信號與系統(tǒng) 第4章 混合類型信號中傅里葉描述的應(yīng)用

第四章混合類型信號中傅里葉描述的應(yīng)用4.1 引言4.2-4.4建立4種信號FT表示，為各類信號的綜合及運(yùn)算提供前提4.2 周期信號的傅里葉變換4.3 周期與非周期信號的卷積和相乘4.4 離散時間信號的傅里葉描述4.5-4.6信號分析的基本原理：抽樣及重構(gòu)4.5 抽樣4.6 由樣本重構(gòu)連續(xù)時間信號4.7-4.10實際應(yīng)用4.7 連續(xù)時間信號的離散時間處理4.8 有限持續(xù)時間非周期信號的傅里葉級數(shù)表示4.9 用離散時間傅里葉級數(shù)近似傅里葉變換4.10 求DTFS的有效算法4.11Matlab探究4.12小結(jié)§4.1引言本章討論不同信號傅里葉描述之間的聯(lián)系與應(yīng)用問題。在實際問題中，信號并不能嚴(yán)格地區(qū)分為第三章中的四種，往往是幾種信號的綜合或不同信號之間的運(yùn)算，因此建立四種信號傅里葉描述之間聯(lián)系，在實際應(yīng)用中十分重要。建立周期信號的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的聯(lián)系，會給信號的分析和應(yīng)用帶來很多方便。用DTFS表示FT、FS、DTFT，是用計算機(jī)進(jìn)行信號處理的前提。以應(yīng)用為目的，介紹信號的卷積、乘積、抽樣、重構(gòu)、FFT等問題?！?.2周期信號的傅里葉變換嚴(yán)格而言，周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，但不符合傅里葉變換條件，引進(jìn)沖激函數(shù)可以建立傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的關(guān)系。4.2.1FT與FS的關(guān)系見P229~230例3.27、328利用復(fù)正弦信號的線性組合，及FT的線性特性，可得：FS周期信號4.2.1FT與FS的關(guān)系FS時域連續(xù)周期信號注意：X[k]是離散的，而X（jω）是連續(xù)的！FT例：圖4.1，例4.1、4.2連續(xù)周期信號的FT對應(yīng)的頻域信號：——看做一個頻移量為的沖激序列的加權(quán)疊加，各沖激信號的強(qiáng)度為，間隔為基頻；——FT與FS的轉(zhuǎn)換：的形狀相同，F(xiàn)T中各沖激強(qiáng)度除以即得FS系數(shù)。4.2.2DTFT與DTFS的關(guān)系時域周期信號：DTFSDTFT周期函數(shù)！4.2.2DTFT與DTFS的關(guān)系小結(jié)：離散時域周期信號DTFSDTFT離散周期信號的DTFT對應(yīng)的頻域信號：——看做一個頻移量為的沖激序列的加權(quán)疊加，各沖激信號的強(qiáng)度為，間隔為基頻；——DTFT與DTFS的轉(zhuǎn)換：的形狀相同，F(xiàn)T中各沖激強(qiáng)度除以即得DTFS系數(shù)。例：圖4.6，例4.3§4.3周期與非周期混合信號的卷積及相乘——解決周期與非周期混合信號（運(yùn)算）問題：連續(xù)時域信號統(tǒng)一利用FT分析；離散時域信號統(tǒng)一利用DTFT分析。4.3.1.周期與非周期信號的卷積1、連續(xù)時域信號例4.4——利用沖激響應(yīng)h(t)?H(jω)實現(xiàn)頻譜濾波。周期非周期2、離散時域信號：x[n]，y[n]是基頻為Ω0的周期信號，h[n]是非周期信號。4.3.2

周期與非周期信號的相乘1、連續(xù)時域信號x(t)是基頻為ω0的周期信號，g(t)是非周期信號?！狥T對應(yīng)頻譜：是由G(jω)的頻移模式的加權(quán)和所構(gòu)成連續(xù)頻譜；各頻移模式的頻移量為kω0

，權(quán)重為X[k]。利用沖激函數(shù)的篩選特性非周期信號例4.6：AM無線電（P336）——通信系統(tǒng)中的應(yīng)用正弦調(diào)幅調(diào)制：頻譜搬移解調(diào)三路信號解調(diào)優(yōu)點：可實現(xiàn)多個消息的同時傳輸、頻分復(fù)用（FDMA）。傳輸：獨占頻道，共享時間可能存在的問題：頻譜混疊——載頻信號（即周期信號）的基頻（或頻率間隔）過小，無法完全區(qū)分開調(diào)幅信號（即非周期信號）的各頻移模式。2、離散時域信號x[n]是基頻為Ω0的周期信號，z[n]是非周期信號?！狣TFT對應(yīng)頻譜：是由的頻移模式的加權(quán)和構(gòu)成;各頻移模式的頻移量為kΩ0

，權(quán)重為X[k]。非周期信號§4.2、§4.3作業(yè)習(xí)題4.1（b）（P328）習(xí)題4.3（b）（c）（P331）習(xí)題4.4（a）（b）（P333）習(xí)題4.5（a）（P334）P339，例4.7：數(shù)據(jù)加窗效應(yīng)~頻譜混疊——時域周期信號：頻移的沖激序列（頻率間隔）——窗函數(shù)：決定數(shù)據(jù)記錄長度（頻譜寬度）§4.4離散時間信號的傅里葉變換1、連續(xù)時間頻率與離散時間頻率之間的關(guān)系：——離散時間頻率相當(dāng)于連續(xù)時間頻率乘以抽樣時間間隔?！狥T用于分析連續(xù)與離散時間混合信號問題的實現(xiàn)。4.4.1FT與DTFT的關(guān)系(P341)任意離散時間信號x[n]DTFTFT例：圖4.18，例4.8——利用沖激變換實現(xiàn)離散時間信號的連續(xù)時間描述4.4.2FT與DTFS的關(guān)系(P344)——實現(xiàn)離散時間周期信號的FT表示離散時間周期信號DTFSDTFT離散時間周期信號x[n]：尺度變換特性4.4.2FT與DTFS的關(guān)系離散時間周期信號DTFSDTFT§4.3、§4.4作業(yè)習(xí)題4.6（P338）習(xí)題4.7（P340）習(xí)題4.8（P343）§4.5-4.6抽樣、由樣本重構(gòu)連續(xù)時間信號抽樣是按一定規(guī)律（一般是按等時間間隔）地在某些離散時間點上提取原始時間信號值的操作，是進(jìn)行數(shù)字信號處理必須的步驟。通過抽樣可以使連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散信號而便于計算機(jī)處理，也可以使離散信號經(jīng)過抽樣達(dá)到一定的信號傳輸和處理要求，后者也稱為二次抽樣。我們已經(jīng)建立了FT與FS、DTFS以及DTFT之間的關(guān)系，抽樣信號既可以用FT進(jìn)行分析，也可以通過DTFS方便地用計算機(jī)進(jìn)行處理.一、抽樣1、連續(xù)時間信號的抽樣（§

4.5.1）離散時間信號的連續(xù)時間表示：注意與P104（2.9）式類比間隔抽樣：沖激抽樣：抽樣信號表示為原始連續(xù)信號與沖激序列的乘積.時域沖激采樣：——抽樣函數(shù)或梳狀函數(shù)頻域：P328，例4.2:小結(jié)：連續(xù)時間信號的抽樣頻域：時域沖激抽樣：由原始信號決定由抽樣條件決定——時域?qū)B續(xù)時間信號進(jìn)行沖激抽樣：原始連續(xù)時間信號與時移沖激序列的乘積?！喈?dāng)于在頻域?qū)⒃歼B續(xù)時間信號的FT頻譜以為周期進(jìn)行延拓，再加權(quán)疊加。2、可能存在的問題：原始頻譜的各頻移模式的交疊（“混疊”）例：圖4.22要使抽樣信號樣本能夠完全代表原始連續(xù)時間信號，必須要求能從中不失真的分離出，即要求在周期性延拓時各頻移模式不能發(fā)生頻譜的混疊。要求：1、必須是帶限的，最高頻率分量為；2、抽樣頻率：，即抽樣周期。滿足上述條件：抽樣信號與原始連續(xù)時間信號的頻譜存在一一對應(yīng)關(guān)系。一個抽樣信號x[n]可以對應(yīng)多個不同的原始連續(xù)時間信號。同一個連續(xù)時間信號x(t)，當(dāng)抽樣間隔Ts不同時會得到不同的抽樣離散時間信號。2、可能存在的問題：時域（唯一性問題）對于原始連續(xù)信號和抽樣信號，為了滿足二者從頻域到時域變換的一一對應(yīng)關(guān)系，抽樣時需滿足：如果X(jω)與x(t)是一對傅里葉變換對，X(jω)存在最大頻率限制，即|ω|>ωm時X(jω)

=0；當(dāng)抽樣頻率滿足ωs>2ωm時，原來的信號x(t)由樣本x(nTs)，n=±1，±2，…惟一確定.而——抽樣時間的確定3、Nyquist

抽樣定理（§4.6.1）4、抗混疊濾波—抽樣（離散化）前的預(yù)處理在抽樣前，一般需要對信號進(jìn)行預(yù)處理，即一般是利用一個連續(xù)的低通或帶通濾波器實現(xiàn)，稱為抗混疊濾波器。目的：1、將無限帶寬信號變?yōu)橛邢迬捫盘枺?、消除與待傳輸或待處理信號無關(guān)的信號；3、消除部分高頻噪聲。5、次抽樣：離散時間信號的抽樣（§4.5.2自學(xué)）其中次抽樣：將原來離散信號的間隔由1變?yōu)閝，即：作業(yè)習(xí)題4.10（P351）習(xí)題4.12（P356）二、由樣本重構(gòu)連續(xù)時間信號利用抽樣信號可以重構(gòu)原始連續(xù)信號，其中包含了連續(xù)時間和離散時間信號的混合問題，可利用FT變換在時域、頻域分別進(jìn)行處理。當(dāng)滿足一定條件時，原則上可以理想地從樣本重構(gòu)出原來的連續(xù)信號；但是這種理想重構(gòu)在實際中是不可實現(xiàn)的，因此需要研究實際重構(gòu)中待解決的問題和實際重構(gòu)方法。（一）理想重構(gòu)：頻域濾波（§4.6.2）抽樣信號的頻率分布保證不發(fā)生混疊：頻域濾波：恢復(fù)原始信號的頻率分布低通濾波器：窗口函數(shù)（TS倍的通帶增益）（一）理想重構(gòu)：頻率濾波傅里葉逆變換獲得信號時域表示

sinc函數(shù)取代沖激序列的時移加權(quán)和可重構(gòu)原始信號——理想帶限插值法（二）實際重構(gòu)：零階保持技術(shù)（§4.6.3）實際上，理想重構(gòu)在實際系統(tǒng)中都是不能實現(xiàn)的。實際工作中是用零階保持方法取代理想重構(gòu)，其相應(yīng)的抽樣技術(shù)為取樣保持電路。利用零階保持器件，在Ts秒的時間內(nèi)保持x[n]的值，使輸出信號xo

(t)僅在t=nTs處發(fā)生躍變，從而獲得一個近似原連續(xù)時間信號的階梯型信號輸出。1、零階保持技術(shù)2、利用FT進(jìn)行零階保持的時域分析零階保持：表示為抽樣間隔整數(shù)倍的矩形脈沖的時移加權(quán)和。輸出：近似原連續(xù)時間信號的階梯型信號可以證明：3、利用FT進(jìn)行零階保持的頻域分析（由p227,例3.25可得）理想帶限插值濾波器——零階保持效應(yīng)：導(dǎo)致抽樣信號的頻譜失真。包括線性相移、由的主瓣彎曲、旁瓣衰減等引起的失真。例：圖4.394、零階保持的補(bǔ)償：反像濾波器為了可以恢復(fù)原始連續(xù)信號，要求在零階保持系統(tǒng)后再級聯(lián)一個系統(tǒng)，要求滿足：（見P361-362，圖4.39、4.40、4.41

）——反像濾波器可校正零階保持抽樣信號頻譜的畸變，以及平滑時域信號的不連續(xù)階梯。5、小結(jié)：抽樣、重構(gòu)理想重構(gòu)實際重構(gòu)：零階保持+反像濾波器§4.7連續(xù)時間信號的離散時間處理一、對連續(xù)時間信號進(jìn)行離散時間處理的系統(tǒng)處理三個環(huán)節(jié)的級聯(lián)預(yù)處理抗混疊濾波器以間隔抽樣零階保持反像濾波器等效連續(xù)時間系統(tǒng)等效系統(tǒng)等效連續(xù)時間系統(tǒng)等效系統(tǒng)不出現(xiàn)混疊、只保留k=0的頻移項：等效連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：考慮抗混疊和反像濾波器補(bǔ)償抽樣和重構(gòu)的影響：理想情況下：C/D轉(zhuǎn)換、D/C轉(zhuǎn)換是互逆系統(tǒng)；等效連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，就是離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)在一個周期內(nèi)的特性，只不過在頻率上有一個尺度變換。僅帶限信號、抽樣頻譜滿足抽樣定理的要求時，對連續(xù)時間信號進(jìn)行離散時間處理的系統(tǒng)才能等效為一個LTI系統(tǒng)。頻譜混疊的情況減輕的同時，可允許抗混疊濾波器的過渡帶較寬，降低成本。同一個連續(xù)信號中抽取的離散數(shù)據(jù)量↑，離散時間系統(tǒng)進(jìn)行處理的計算成本上升。二、過抽樣（參見p366,圖4.44）——高速率用于抽樣和重構(gòu)，低速率用于離散時間處理。三、改變離散時間信號的有效抽樣率（自學(xué)）2、插值（上抽樣）

——增大抽樣率，并要求用某種方法得到信號樣本間的值。離散時間序列——還原連續(xù)時間信號——重新抽樣；低通離散時間濾波器做抗混疊的預(yù)處理——對離散時間信號進(jìn)行次抽樣（可避免引入重構(gòu)帶來的失真）。1、抽取（下抽樣）——降低抽樣率采用插值因子q的插值：通過q-1個零插到原始離散時間信號的每個樣本之間，然后利用帶通濾波器進(jìn)行濾波而完成。§4.8有限持續(xù)時間非周期信號的傅里葉級數(shù)表示DTFS、FS周期信號的傅里葉表示用于有限持續(xù)時間非周期信號的表述1、DTFS與DTFT的關(guān)系有限持續(xù)時間非周期信號DTFTDTFS時域N周期延拓頻率處抽樣例：圖4.52有限持續(xù)時間非周期信號的DTFS系數(shù)：——即為對其DTFT系數(shù)的頻率采樣，并被周期N的歸一化。——對有限持續(xù)時間非周期信號的DTFT系數(shù)的頻域抽樣，效果即是在時域內(nèi)對信號以為周期無限延拓?！l域、時域采樣的性質(zhì)完全對偶：一個域內(nèi)信號的抽樣，帶來的效果是在另一個域內(nèi)的對原始信號做周期性延拓。頻域抽樣對抽樣間隔的要求：p373，例4.14——防止信號在時域上做周期延拓時發(fā)生混疊；——詮釋了在構(gòu)造一個“周期”時，對信號長度（時限）的要求：M往往零墊整至N?！狽越大，的頻率抽樣間隔越密，可得到足夠多的頻譜細(xì)節(jié)，所得DTFS系數(shù)的形狀與基底DTFT的形狀越相似。2、FS與FT的關(guān)系

——關(guān)于有限持續(xù)時間非周期連續(xù)時間信號的討論FSFT時域T周期延拓頻率