高等數(shù)學(xué)3.4 隨機變量的獨立性與條件分布

3.4隨機變量的獨立性與條件分布第三章隨機變量的聯(lián)合概率分布一、隨機變量的獨立性:設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)

.1、邊緣分布函數(shù):由于X和Y都是隨機變量,所以各有其分布函數(shù).將X的分布函數(shù)FX(x),稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù);將Y的分布函數(shù)FY(y),稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),2、隨機變量X和Y相互獨立:2、X和Y相互獨立的充要條件:例3.8設(shè)(X,Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22

,ρ),求證:X與Y相互獨立的充要條件是ρ=0解

若(X,Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22

,ρ),則聯(lián)合密度函數(shù)為因為例3.9設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律為Y

X

1

2

3

12

1/6

1/91/18

1/3

α

β問當α

,β取何值時,X與Y相互獨立?X12P1/3

1/3+α+β解

X及Y的邊緣分布律為Y123P1/2

1/9+α1/18+β若X與Y相互獨立,則有例3.10設(shè)X與Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在(0,1)上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為設(shè)有a的二次方程為a2+2aX+Y=0,求此方程有實根的概率.Oy1又X與Y相互獨立,故(X,Y)的聯(lián)合密度為而含有a的二次方程有實根的判別式為由圖所示,得x1二、條件分布:設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,其聯(lián)合分布律為引入:1、定義3.6:設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,若對固定的例3.11一袋中裝有1個紅球,2個白球,3個黑球,從中任取4球,以X,Y分別表示4球中紅球及白球的數(shù)量,求(1)(X,Y)的聯(lián)合分布;(2)寫出當X=0時Y的條件分布律;(3)寫出當X=1時Y的條件分布律.解(1)由題意知X可能的取值是0,1;

Y可能的取值是0,1,2;

于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為Y

X

0

1

2

01

0

2/153/15

1/15

6/15

3/15(2)由(X,Y)的聯(lián)合分布律知X的邊緣分布為X01P1/15

10/15由條件分布定義可知(3)與(2)類似地對于二維連續(xù)型隨機變量(X,Y),因為對于任意不能直接利用條件概率定義.設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,其聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為fY

(x).對于任意給定的y及任意固定的ε>0,對于任意x,考慮條件概率當ε很小時,由于于是有2、定義3.7:設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為fY(y).若對于固定的y,fY(y)>0,類似可定義例3.10設(shè)二維隨機向量

(X,Y)在曲線y=x2及y=x

所圍成的區(qū)域上服從均勻分布,求解設(shè)曲線y=x2及y=x圍成的區(qū)域為G,如圖所示,則G的面積y=xx1y=x2Oy1G由于(X,Y