即.所以雙曲線的一條漸進方程是.故選:C.4.(2021·貴州省思南中學(文))過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)作圓O:x2+y2=a2的切線,切點為E,延長FE交雙曲線于點P,若E為線段FP的中點,則雙曲線的離心率為()A. B.C.+1 D.【答案】A【解析】不妨設E在x軸上方,F(xiàn)′為雙曲線的右焦點,連接OE,PF′,如圖所示:因為PF是圓O的切線,所以OE⊥PE,又E,O分別為PF,F(xiàn)F′的中點,所以|OE|=|PF′|,又|OE|=a,所以|PF′|=2a,根據(jù)雙曲線的定義,|PF|-|PF′|=2a,所以|PF|=4a,所以|EF|=2a,在Rt△OEF中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即a2+4a2=c2,所以e=,故選A.5.(2021·全國高三專題練習)已知F1、F2分別為雙曲線C:(a>0,b>0)的左、右焦點,點A在雙曲線上,且∠F1AF2=60°,若∠F1AF2的角平分線經(jīng)過線段OF2(O為坐標原點)的中點,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設點在第一象限,的角平分線交軸于點,因為點是線段的中點,所以,根據(jù)角平分線定理可知,又因為,所以,,由余弦定理可得,所以,所以.故選:B6.(2021·全國高三專題練習(理))如圖,,分別是雙曲線(,)的左、右焦點,過的直線與雙曲線分別交于,兩點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C. D.【答案】A【解析】設,,由,且,可得,,由雙曲線的定義,可得,又,解得,,所以是邊長為的等邊三角形,在中,,,,,則,化為,即,即有.故選:A.7.(2021·全國高三專題練習(理))已知雙曲線的焦距為,則C的一條漸近線方程不可能為()A. B. C. D.【答案】C【解析】當焦點在x軸上時,C的方程可化為,依題意得,解得,故C的方程為,其漸近線方程為y=;當焦點在y軸上時,C的方程可化為,依題意得,解得,故C的方程為,其漸近線方程為,對照各選項,只有C不符合.故選:C.8.(2021·浙江高三開學考試)已知雙曲線的右焦點為,漸近線方程為,則該雙曲線實軸長為()A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】由題意知,漸近線方程為,則,又焦點為,即,所以,則,即或(舍去),在實軸長為,故選:A.9.(2021·云南玉溪·高三月考(理))雙曲線:的一條漸近線的方程為,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】由雙曲線:可得:,,所以雙曲線的漸近線為,由可得,所以,解得:,所以,所以,所以離心率為,故選:D10.(2021·廣東廣州市·高三月考)已知,分別是雙曲線:的左、右焦點,點是其一條漸近線上一點,且以線段為直徑的圓經(jīng)過點,則點的橫坐標為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設,漸近線為,可令,而,,∴,,又,∴.故選:C11.(2021·全國高三專題練習)已知雙曲線的漸近線夾角為,離心率為e,則等于()A.e B. C. D.【答案】C【解析】取雙曲線方程為,易得離心率,故選:C.12.(2021·全國高三月考(文))設直線與雙曲線交于,兩點,若是線段的中點,直線與直線(是坐標原點)的斜率的乘積等于,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】設,,則直線的斜率為,直線的斜率為,即.因為點,在雙曲線上,所以有,,兩式相減化簡得:,所以有,則雙曲線的漸近線方程為.故選:D.13.(2021·全國高三專題練習(理))已知雙曲線的焦距為,則C的一條漸近線方程不可能為()A. B. C. D.【答案】C【解析】當焦點在x軸上時,C的方程可化為,依題意得,解得,故C的方程為,其漸近線方程為y=;當焦點在y軸上時,C的方程可化為,依題意得,解得,故C的方程為,其漸近線方程為,對照各選項,只有C不符合.故選:C.14.(2021·廣東廣州市·高三月考)已知,分別是雙曲線:的左、右焦點,點是其一條漸近線上一點,且以線段為直徑的圓經(jīng)過點,則點的橫坐標為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設,漸近線為,可令,而,,∴,,又,∴.故選:C15.(2021·全國高三專題練習)已知雙曲線的漸近線夾角為,離心率為e,則等于()A.e B. C. D.【答案】C【解析】取雙曲線方程為,易得離心率,故選:C.【題組六綜合運用】1.(2021·福建莆田·高三)(多選)設為坐標原點,是雙曲線的左、右焦點.在雙曲線的右支上存在點滿足,且線段的中點在軸上,則()A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的方程可以是C. D.的面積為【答案】AC【解析】對于A,設,因為線段的中點為,為的中點,所以∥,所以,由雙曲線的定義可得,設,因為,所以,則,因為,所以,由,得,所以,所以A正確,對于B,因為,所以,所以雙曲線的漸近線方程為,所以B錯誤,對于C,因為為的中點,所以,所以,所以,即,因為,所以,即,即,所以可得,,得,所以C正確;對于D,,所以D錯誤,故選:AC2.(2021·渝中·重慶巴蜀中學高三月考)雙曲線:的左、右焦點分別為,,過右焦點且斜率為的直線交右支于,兩點,以為直徑的圓過點,則()A.若的內(nèi)切圓與相切于,則B.若雙曲線的方程為,則的面積為24C.存在離心率為的雙曲線滿足條件D.若,則雙曲線的離心率為【答案】BD【解析】對于選項A:記內(nèi)切圓與相切于,與相切于,與相切于,則,;故,故選項A不正確;對于選項B:由以為直徑的圓過點,知;若雙曲線的方程為,則,,;設,,則,,故,可得:;可得,故的面積為,故選項B正確;對于選項C:若,則,故漸近線為,設,,由得,則,此時直線不可能與右支交于兩點,故C不正確;對于選項D:若,設,,則,,故可得,故,可得,故選項D正確,故選:BD.3(2021·全國高三專題練習(文))(多
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