2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)近8年真題分類匯編專題3函數(shù)的單調(diào)性

PAGEPAGE1專題3—函數(shù)的單調(diào)性考試說明：理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；高頻考點(diǎn)：1、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及推斷方法；冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：比如，畫圖象，求最值，求零點(diǎn)等。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)特別重要的性質(zhì)，高考中主要以選擇題、填空題的形式考查，在大題導(dǎo)數(shù)題中也會(huì)重點(diǎn)考查，同學(xué)們?cè)谝惠啅?fù)習(xí)中要練好基本功。典例分析1．（2024?甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為A． B． C． D．2．（2017?山東）若函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．3．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．4．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若，則A． B． C． D．5．（2016?天津）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿意，則的取值范圍是A． B．，， C．， D．，6．（2024?海南）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A． B．， C． D．，7．（2013?天津）已知函數(shù)．設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．8．（2013?福建）設(shè)，是的兩個(gè)非空子集，假如存在一個(gè)從到的函數(shù)滿意：；對(duì)隨意，，當(dāng)時(shí)，恒有，那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是A．， B．，或 C．， D．，真題集訓(xùn)1．（2024?北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．2．（2010?北京）給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是A．①② B．②③ C．③④ D．①④3．（2010?安徽）動(dòng)點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A．， B．， C．， D．，和，4．（2024?全國）的遞增區(qū)間是A． B． C．， D．5．（2014?天津）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A． B． C． D．6．（2015?全國）設(shè)函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的最小值為A．2 B．1 C． D．7．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則A． B． C． D．8．（2017?山東）若函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．下列函數(shù)中全部具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為．①②③④．9．（2015?天津）已知，，，則當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，取得最大值．10．（2024?江蘇）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓弧為此圓弧的中點(diǎn)）和線段構(gòu)成．已知圓的半徑為40米，點(diǎn)到的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形態(tài)為矩形，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形態(tài)為，要求，均在線段上，，均在圓弧上．設(shè)與所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．11．（2014?廣東）設(shè)函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）；（2）探討函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）若，求上滿意條件（1）的的集合（用區(qū)間表示）．典例分析答案1．（2024?甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為A． B． C． D．分析：結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可推斷．解答：解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，不符合題意；由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，不符合題意；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上不單調(diào)，不符合題意；依據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，符合題意．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性的推斷，屬于基礎(chǔ)題．2．（2017?山東）若函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．分析：依據(jù)已知中函數(shù)具有性質(zhì)的定義，可得時(shí)，滿意定義．解答：解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)具有性質(zhì)，故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查的學(xué)問點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．3．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．分析：由得：，，，令，則，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，可得答案．解答：解：由得：，，，令，則，時(shí)，為減函數(shù)；時(shí)，為增函數(shù)；為增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查的學(xué)問點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．4．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若，則A． B． C． D．分析：方法一：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，的大小關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)即可推斷．方法二：依據(jù)條件取，，即可解除錯(cuò)誤選項(xiàng)．解答：解：方法一：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，滿意，此時(shí)，，可解除．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在比較變量大小中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．5．（2016?天津）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿意，則的取值范圍是A． B．，， C．， D．，分析：依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知在遞減，故只需令即可．解答：解：是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．，，．，解得．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．6．（2024?海南）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A． B．， C． D．，分析：由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，令，由外層函數(shù)是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，需內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增且恒大于0，轉(zhuǎn)化為，，，即可得到的范圍．解答：解：由，得或．令，外層函數(shù)是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增且恒大于0，則，，，即．的取值范圍是，．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．7．（2013?天津）已知函數(shù)．設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．分析：解除法：取，由，得，分，，探討，可得，檢驗(yàn)是否符合題意，可解除、；取，由，得，分，，進(jìn)行探討，檢驗(yàn)是否符合題意，解除．解答：解：取時(shí)，，，，（1）時(shí)，解得；（2）時(shí)，解得；（3）時(shí)，解得，綜上知，時(shí)，，，符合題意，解除、；取時(shí)，，，，（1）時(shí)，解得，沖突；（2），解得，沖突；（3）時(shí)，解得，沖突；綜上，，，不合題意，解除，故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想，考查學(xué)生分析解決問題的實(shí)力，留意解除法在解決選擇題中的應(yīng)用．8．（2013?福建）設(shè)，是的兩個(gè)非空子集，假如存在一個(gè)從到的函數(shù)滿意：；對(duì)隨意，，當(dāng)時(shí)，恒有，那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是A．， B．，或 C．， D．，分析：利用題目給出的“保序同構(gòu)”的概念，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)中給出的兩個(gè)集合，利用所學(xué)學(xué)問，找出能夠使兩個(gè)集合滿意題目所給出的條件的函數(shù)，即是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù)．解除掉是“保序同構(gòu)”的，即可得到要選擇的答案．解答：解：對(duì)于，，存在函數(shù)，，滿意：；對(duì)隨意，，當(dāng)時(shí)，恒有，所以選項(xiàng)是“保序同構(gòu)”；對(duì)于，或，存在函數(shù)，滿意：；對(duì)隨意，，當(dāng)時(shí)，恒有，所以選項(xiàng)是“保序同構(gòu)”；對(duì)于，，存在函數(shù)，滿意：；對(duì)隨意，，當(dāng)時(shí)，恒有，所以選項(xiàng)是“保序同構(gòu)”；前三個(gè)選項(xiàng)中的集合對(duì)是“保序同構(gòu)”，由解除法可知，不是“保序同構(gòu)”的只有．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了函數(shù)的定義域和值域，考查了函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查了不同類型函數(shù)的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．真題集訓(xùn)答案1．解：在上單調(diào)遞增，和在上都是減函數(shù)．故選：．2．（解：①是冪函數(shù)，其在上即第一象限內(nèi)為增函數(shù)，故此項(xiàng)不符合要求；②中的函數(shù)是由函數(shù)向左平移1個(gè)單位長度得到的，因?yàn)樵瘮?shù)在內(nèi)為減函數(shù)，故此項(xiàng)符合要求；③中的函數(shù)圖象是由函數(shù)的圖象保留軸上方，下方圖象翻折到軸上方而得到的，故由其圖象可知該項(xiàng)符合要求；④中的函數(shù)圖象為指數(shù)函數(shù)，因其底數(shù)大于1，故其在上單調(diào)遞增，不合題意．故選：．3．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)與軸正方向夾角為，則時(shí)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，在，上，在，上，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于都是單調(diào)遞增的．故選：．4．解：令，求得或，故函數(shù)的定義域?yàn)榛颍?，本題即求函數(shù)在定義域內(nèi)的增區(qū)間．結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在定義域內(nèi)的增區(qū)間為，故選：．5．解：令，可得，或，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，隨的增大而減小，隨的減小而增大，所以隨的增大而增大，即在上單調(diào)遞增．故選：．6．解：可令，由在遞減，可得在是增函數(shù)，且在恒成立，可得且，解得，則的最小值是．故選：．7．解：是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，，，在上單調(diào)遞減，，故選：．8．解：對(duì)于①，，則為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)；對(duì)于②，，則為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)；對(duì)于③，，則，，當(dāng)時(shí)，，在定義域上先減后增；對(duì)于④，，則，在實(shí)數(shù)集上恒成立，在定義域上是增函數(shù)．具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為①④．故答案為：①④．9．解：由題意可得當(dāng)最大時(shí)，和都是正數(shù)，故有．再利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：4．10.解：（1），，當(dāng)、重合時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)、重合時(shí)，最大，此時(shí)，的取值范圍是，；（2）設(shè)年總產(chǎn)值為，甲種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為，乙種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為，則，其中，；設(shè)，則；令，解得，此時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，取得最大值，即總產(chǎn)值最大．，，