量子力學(xué)：04- 一維問(wèn)題

1量子力學(xué)第四講一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子態(tài)疊加原理方勢(shì)壘的反射與透射一維諧振子2第四講目錄一、能量本征方程回顧二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)三、態(tài)疊加原理四、方勢(shì)壘的反射與透射五、一維諧振子六、再論態(tài)疊加原理3一、能量本征方程回顧(1)薛定諤方程:若不顯含，則有其中，滿(mǎn)足的方程為：能量本征方程，稱(chēng)為能量本征函數(shù)，稱(chēng)為能量本征值定態(tài)4一、能量本征方程回顧(2)是我們后面討論大多數(shù)問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。通常將略去中的下標(biāo)，這樣能量本征方程為5二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(1)1、一維無(wú)限深方勢(shì)阱的勢(shì)函數(shù)：在區(qū)域內(nèi)，能量本征方程寫(xiě)為：在區(qū)域內(nèi)，勢(shì)能為，因此不可能在這些區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)，換句話說(shuō)，粒子在這些區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率為零，即，根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件中的連續(xù)性，有：邊界條件和6二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(2)將邊界條件帶入通解得到：以及因此能量本征函數(shù)為：由和得到：這說(shuō)明：一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子的能量是量子化的。

稱(chēng)為體系的能量本征值，與對(duì)應(yīng)的波函數(shù)稱(chēng)為能量本征函數(shù)。

7二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(3)波函數(shù)的歸一化根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,要求波函數(shù)必須歸一化，即：歸一化波函數(shù)為：8二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(4)結(jié)果物理意義的討論：1、最低能量(思考：為什么

不能為零？)

對(duì)于經(jīng)典粒子，可以有2、坐標(biāo)不確定度：根據(jù)不確定度關(guān)系即：一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子動(dòng)量也是不能完全確定的。9二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(5)3、波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)，即波函數(shù)為零的點(diǎn)。在內(nèi)，有個(gè)節(jié)點(diǎn)，在這些節(jié)點(diǎn)上說(shuō)明粒子在這些節(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的概率為零。對(duì)于經(jīng)典粒子來(lái)說(shuō)，它在內(nèi)任何一點(diǎn)都有可能出現(xiàn)。思考：若，會(huì)出現(xiàn)什么情況？10二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(6)4、束縛態(tài)對(duì)一維無(wú)限深方勢(shì)阱：即:這說(shuō)明粒子被束縛在勢(shì)阱內(nèi)部。通常把在無(wú)限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)稱(chēng)為束縛態(tài)。一般來(lái)說(shuō)，束縛態(tài)所屬的能級(jí)是分立的，例11二、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量本征態(tài)(7)一個(gè)問(wèn)題對(duì)一維無(wú)限深方勢(shì)阱：根據(jù)量子力學(xué)假設(shè)之一：波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)。但是在阱內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)波函數(shù)，那么粒子究竟處在哪個(gè)狀態(tài)呢？態(tài)疊加原理12三、態(tài)疊加原理(1)一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子在中可能的態(tài)和能量為態(tài)疊加原理一般情況下，粒子并不只是完全確定的處于其中的某一狀態(tài)，而是以某種概率處于其中的某一狀態(tài)。換句話說(shuō)，粒子的狀態(tài)是所有這些分立狀態(tài)的疊加，即13三、態(tài)疊加原理(2)一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子的狀態(tài)為表示在中發(fā)現(xiàn)粒子處于態(tài)，具有能量的概率。

經(jīng)典物理：粒子只能處于某一確定的態(tài)，但在量子力學(xué)中，粒子是以一定概率處于某個(gè)可能的態(tài)，概率為展開(kāi)式系數(shù)的模方。為波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的自然結(jié)論。14

五、動(dòng)量分布概率（1）設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附件的概率。設(shè)為粒子的動(dòng)量，那么粒子具有動(dòng)量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開(kāi)15

五、動(dòng)量分布概率（2）其中，可見(jiàn)，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動(dòng)量的概率。態(tài)疊加原理：量子態(tài)可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)分解16三、態(tài)疊加原理(3)4、將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開(kāi)，其中：則在體系態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到結(jié)果為的概率為，得到結(jié)果范圍內(nèi)的概率是。量子力學(xué)基本假設(shè)之四廣義的結(jié)論：任何一個(gè)量子態(tài)都可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)分解。17四、方勢(shì)壘的反射與透射(1)經(jīng)典粒子量子粒子越過(guò)勢(shì)壘絕對(duì)不可能越過(guò)勢(shì)壘，換句話說(shuō)：越過(guò)勢(shì)壘的概率為零！求解能量本征方程：18三、方勢(shì)壘的反射與透射(2)其解為粒子流密度反射系數(shù)

，透射系數(shù)19三、方勢(shì)壘的反射與透射(3)解20三、方勢(shì)壘的反射與透射(4)解代數(shù)方程，得到勢(shì)壘貫穿隧穿效應(yīng)入射波反射波透射波21三、方勢(shì)壘的反射與透射(5)電子的勢(shì)壘貫穿12510當(dāng)勢(shì)壘寬度為原子限度時(shí)，透射相當(dāng)可觀22隧道二極管隧道效應(yīng)是1958年日本江崎玲於奈在研究重?fù)诫s鍺PN結(jié)時(shí)發(fā)現(xiàn)的。這一發(fā)現(xiàn)揭示了固體中電子隧道效應(yīng)的物理原理，江崎為此而獲得諾貝爾獎(jiǎng)金物理學(xué)獎(jiǎng)。隧道二極管，是以隧道效應(yīng)電流為主要電流分量的晶體二極管。23掃描隧道顯微鏡是根據(jù)量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)原理，通過(guò)探測(cè)固體表面原子中電子的隧道電流來(lái)分辨固體表面形貌的新型顯微裝置.根據(jù)量子力學(xué)原理，由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于金屬表面之內(nèi)，電子云密度并不是在表面邊界處突變?yōu)榱?。在金屬表面以外，電子云密度呈指?shù)衰減，衰減長(zhǎng)度約為1nm。用一個(gè)極細(xì)的、只有原子線度的金屬針尖作為探針，將它與被研究物質(zhì)(稱(chēng)為樣品)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品表面與針尖非?？拷?距離＜1nm)時(shí)，兩者的電子云略有重疊，如圖1所示。若在兩極間加上電壓U，在電場(chǎng)作用下，電子就會(huì)穿過(guò)兩個(gè)電極之間的勢(shì)壘，通過(guò)電子云的狹窄通道流動(dòng)，從一極流向另一極，形成隧道電流I。隧道電流

I的大小與針尖和樣品間的距離s以及樣品表面平均勢(shì)壘的高度有關(guān)，掃描隧道顯微鏡24掃描隧道顯微鏡觀察和定位單個(gè)原子

25五、一維諧振子(1)

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：體系在平衡位置附近的微小振動(dòng)一維諧振子：粒子一維情況下的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，同時(shí)粒子的勢(shì)能可以表示為例：雙原子分子中兩原子之間的勢(shì)能一維諧振子的能量本征方程26五、一維諧振子(2)漸進(jìn)解：當(dāng)時(shí)，有其解因?yàn)楹?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是體系在平衡位置附近的微小振動(dòng)，所以無(wú)窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為零(束縛態(tài))，即：。方程(1)的解可表示為：帶入方程(1)27五、一維諧振子(3)得到關(guān)于的方程：利用常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，有：當(dāng)時(shí)，要求，可以證明，只有當(dāng)時(shí)，才有可能，此時(shí)(2)式的解為厄密多項(xiàng)式，即：方程(1)的解為：28五、一維諧振子(4)能量本征值：根據(jù)和有：討論：1)能級(jí)是量子化的，且均勻分布；

2)相鄰能級(jí)差相同：

3)基態(tài)能量；稱(chēng)為零點(diǎn)能；4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級(jí)躍遷到上能級(jí)。相反，放出能量后，有可能從上能級(jí)躍遷到下能級(jí)。29五、一維諧振子(5)能量本征態(tài)：根據(jù)歸一化條件，可得常數(shù)即：能量本征態(tài)：正交歸一化：30五、一維諧振子(6)應(yīng)用：固體物理中的晶格振動(dòng)。31六、再論態(tài)疊加原理（1）

態(tài)疊加原理說(shuō)，任何一個(gè)量子態(tài)都可按任意一組正交、歸一、完備的態(tài)來(lái)分解，即:例:一維諧振子其中32六、再論態(tài)疊加原理（2）事實(shí)上，一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子的波函數(shù)也是正交歸一的，即：對(duì)于任意波函數(shù)，有：完備性33

討論（經(jīng)典波函數(shù)與量子波函數(shù)比較）

①

②

③若，經(jīng)典認(rèn)為是一個(gè)新的振動(dòng)態(tài)，即以來(lái)描述物理量在空間的波動(dòng)，不能說(shuō)物理量可能作波動(dòng)，或者可能作波動(dòng)。但對(duì)量子力學(xué)來(lái)，34說(shuō)粒子可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)。但不會(huì)處于

態(tài)

（）。因測(cè)量力學(xué)量所得的測(cè)量值是不會(huì)為的。有時(shí)在處理物理問(wèn)題時(shí)，常將函數(shù)展開(kāi)對(duì)經(jīng)典物理學(xué)來(lái)說(shuō)，這僅是一個(gè)數(shù)學(xué)處理，如富里葉分解。而量子力學(xué)中的態(tài)疊加

。

35原理則賦于這一展開(kāi)以新的物理含意：測(cè)量力學(xué)量，可能測(cè)得值僅為的值，其幾率，即系數(shù)不僅僅是展開(kāi)系數(shù)，而是正比于取值的幾率振幅。

④它反映了一個(gè)非常重要的性質(zhì)。而這在經(jīng)典物理學(xué)中是很難被接受的。我們知道一個(gè)動(dòng)量為的自由粒子是以一個(gè)平面波

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