信號(hào)與系統(tǒng) 第4章 混合類型信號(hào)中傅里葉描述的應(yīng)用

第四章混合類型信號(hào)中傅里葉描述的應(yīng)用4.1 引言4.2-4.4建立4種信號(hào)FT表示，為各類信號(hào)的綜合及運(yùn)算提供前提4.2 周期信號(hào)的傅里葉變換4.3 周期與非周期信號(hào)的卷積和相乘4.4 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉描述4.5-4.6信號(hào)分析的基本原理：抽樣及重構(gòu)4.5 抽樣4.6 由樣本重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號(hào)4.7-4.10實(shí)際應(yīng)用4.7 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理4.8 有限持續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示4.9 用離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)近似傅里葉變換4.10 求DTFS的有效算法4.11Matlab探究4.12小結(jié)§4.1引言本章討論不同信號(hào)傅里葉描述之間的聯(lián)系與應(yīng)用問題。在實(shí)際問題中，信號(hào)并不能嚴(yán)格地區(qū)分為第三章中的四種，往往是幾種信號(hào)的綜合或不同信號(hào)之間的運(yùn)算，因此建立四種信號(hào)傅里葉描述之間聯(lián)系，在實(shí)際應(yīng)用中十分重要。建立周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間的聯(lián)系，會(huì)給信號(hào)的分析和應(yīng)用帶來很多方便。用DTFS表示FT、FS、DTFT，是用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)處理的前提。以應(yīng)用為目的，介紹信號(hào)的卷積、乘積、抽樣、重構(gòu)、FFT等問題?！?.2周期信號(hào)的傅里葉變換嚴(yán)格而言，周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，但不符合傅里葉變換條件，引進(jìn)沖激函數(shù)可以建立傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間的關(guān)系。4.2.1FT與FS的關(guān)系見P229~230例3.27、328利用復(fù)正弦信號(hào)的線性組合，及FT的線性特性，可得：FS周期信號(hào)4.2.1FT與FS的關(guān)系FS時(shí)域連續(xù)周期信號(hào)注意：X[k]是離散的，而X（jω）是連續(xù)的！FT例：圖4.1，例4.1、4.2連續(xù)周期信號(hào)的FT對(duì)應(yīng)的頻域信號(hào)：——看做一個(gè)頻移量為的沖激序列的加權(quán)疊加，各沖激信號(hào)的強(qiáng)度為，間隔為基頻；——FT與FS的轉(zhuǎn)換：的形狀相同，F(xiàn)T中各沖激強(qiáng)度除以即得FS系數(shù)。4.2.2DTFT與DTFS的關(guān)系時(shí)域周期信號(hào)：DTFSDTFT周期函數(shù)！4.2.2DTFT與DTFS的關(guān)系小結(jié)：離散時(shí)域周期信號(hào)DTFSDTFT離散周期信號(hào)的DTFT對(duì)應(yīng)的頻域信號(hào)：——看做一個(gè)頻移量為的沖激序列的加權(quán)疊加，各沖激信號(hào)的強(qiáng)度為，間隔為基頻；——DTFT與DTFS的轉(zhuǎn)換：的形狀相同，F(xiàn)T中各沖激強(qiáng)度除以即得DTFS系數(shù)。例：圖4.6，例4.3§4.3周期與非周期混合信號(hào)的卷積及相乘——解決周期與非周期混合信號(hào)（運(yùn)算）問題：連續(xù)時(shí)域信號(hào)統(tǒng)一利用FT分析；離散時(shí)域信號(hào)統(tǒng)一利用DTFT分析。4.3.1.周期與非周期信號(hào)的卷積1、連續(xù)時(shí)域信號(hào)例4.4——利用沖激響應(yīng)h(t)?H(jω)實(shí)現(xiàn)頻譜濾波。周期非周期2、離散時(shí)域信號(hào)：x[n]，y[n]是基頻為Ω0的周期信號(hào)，h[n]是非周期信號(hào)。4.3.2

周期與非周期信號(hào)的相乘1、連續(xù)時(shí)域信號(hào)x(t)是基頻為ω0的周期信號(hào)，g(t)是非周期信號(hào)。——FT對(duì)應(yīng)頻譜：是由G(jω)的頻移模式的加權(quán)和所構(gòu)成連續(xù)頻譜；各頻移模式的頻移量為kω0

，權(quán)重為X[k]。利用沖激函數(shù)的篩選特性非周期信號(hào)例4.6：AM無線電（P336）——通信系統(tǒng)中的應(yīng)用正弦調(diào)幅調(diào)制：頻譜搬移解調(diào)三路信號(hào)解調(diào)優(yōu)點(diǎn)：可實(shí)現(xiàn)多個(gè)消息的同時(shí)傳輸、頻分復(fù)用（FDMA）。傳輸：獨(dú)占頻道，共享時(shí)間可能存在的問題：頻譜混疊——載頻信號(hào)（即周期信號(hào)）的基頻（或頻率間隔）過小，無法完全區(qū)分開調(diào)幅信號(hào)（即非周期信號(hào)）的各頻移模式。2、離散時(shí)域信號(hào)x[n]是基頻為Ω0的周期信號(hào)，z[n]是非周期信號(hào)?！狣TFT對(duì)應(yīng)頻譜：是由的頻移模式的加權(quán)和構(gòu)成;各頻移模式的頻移量為kΩ0

，權(quán)重為X[k]。非周期信號(hào)§4.2、§4.3作業(yè)習(xí)題4.1（b）（P328）習(xí)題4.3（b）（c）（P331）習(xí)題4.4（a）（b）（P333）習(xí)題4.5（a）（P334）P339，例4.7：數(shù)據(jù)加窗效應(yīng)~頻譜混疊——時(shí)域周期信號(hào)：頻移的沖激序列（頻率間隔）——窗函數(shù)：決定數(shù)據(jù)記錄長(zhǎng)度（頻譜寬度）§4.4離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換1、連續(xù)時(shí)間頻率與離散時(shí)間頻率之間的關(guān)系：——離散時(shí)間頻率相當(dāng)于連續(xù)時(shí)間頻率乘以抽樣時(shí)間間隔?！狥T用于分析連續(xù)與離散時(shí)間混合信號(hào)問題的實(shí)現(xiàn)。4.4.1FT與DTFT的關(guān)系(P341)任意離散時(shí)間信號(hào)x[n]DTFTFT例：圖4.18，例4.8——利用沖激變換實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間描述4.4.2FT與DTFS的關(guān)系(P344)——實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間周期信號(hào)的FT表示離散時(shí)間周期信號(hào)DTFSDTFT離散時(shí)間周期信號(hào)x[n]：尺度變換特性4.4.2FT與DTFS的關(guān)系離散時(shí)間周期信號(hào)DTFSDTFT§4.3、§4.4作業(yè)習(xí)題4.6（P338）習(xí)題4.7（P340）習(xí)題4.8（P343）§4.5-4.6抽樣、由樣本重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣是按一定規(guī)律（一般是按等時(shí)間間隔）地在某些離散時(shí)間點(diǎn)上提取原始時(shí)間信號(hào)值的操作，是進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理必須的步驟。通過抽樣可以使連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散信號(hào)而便于計(jì)算機(jī)處理，也可以使離散信號(hào)經(jīng)過抽樣達(dá)到一定的信號(hào)傳輸和處理要求，后者也稱為二次抽樣。我們已經(jīng)建立了FT與FS、DTFS以及DTFT之間的關(guān)系，抽樣信號(hào)既可以用FT進(jìn)行分析，也可以通過DTFS方便地用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理.一、抽樣1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣（§

4.5.1）離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間表示：注意與P104（2.9）式類比間隔抽樣：沖激抽樣：抽樣信號(hào)表示為原始連續(xù)信號(hào)與沖激序列的乘積.時(shí)域沖激采樣：——抽樣函數(shù)或梳狀函數(shù)頻域：P328，例4.2:小結(jié)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣頻域：時(shí)域沖激抽樣：由原始信號(hào)決定由抽樣條件決定——時(shí)域?qū)B續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行沖激抽樣：原始連續(xù)時(shí)間信號(hào)與時(shí)移沖激序列的乘積。——相當(dāng)于在頻域?qū)⒃歼B續(xù)時(shí)間信號(hào)的FT頻譜以為周期進(jìn)行延拓，再加權(quán)疊加。2、可能存在的問題：原始頻譜的各頻移模式的交疊（“混疊”）例：圖4.22要使抽樣信號(hào)樣本能夠完全代表原始連續(xù)時(shí)間信號(hào)，必須要求能從中不失真的分離出，即要求在周期性延拓時(shí)各頻移模式不能發(fā)生頻譜的混疊。要求：1、必須是帶限的，最高頻率分量為；2、抽樣頻率：，即抽樣周期。滿足上述條件：抽樣信號(hào)與原始連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。一個(gè)抽樣信號(hào)x[n]可以對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的原始連續(xù)時(shí)間信號(hào)。同一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)，當(dāng)抽樣間隔Ts不同時(shí)會(huì)得到不同的抽樣離散時(shí)間信號(hào)。2、可能存在的問題：時(shí)域（唯一性問題）對(duì)于原始連續(xù)信號(hào)和抽樣信號(hào)，為了滿足二者從頻域到時(shí)域變換的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，抽樣時(shí)需滿足：如果X(jω)與x(t)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，X(jω)存在最大頻率限制，即|ω|>ωm時(shí)X(jω)

=0；當(dāng)抽樣頻率滿足ωs>2ωm時(shí)，原來的信號(hào)x(t)由樣本x(nTs)，n=±1，±2，…惟一確定.而——抽樣時(shí)間的確定3、Nyquist

抽樣定理（§4.6.1）4、抗混疊濾波—抽樣（離散化）前的預(yù)處理在抽樣前，一般需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，即一般是利用一個(gè)連續(xù)的低通或帶通濾波器實(shí)現(xiàn)，稱為抗混疊濾波器。目的：1、將無限帶寬信號(hào)變?yōu)橛邢迬捫盘?hào)；2、消除與待傳輸或待處理信號(hào)無關(guān)的信號(hào)；3、消除部分高頻噪聲。5、次抽樣：離散時(shí)間信號(hào)的抽樣（§4.5.2自學(xué)）其中次抽樣：將原來離散信號(hào)的間隔由1變?yōu)閝，即：作業(yè)習(xí)題4.10（P351）習(xí)題4.12（P356）二、由樣本重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號(hào)利用抽樣信號(hào)可以重構(gòu)原始連續(xù)信號(hào)，其中包含了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間信號(hào)的混合問題，可利用FT變換在時(shí)域、頻域分別進(jìn)行處理。當(dāng)滿足一定條件時(shí)，原則上可以理想地從樣本重構(gòu)出原來的連續(xù)信號(hào)；但是這種理想重構(gòu)在實(shí)際中是不可實(shí)現(xiàn)的，因此需要研究實(shí)際重構(gòu)中待解決的問題和實(shí)際重構(gòu)方法。（一）理想重構(gòu)：頻域?yàn)V波（§4.6.2）抽樣信號(hào)的頻率分布保證不發(fā)生混疊：頻域?yàn)V波：恢復(fù)原始信號(hào)的頻率分布低通濾波器：窗口函數(shù)（TS倍的通帶增益）（一）理想重構(gòu)：頻率濾波傅里葉逆變換獲得信號(hào)時(shí)域表示

sinc函數(shù)取代沖激序列的時(shí)移加權(quán)和可重構(gòu)原始信號(hào)——理想帶限插值法（二）實(shí)際重構(gòu)：零階保持技術(shù)（§4.6.3）實(shí)際上，理想重構(gòu)在實(shí)際系統(tǒng)中都是不能實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際工作中是用零階保持方法取代理想重構(gòu)，其相應(yīng)的抽樣技術(shù)為取樣保持電路。利用零階保持器件，在Ts秒的時(shí)間內(nèi)保持x[n]的值，使輸出信號(hào)xo

(t)僅在t=nTs處發(fā)生躍變，從而獲得一個(gè)近似原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的階梯型信號(hào)輸出。1、零階保持技術(shù)2、利用FT進(jìn)行零階保持的時(shí)域分析零階保持：表示為抽樣間隔整數(shù)倍的矩形脈沖的時(shí)移加權(quán)和。輸出：近似原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的階梯型信號(hào)可以證明：3、利用FT進(jìn)行零階保持的頻域分析（由p227,例3.25可得）理想帶限插值濾波器——零階保持效應(yīng)：導(dǎo)致抽樣信號(hào)的頻譜失真。包括線性相移、由的主瓣彎曲、旁瓣衰減等引起的失真。例：圖4.394、零階保持的補(bǔ)償：反像濾波器為了可以恢復(fù)原始連續(xù)信號(hào)，要求在零階保持系統(tǒng)后再級(jí)聯(lián)一個(gè)系統(tǒng)，要求滿足：（見P361-362，圖4.39、4.40、4.41

）——反像濾波器可校正零階保持抽樣信號(hào)頻譜的畸變，以及平滑時(shí)域信號(hào)的不連續(xù)階梯。5、小結(jié)：抽樣、重構(gòu)理想重構(gòu)實(shí)際重構(gòu)：零階保持+反像濾波器§4.7連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理一、對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行離散時(shí)間處理的系統(tǒng)處理三個(gè)環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)預(yù)處理抗混疊濾波器以間隔抽樣零階保持反像濾波器等效連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)等效系統(tǒng)等效連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)等效系統(tǒng)不出現(xiàn)混疊、只保留k=0的頻移項(xiàng)：等效連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：考慮抗混疊和反像濾波器補(bǔ)償抽樣和重構(gòu)的影響：理想情況下：C/D轉(zhuǎn)換、D/C轉(zhuǎn)換是互逆系統(tǒng)；等效連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，就是離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)在一個(gè)周期內(nèi)的特性，只不過在頻率上有一個(gè)尺度變換。僅帶限信號(hào)、抽樣頻譜滿足抽樣定理的要求時(shí)，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行離散時(shí)間處理的系統(tǒng)才能等效為一個(gè)LTI系統(tǒng)。頻譜混疊的情況減輕的同時(shí)，可允許抗混疊濾波器的過渡帶較寬，降低成本。同一個(gè)連續(xù)信號(hào)中抽取的離散數(shù)據(jù)量↑，離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行處理的計(jì)算成本上升。二、過抽樣（參見p366,圖4.44）——高速率用于抽樣和重構(gòu)，低速率用于離散時(shí)間處理。三、改變離散時(shí)間信號(hào)的有效抽樣率（自學(xué)）2、插值（上抽樣）

——增大抽樣率，并要求用某種方法得到信號(hào)樣本間的值。離散時(shí)間序列——還原連續(xù)時(shí)間信號(hào)——重新抽樣；低通離散時(shí)間濾波器做抗混疊的預(yù)處理——對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行次抽樣（可避免引入重構(gòu)帶來的失真）。1、抽?。ㄏ鲁闃樱档统闃勇什捎貌逯狄蜃觪的插值：通過q-1個(gè)零插到原始離散時(shí)間信號(hào)的每個(gè)樣本之間，然后利用帶通濾波器進(jìn)行濾波而完成。§4.8有限持續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示DTFS、FS周期信號(hào)的傅里葉表示用于有限持續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的表述1、DTFS與DTFT的關(guān)系有限持續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)DTFTDTFS時(shí)域N周期延拓頻率處抽樣例：圖4.52有限持續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DTFS系數(shù)：——即為對(duì)其DTFT系數(shù)的頻率采樣，并被周期N的歸一化?！獙?duì)有限持續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DTFT系數(shù)的頻域抽樣，效果即是在時(shí)域內(nèi)對(duì)信號(hào)以為周期無限延拓?！l域、時(shí)域采樣的性質(zhì)完全對(duì)偶：一個(gè)域內(nèi)信號(hào)的抽樣，帶來的效果是在另一個(gè)域內(nèi)的對(duì)原始信號(hào)做周期性延拓。頻域抽樣對(duì)抽樣間隔的要求：p373，例4.14——防止信號(hào)在時(shí)域上做周期延拓時(shí)發(fā)生混疊；——詮釋了在構(gòu)造一個(gè)“周期”時(shí)，對(duì)信號(hào)長(zhǎng)度（時(shí)限）的要求：M往往零墊整至N?！狽越大，的頻率抽樣間隔越密，可得到足夠多的頻譜細(xì)節(jié)，所得DTFS系數(shù)的形狀與基底DTFT的形狀越相似。2、FS與FT的關(guān)系

——關(guān)于有限持續(xù)時(shí)間非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的討論FSFT時(shí)域T周期延拓頻率