概率論第一章(課件4)

第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量

一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果常和數(shù)量相聯(lián)系，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例擲一顆骰子,考察面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；七月份北京的最高溫度；每天從鄭州站下火車的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來(lái)描述：正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).ω.X(ω)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，所以在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.定義2.1.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間={ω}，如果對(duì)于每一個(gè)ω

∈

有實(shí)數(shù)X(ω)和它對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在上的實(shí)值單值函數(shù)X(ω);稱X(ω)為隨量機(jī)變而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,η等表示簡(jiǎn)記為r.v.(randomvariable)。

例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X

的各種問(wèn)題.

如P(X

>1.7)=？P(X

≤1.5)=?P(1.5<

X

<1.7)=?有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).二、引入隨機(jī)變量的意義如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒(méi)有收到呼叫}{X=0}隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律三、隨機(jī)變量的分類

如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測(cè)量誤差”等.全部可能取值不僅無(wú)窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.—其中一重要情形：連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,…。為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率。

2.2離散型隨機(jī)變量及其分布

這樣,我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從5個(gè)球中任取3個(gè)球，取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。X可能取的值是：0,1,2。取每個(gè)值的概率為例1且

定義2.2.1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱

k=1,2,…為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律，也可以用表格的形式來(lái)表示：X

x1x2...xn...Pp1p2...pn...

其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率分布解:依據(jù)概率分布的性質(zhì)，pk=P(X=k)≥0,

a≥0，從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布，應(yīng)有這里用到了常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.因?yàn)椋?/p>

注：若已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布

k=1,2,…則對(duì)于任意實(shí)數(shù)a<b,事件{a<X<b}的概率可由概率分布求得。且事件{X=xi}互不相容，由概率的可加性，得到例

隨機(jī)的擲一顆骰子，ω表示的樣本點(diǎn),ω:出現(xiàn)1點(diǎn)出現(xiàn)2點(diǎn)出現(xiàn)3點(diǎn)出現(xiàn)4點(diǎn)出現(xiàn)5點(diǎn)出現(xiàn)6點(diǎn)X(ω):

123456X的概率分布為X123456P1/61/61/61/61/61/6

注意:

離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來(lái)求:(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;(2)計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率(3)列出隨機(jī)變量的概率分布表.例3：袋內(nèi)有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，每次抽取一個(gè)，不放回，直到取得黑球?yàn)橹?。記X為取到白球的數(shù)目，Y為抽取次數(shù)，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解:(1)X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,類似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布為X0123P5/815/565/561/56(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56

(2)Y的可能取值為1,2,3,4,P(Y=1)=P(X=0)=

5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,類似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布為Y1234P5/815/565/561/56四、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布1、兩點(diǎn)分布

設(shè)E是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用Ω={1,2}表示其樣本空間.

P({1})=p,P({2})=1-p

來(lái)源X()=1,=10,=2例5

200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定X()=1,取到合格品0,取到不合格品

則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布.即X～B(1,0.98).2、二項(xiàng)分布：設(shè)貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)(成功)的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.用X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)（成功）的次數(shù)，則X的概率分布為其中：0<p<1，q=1-p，記為X~B(n,p).例6:一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,每次一件,求取得合格品件數(shù)X,以及取得不合格品件數(shù)Y的概率分布,(1)X對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為n=4,“成功”即“取得合格品”的概率p=0.8,(2)此時(shí),“成功”即“取得不合格品”的概率為p=0.2,所以,X~B(4,0.8)所以,Y~B(4,0.2)X01P1-pp當(dāng)n=1時(shí)，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或稱作0-1分布.或者：設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件不合格品，今從中任取n件，試問(wèn)這n件產(chǎn)品中恰有m(m≤M)件不合格品的概率是多少？例7：例8：在6只同類產(chǎn)品中有2只不合格品，從中每次取一只，共取3次（1）每次取出的產(chǎn)品立即放回，再取下一只。求取出3只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X的概率分布（2）每次取出的產(chǎn)品都不放回，求取出3只產(chǎn)品中的不合格品數(shù)Y的概率分布超幾何分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系：當(dāng)N很大,n很小時(shí):超幾何分布近似的看成是二項(xiàng)分布。命題：若當(dāng)N→∞時(shí)，M/N→p,則有4、Possion分布(泊松分布)定義:若隨機(jī)變量X所有可能取得值為0，1，2，…,取各個(gè)值的概率為則稱X服從參數(shù)為λ的Possion分布,記為X~P(λ).歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項(xiàng)分布與泊松分布命題

對(duì)于二項(xiàng)分布B(n,p),當(dāng)n充分大,p又很小時(shí),則對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)k,有近似公式例9：已知某自動(dòng)機(jī)床產(chǎn)品的次品率為0.001，從產(chǎn)品中任取5000個(gè)，求這5000個(gè)產(chǎn)品中次品超過(guò)5的概率？解令5000個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則X~B(5000,0.001)，于是，所求概率從上式可以看出，若用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算，計(jì)算量很大。但注意到，n很大，p很小，這時(shí)，np=5,不是很大，可以用前面的近似公式取λ=np=5,可得例10、

假定一個(gè)實(shí)驗(yàn)成功的概率為p(0<p<1),不斷重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),直到首次成功為止,求實(shí)驗(yàn)次數(shù)X的概率分布.解:X的概率分