高等數(shù)學(xué) 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)

無(wú)窮級(jí)數(shù)從18世紀(jì)以來(lái)，無(wú)窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)討論：①級(jí)數(shù)的收斂性判定問(wèn)題，②把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問(wèn)題，③級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。重點(diǎn)級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，函數(shù)的Fourier展開(kāi)式；難點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開(kāi)，級(jí)數(shù)求和；基本要求①掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)②掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz審斂法④掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)⑥熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式的Fourier系數(shù)⑧掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和部分和數(shù)列2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:余項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形——“Koch雪花”．觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類推第次分叉：周長(zhǎng)為面積為于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無(wú)界的，而面積有界．解

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上解三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.證明類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.證明注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)任意加括號(hào)若記則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為記的部分和為的部分和記為則由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知存在，必定存在存在未必存在四、收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:證明注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.討論2項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項(xiàng)看成是以為高就是圖中n個(gè)矩形的面積之和即故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法思考題思考題解答能．由柯西審斂原理即知．觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類推12345練習(xí)題練習(xí)題答案常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問(wèn)題是判定級(jí)數(shù)的斂散性，如果級(jí)數(shù)是收斂的，就可以對(duì)它進(jìn)行某些運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)，在一般情況下，直接考察級(jí)數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來(lái)判定級(jí)數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來(lái)判定級(jí)數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)將分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)討論一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).這種級(jí)數(shù)非常重要，以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問(wèn)題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理3.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).解由圖可知重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來(lái)卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁?，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法證明4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.證明收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).直接從級(jí)數(shù)本身的構(gòu)成——即通項(xiàng)來(lái)判定其斂散性兩點(diǎn)注意:解比值審斂法失效,改用比較審斂法例5解由于不存在，檢比法失效而對(duì)由檢比法得收斂故由比較審斂法知收斂例6解由檢比法得級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散檢比法失效，但即后項(xiàng)大于前項(xiàng)故級(jí)數(shù)發(fā)散證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散級(jí)數(shù)收斂.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).證明滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.解原級(jí)數(shù)收斂.證明

un

單調(diào)減的方法？？？三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).證明上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理定理設(shè)有級(jí)數(shù)則絕對(duì)收斂發(fā)散可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂如果發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定則必定發(fā)散這是因?yàn)闄z比法與檢根法審定級(jí)數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0由四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.練習(xí)題練習(xí)題答案1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂一、主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無(wú)窮小特別（等價(jià)無(wú)窮小）3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz定理絕對(duì)收斂，條件收斂附：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散N發(fā)散YY收斂N用檢比法用比較法用L—準(zhǔn)則或考察部分和NNY條件收斂例1求極限解考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)由檢比法收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得二、典型例題例2設(shè)試證發(fā)散證不妨設(shè)a>0

由極限保號(hào)性知由于故由比較法的極限形式得發(fā)散例3若都發(fā)散則A必發(fā)散B必發(fā)散C必發(fā)散D以上說(shuō)法都不對(duì)例3解根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散．解從而有原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)也發(fā)散．例4解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．由萊布尼茨定理：所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．都收斂且例5設(shè)試證收斂證由知因都收斂故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂再由比較審斂法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂而即可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和故收斂例6設(shè)且若收斂則也收斂證由題設(shè)知而收斂由比較法得收斂Cauchy積分審斂法設(shè)單調(diào)減少則與同斂散例7證由f(x)單調(diào)減少知即故與同斂散例8設(shè)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明收斂證記則且而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和又單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知存在即收斂進(jìn)而收斂由比較法得收斂設(shè)正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，級(jí)數(shù)發(fā)散考察的斂散性證記由單調(diào)減少故由單調(diào)有界原理知存在且若由Leibniz審斂法得交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂與題設(shè)矛盾由檢根法知收斂例9已知證明⑴⑵⑶由知對(duì)有證⑴例10而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發(fā)散故由比較法知發(fā)散⑶如但討論的斂散性解對(duì)級(jí)數(shù)收斂絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散分情況說(shuō)明例11級(jí)數(shù)成為收斂發(fā)散級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂條件收斂例12對(duì)的值，研究一般項(xiàng)為的級(jí)數(shù)的斂散性解由于當(dāng)n充分大時(shí)，定號(hào)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)總有級(jí)數(shù)發(fā)散非增地趨于0由Leibniz審斂法知收斂但而發(fā)散故由比較法的極限形式發(fā)散條件收斂級(jí)數(shù)顯然收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使收斂必須但在一般項(xiàng)趨于0的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說(shuō)明問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使用起來(lái)也更有效的階問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)作比較，雖然使用起來(lái)較方便但都會(huì)遇到“失效”的情況。這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問(wèn)題歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定注①比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方可使用的一種估計(jì)②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件④通項(xiàng)中含等常用檢比法⑤通項(xiàng)中含有以n為指數(shù)冪的因子時(shí)常用檢根法⑥使用比較法的極限形式時(shí)，關(guān)鍵在于找出與同階或等價(jià)的無(wú)窮小如記則⑦當(dāng)所討論的級(jí)數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，一般都要對(duì)參數(shù)的取值加以討論1.定義:冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念2.收斂點(diǎn)與收斂域:3.和函數(shù):(定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)注意(x在收斂域上)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域收斂區(qū)域這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性推論定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，收斂域

=

收斂區(qū)間

+

收斂的端點(diǎn)可能是規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?證明由比值審斂法,定理證畢.①若在x0處收斂則②在x0處發(fā)散若則③若在x0處條件收斂則這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性注利用該定理求收斂半徑要求所有的或只有有限個(gè)例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].如缺項(xiàng)，則必不存在，但冪級(jí)數(shù)并不是沒(méi)有收斂半徑，此時(shí)不能套用定理，可考慮直接用比值法或根值法求收斂半徑例3已知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1求的收斂半徑解任取由收斂知注：由檢比法易得收斂故由比較審斂法知在故收斂半徑內(nèi)絕對(duì)收斂注意收斂半徑為1，并不意味著`三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)解兩邊積分得例5求和函數(shù)解收斂域?yàn)橛泟t并求的和故故常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)記住幾個(gè)常見(jiàn)級(jí)數(shù)的和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的一種重要方法冪級(jí)數(shù)法或Abel法四、小結(jié)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念:2.冪級(jí)數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)思考題冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是練習(xí)題練習(xí)題答案函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個(gè)和函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)已經(jīng)表示為冪級(jí)數(shù)，那末該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問(wèn)題就迎刃而解。一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問(wèn)題:1.如果能展開(kāi),是什么?2.展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?證明逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的,問(wèn)題泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),證明必要性充分性證明二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:例1解由于M的任意性,即得例2解例3解兩邊積分得即注意:牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式雙階乘2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分,復(fù)合等方法,求展開(kāi)式.例如例4解三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法.思考題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？思考題解答從已知的展開(kāi)式出發(fā),通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)展開(kāi)式的方法稱之.練習(xí)題練習(xí)題答案冪級(jí)數(shù)習(xí)題課一、主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑R收斂域Taylor級(jí)數(shù)Taylor展開(kāi)式１．冪級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂性對(duì)總存在正數(shù)Ｒ使得Ｒ－－收斂半徑（－Ｒ，Ｒ）－－收斂區(qū)間注①形如的級(jí)數(shù)，求收斂域的收斂半徑Ｒ－－原級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)應(yīng)先求出－－原級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)再研究②用公式求收斂半徑應(yīng)是的系數(shù)，否則可作代換或直接利用檢比法或檢根法來(lái)確定③求出收斂半徑后必須用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法判定端點(diǎn)處的斂散性的點(diǎn)的斂散性(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):和函數(shù)連續(xù)，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分收斂半徑不變⑷冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)利用幾個(gè)已知的展開(kāi)式，如通過(guò)某些簡(jiǎn)單運(yùn)算而求得?。蓛蓚€(gè)冪級(jí)數(shù)的和，差，積，商ⅱ．作變量代換ⅲ．求導(dǎo)或積分通項(xiàng)形如先微后積通項(xiàng)形如先積后微步驟：①求收斂域②對(duì)進(jìn)行運(yùn)算保留所有的運(yùn)算記號(hào)的運(yùn)算結(jié)果要具體算出化成易求和的形式③再進(jìn)行上述運(yùn)算的逆運(yùn)算得２．冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(1)定義(2)充要條件(3)唯一性(４)展開(kāi)方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.b.間接法(５)常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式(６)應(yīng)用歐拉公式的展開(kāi)式，并且要十分熟悉幾何級(jí)數(shù)及函數(shù)間的微分關(guān)系２．求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，必須相應(yīng)地寫(xiě)出展開(kāi)式成立的范圍，３．對(duì)于不同類型的函數(shù)注意采用不同的展開(kāi)方法和步驟有理分式－－化部分分式，利用幾何級(jí)數(shù)展開(kāi)反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)－－先展開(kāi)其導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，但此時(shí)必須注意積分的下限注１．幾個(gè)基本初等函數(shù)須直接展開(kāi)，其它函數(shù)應(yīng)盡量采用間接展開(kāi)，但間接展開(kāi)法必須牢記

二、典型例題例１求收斂域解收斂半徑收斂半徑若則原級(jí)數(shù)成為由于收斂原級(jí)數(shù)成為發(fā)散故收斂域?yàn)槿魟t收斂收斂發(fā)散收斂原級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂收斂絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)成為收斂原級(jí)數(shù)收斂故收斂域?yàn)榻馐諗坑蚶睬蠛秃瘮?shù)

令積分求導(dǎo)令求導(dǎo)積分故注意先微后積，收斂域可能擴(kuò)張先積后微，收斂域可能收縮例３求級(jí)數(shù)和解考慮冪級(jí)數(shù)由乘以

x

求導(dǎo)再乘以x再求導(dǎo)例４解兩邊逐項(xiàng)積分例５解或積分例６解求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂半徑并求解由于收斂半徑為且例7設(shè)例8設(shè)求解一由Leibniz公式令得由得解二故Fourier級(jí)數(shù)前面兩節(jié)我們討論了一般項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)次冪的冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)------冪級(jí)數(shù)，給出了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，討論了函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的條件及函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的直接展開(kāi)法、間接展開(kāi)法。從本節(jié)開(kāi)始我們來(lái)討論一般項(xiàng)是三角函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)------三角級(jí)數(shù)，重點(diǎn)討論如何把函數(shù)展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的問(wèn)題，它的重要應(yīng)用之一是對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，是學(xué)習(xí)積分變換的基礎(chǔ)，也可利用三角級(jí)數(shù)展開(kāi)式求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和一、問(wèn)題的提出在自然科學(xué)與工程技術(shù)問(wèn)題中，常會(huì)遇到周期現(xiàn)象具有周期現(xiàn)象的量，每經(jīng)過(guò)時(shí)間

T

后所取的值就重復(fù)出現(xiàn)，這樣的量在數(shù)學(xué)上可表示成時(shí)間t的周期函數(shù)

f(t+T)=f(t)正弦函數(shù)是一類比較簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，而且是應(yīng)用十分廣泛的一類周期函數(shù)。如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)和正弦電路電流分析中常遇到正弦型函數(shù)但是在實(shí)際問(wèn)題中，除了正弦函數(shù)外，還會(huì)遇到非正弦周期函數(shù)，它們反映了較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)非正弦型周期函數(shù)：巨形波如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面介紹過(guò)的用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式表示和討論函數(shù)，我們也想將周期函數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)單的周期函數(shù)如正弦函數(shù)組成的級(jí)數(shù)不同頻率的正弦波逐個(gè)疊加以電路計(jì)算為例，往往將以T為周期的函數(shù)化成一系列不同頻率的正弦量之和。將周期函數(shù)按上述方式展開(kāi)，其物理意義是很明確的，這就是把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加二、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級(jí)數(shù)諧波分析三角級(jí)數(shù)2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題:1.若能展開(kāi),是什么?2.展開(kāi)的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題:以上我們是在f(x)可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)并可以逐項(xiàng)積分的前提下討論問(wèn)題的，下面我們撇開(kāi)這個(gè)前提只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)并可唯一地寫(xiě)出f(x)的F-----級(jí)數(shù)至于這個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問(wèn)題，有以下定理2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)注意:函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件低的多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.和函數(shù)圖象為所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為展開(kāi)步驟①驗(yàn)證f(x)滿足Dirichlet條件，并確定f(x)的所有間斷點(diǎn)，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷②根據(jù)公式計(jì)算Fourier系數(shù)③寫(xiě)出Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并注明展開(kāi)式的成立范圍注求Fourier系數(shù)一般要用分部積分法，有時(shí)甚至要多次分部積分，較麻煩且容易出錯(cuò)，此外，某些an,bn需要單獨(dú)計(jì)算，容易忽略而導(dǎo)致錯(cuò)誤求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式，主要的工作是計(jì)算Fourier系數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可簡(jiǎn)化Fourier系數(shù)計(jì)算，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式是只含有正弦項(xiàng)而沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)而沒(méi)有正弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)例2f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為解f(x)如右圖所示滿足收斂定理的條件例3試求其Fourier級(jí)數(shù)的和函數(shù)解f(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級(jí)數(shù)處處收斂于f(x)本身四、小結(jié)1.基本概念；2.傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；4.非周期函數(shù)的傅氏展開(kāi)式；5.傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體逼近思考題思考題解答傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體逼近Fourier級(jí)數(shù)習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收斂半徑R泰勒展開(kāi)式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)傅氏展開(kāi)式傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)滿足狄氏條件在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1。Fourier級(jí)數(shù)Fourier系數(shù)2。收斂定理（Dirichlet充分條件）f(x)在一個(gè)周期內(nèi)①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)②只有有限個(gè)極值點(diǎn)則Fourier級(jí)數(shù)收斂，且3。周期為2L的函數(shù)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則有簡(jiǎn)化的計(jì)算公式偶函數(shù)奇函數(shù)4。非周期函數(shù)的展開(kāi)上有定義的函數(shù)f(

x)先在整個(gè)數(shù)軸上作周期延拓，將延拓后的函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，最后限制自變量的取值范圍，即得f(

x)的

Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式上有定義的函數(shù)f(

x)奇延拓——-展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)（收斂域一般不包含端點(diǎn)）偶延拓——展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)（收斂域一定包含端點(diǎn)）5。強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)這部分內(nèi)容所涉及到的問(wèn)題，類型不多，有求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式，討論其和函數(shù)，證明三角等式，求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解法也比較固定首先是求出Fourier系數(shù)，寫(xiě)出Fourier

級(jí)數(shù)，然后根據(jù)Dirichlet充分條件討論其和函數(shù)⑴記住Fourier系數(shù)公式。Fourier系數(shù)的計(jì)算須不止一次地使用分部積分公式，要小心⑵掌握Dirichlet收斂定理的內(nèi)容⑶求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式，必須注明展開(kāi)式的成立范圍——即連續(xù)區(qū)間，也即只要去掉間斷點(diǎn)⑷注意函數(shù)的奇偶性、周期性⑸注意函數(shù)的定義域，是否需要延拓?zé)o論是奇延拓還是偶延拓，在計(jì)算展開(kāi)式的系數(shù)時(shí)只用到

f(

x)在[0,l]上的值，所以在解題過(guò)程中并不需要具體作出延拓函數(shù)F(x)，而只須指明采用哪一種延拓方式即可Fourier

級(jí)數(shù)收斂定理Fourier系數(shù)其它展開(kāi)正弦、余弦級(jí)數(shù)求和函數(shù)的表達(dá)式、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和二、典型例題例1解同理解關(guān)鍵是寫(xiě)出f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式易見(jiàn)f(x)是奇函數(shù)解此題是定義在的函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)為此首先對(duì)f(x)作奇延拓在作正弦展開(kāi)依收斂定理當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)s(x)=f(x)當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)只須注意端點(diǎn)處的情況例4已知f(x)在[-1,1]上的Fourier級(jí)數(shù)為該級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)則As(1)=1s(2)=4Bs(1)=0.5s(2)=4Cs(1)=0.5s(2)=0Ds(1)=1s(2)=0解對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓令x=0得證明本例實(shí)則是將函數(shù)f(

x)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)先展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，須進(jìn)行偶延拓再展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，須進(jìn)行奇延拓其它展開(kāi)一、周期為2L的周期函數(shù)展開(kāi)成

Fourier級(jí)數(shù)前面我們所討論的都是以展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，但在科技應(yīng)用中所遇到的周期函數(shù)大都是以T為周期，因此我們需要討論如何把周期為T(mén)=2l的函數(shù)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)若f(t)是以T=2l為周期的函數(shù)，在[-l,l)上滿足Dirichlet條件代入傅氏級(jí)數(shù)中定理在連續(xù)點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂于f(x)本身在間斷點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂于則有則有證明解二、非周期函數(shù)的展開(kāi)前面我們研究了周期為T(mén)=2l的函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，其中所涉及到的函數(shù)都是定義在無(wú)限區(qū)間上，但在實(shí)際應(yīng)用中卻需要對(duì)非周期函數(shù)，或定義在有限區(qū)間上的函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，下面我們就來(lái)討論這種情況，分兩種情形討論1。周期延拓的情形設(shè)函數(shù)f(t)在[-l,l)上滿足Dirichlet條件為了將其展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，需要將f(t)在[-l,l)以外進(jìn)行周期性延拓，也就是作一個(gè)周期為l的函數(shù)F(t)使得F(t)在[-l,l)上與f(t)恒等，將F(t)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)而在[-l,l)的連續(xù)點(diǎn)處，有若t0是[-l,l)內(nèi)的間斷點(diǎn)，則在該點(diǎn)處，級(jí)數(shù)收斂于需要注意的是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，雖然對(duì)f(t)來(lái)說(shuō)，在左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)，但延拓成F(t)以后，在就不一定連續(xù)，由收斂定理，級(jí)數(shù)收斂于因此若f(t)在[-l,l)上左端點(diǎn)的右極限等于右端點(diǎn)的左極限，即展開(kāi)式在此時(shí)Fourier級(jí)數(shù)的收斂域包括區(qū)間的端點(diǎn)，否則Fourier級(jí)數(shù)的收斂域不包括區(qū)間的端點(diǎn)應(yīng)該指出，這里所要展開(kāi)的是f(t)要得到的是第二個(gè)級(jí)數(shù)，在實(shí)際計(jì)算中并不需要得到第一個(gè)級(jí)數(shù)，雖然兩個(gè)展開(kāi)式形式上完全相同，但它們的收斂域不同，F(xiàn)(t)是延拓到整個(gè)數(shù)軸上的情形，而

f(t)的展開(kāi)式只局限于[-l,l]，因此在討論f(t)的展開(kāi)式的收斂域時(shí)，不要擴(kuò)展到f(t)的定義域之外解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在收斂于.所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為利用傅氏展開(kāi)式求級(jí)數(shù)的和解另解2。正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)定義非周期函數(shù)的周期性開(kāi)拓如果函數(shù)f(t)只是定義在[0,l]上，且在[0,l]上滿足Dirichlet條件，需要展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，就要先在[-l,0）上補(bǔ)充定義，或者說(shuō)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(t)使得在區(qū)間[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法將F(t)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，當(dāng)限制自變量在[0,l]上時(shí)，就得到f(t)的Fourier展開(kāi)式從理論上講，構(gòu)造函數(shù)F(t)時(shí)，所補(bǔ)充的在[-l,0）上有定義的函數(shù)可以任意給出，只要它滿足Dirichlet條件，但往往由于所給函數(shù)的不同會(huì)使得計(jì)算變得煩瑣，因此在實(shí)際應(yīng)用中常采用偶延拓和奇延拓的方法則有如下兩種情況奇延拓:偶延拓:解(1)求正弦級(jí)數(shù).(2)求余弦級(jí)數(shù).一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn)