第5章邊值問題

第五章靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題主要內(nèi)容靜電場(chǎng)邊值問題和唯一性定理直接積分法分離變量法※鏡像法※保角變換法和有限差分法(自學(xué))1靜電場(chǎng)的邊值問題一般情況下電位或場(chǎng)強(qiáng)滿足兩個(gè)方程無源——Laplace’sEquation有源——Poission’sEquation邊值問題：在給定邊界條件下求解偏微分方程Poission’sEquation+邊界條件Laplace’sEquation+邊界條件2邊值問題的分類第1類:已知整個(gè)邊界上的電位DirichletProblems狄理赫利問題第2類:已知整個(gè)邊界上電位的法導(dǎo)NeumannProblems紐曼問題第3類:已知部分邊界電位+另一部分邊界電位法導(dǎo)HybridProblems

混合問題3§5.3一維場(chǎng)——直接積分例1.求同軸線中的電場(chǎng)分布，已知半徑a和b，電位U和0。書P118例5.1在柱坐標(biāo)系下，將拉普拉斯方程展開r>0代入邊界條件:r=a時(shí)y=U，r=b時(shí)y=0，C1=?,C2=?4例2已知：導(dǎo)體球，半徑a，球體電位U(基準(zhǔn)?)求：球外的電位？分析：球?qū)ΨQ！——采用球坐標(biāo)系且有幾種方法可以求“電位”？在此用拉氏方程球座標(biāo)系下展開：直接積分得：5確定兩個(gè)待定常數(shù)——邊界條件r=a時(shí)y=U，r=∞時(shí)y=0，C1=?,C2=?6例3.書p119例5.2填充了兩種介質(zhì)的同軸線，求電位。還已知內(nèi)外導(dǎo)體的電位利用對(duì)稱性，電位與j、z座標(biāo)無關(guān)，僅與r相關(guān)柱座標(biāo)系下拉氏方程需要幾個(gè)邊界條件？7內(nèi)容包括二維拉氏方程直角坐標(biāo)系下柱坐標(biāo)系下未包括：二維球坐標(biāo)系下拉氏方程三維Laplace方程求解泊松方程（非齊次方程）求解§5.4分離變量法求解拉氏方程8分離變量法的主要思想將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開來，從而原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含1個(gè)自變量的常微分方程；運(yùn)用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程；利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)、以及其他巧妙方法，求出各個(gè)方程的通解；最后將這些通解“組裝”起來。9笛卡兒坐標(biāo)系中分離變量法求解令：兩邊同時(shí)除以：10——三項(xiàng)中每一項(xiàng)必須是常數(shù)！令：11的求解1.如果(k為正實(shí)數(shù))2.如果3.如果(k為正實(shí)數(shù))12確定Y和Z通解的步驟類似最后再將X、Y、Z的通解“組裝”在一起最后代入邊界條件確定待定常數(shù)13一、求解矩形區(qū)域的Laplace方程微波導(dǎo)和光波導(dǎo)器件的橫截面常是矩形,其中的電磁場(chǎng)模式多是橫電波或橫磁波,即電場(chǎng)或磁場(chǎng)不沿著波導(dǎo)的長度方向改變，而只隨橫截面的坐標(biāo)變化;此時(shí)求解矩形區(qū)域的Laplace方程是研究波導(dǎo)中場(chǎng)量和模式的重要手段。14舉例.

如圖的波導(dǎo)中求解電位15求解v(x,y)設(shè)解為：代入上面關(guān)于v的方程得：先求解哪一個(gè)？？？——與齊次邊界有關(guān)的那個(gè)。16上式構(gòu)成本征值問題，不難求出：本征值為：本征函數(shù)為：將本征值ln代入Y的方程，可得通解：于是由疊加原理得到v的通解為：17將另一對(duì)邊界條件代入方程的通解得：上兩式實(shí)際上是u0和U0展開后的正弦級(jí)數(shù),于是聯(lián)立上兩式可得An和Bn,從而原方程的解得以確定。18上題中邊界處的電位分布探討一下邊界處分布函數(shù)的形狀：19例2.書124頁的例5.3……簡(jiǎn)化的步驟（2）判斷解的形式求特征值，寫出通解形式代入邊界，求待定系數(shù)寫出問題的解20二、求解柱坐標(biāo)系下的Laplace方程在最常見的微波傳輸線(銅軸線)和最常見的光傳輸線(光纖)中，橫截面都是圓形，其中的電磁場(chǎng)模式也大多是橫電波或橫磁波，即電場(chǎng)或磁場(chǎng)不沿著波導(dǎo)的長度方向改變，而只隨橫截面的坐標(biāo)變化；此時(shí)求解圓形區(qū)域的Laplace方程是研究場(chǎng)量和模式的重要手段。21求解柱坐標(biāo)系下的Laplace方程電位只與r有關(guān)電位只與r、z有關(guān)電位只與r、j有關(guān)22只與r、z

有關(guān)的Laplace方程★

當(dāng)μ=0時(shí)：★

當(dāng)μ>0時(shí)：若要在圓柱上下底面滿足齊次邊界條件,則m不可能>0.求解圓柱內(nèi)部問題(包含圓柱軸線r=0)時(shí),為了滿足自然邊界條件,Nn(.)項(xiàng)應(yīng)舍去.23★

當(dāng)m

<0時(shí)：R(r)沒有實(shí)的零點(diǎn),如果要求u在圓柱側(cè)面r=a

滿足齊次邊界條件，則應(yīng)排除μ<0的可能。求解圓柱內(nèi)部問題(包含圓柱軸線r=0)時(shí),為了滿足自然邊界條件,Kn(.)項(xiàng)應(yīng)舍去.24一般解為：1)如果考慮圓內(nèi)問題則其解為2)如果考慮圓外問題則其解為3)如果考慮是圓環(huán)問題，則其解為一般解，其中的系數(shù)由邊界條件確定。3.電位只與r、j

有關(guān)253.球座標(biāo)系下與j無關(guān)時(shí)LegendrePolynomials球內(nèi)電位取有限值……球外電位取有限值……26例1.解題時(shí)首先看能否化簡(jiǎn)已知：很長的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,維持電位V0，外導(dǎo)體半徑為b，接地。求：導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)的電位分布？分析：柱座標(biāo)，電位對(duì)稱，僅與r有關(guān)27例2.書p136例5.628三.球坐標(biāo)系下的二維Laplace方程自學(xué)內(nèi)容29什么是“鏡像法”？用適當(dāng)?shù)溺R像電荷(Image-Charges)代替邊界，求解電位分布的方法。“鏡像法”的依據(jù)——“唯一性定理”UniquenessTheorem“鏡像法”思路用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變

“鏡像法”使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個(gè)數(shù)有限，或分布形式簡(jiǎn)單5.5鏡像法MethodofImages30(1)將導(dǎo)體移走,在“對(duì)稱”點(diǎn)處放置一個(gè)“像”電荷q*第一類鏡像法：平面鏡像(2)仍然要滿足“導(dǎo)體板”存在時(shí)的條件,

q*＝？q*＝－q31邊界條件：對(duì)稱性：拉氏方程q*＝－q“像點(diǎn)”——q*：滿足“導(dǎo)體板”存在時(shí)的條件——滿足！——滿足！——滿足！由唯一性定理知……3233第二類鏡像法：柱面鏡像像？——線電荷——“電軸”位置？——柱內(nèi)、與線電荷平行分布？——密度設(shè)為p*34假設(shè)：導(dǎo)體圓柱面上任一點(diǎn)M35因?yàn)閷?dǎo)體是等位體若“三角形相似”……36思考：復(fù)雜的第2類鏡像問題已知：兩根無限長平行圓柱，半徑為a、b，軸心距