高考數(shù)學高分寶典

高考數(shù)學高分寶典

一、高考數(shù)學試題特點二、高考數(shù)學命題趨勢三、高考復習方法建議

數(shù)學特征及其分類

數(shù)學研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。

——恩格斯聯(lián)想、直覺、頓悟等方面，而且有嚴謹理性的證明過程，通過數(shù)學培養(yǎng)學生的邏輯思維能力是最好、最經(jīng)濟的方法。在學習數(shù)學知識及運用數(shù)學知識、思想和方法解決問題的過程中，能培養(yǎng)辨證唯物主義世界觀，能培養(yǎng)實事求是、嚴謹認真和勇于創(chuàng)新等良好的個性品質(zhì)。數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力、發(fā)展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里寧曾說：“數(shù)學是鍛煉思維的體操?！睌?shù)學思維不僅有生動活潑的探究過程，其中包括想象、類比、數(shù)學可以分成兩大類純粹數(shù)學應(yīng)用數(shù)學

20世紀產(chǎn)生一批應(yīng)用數(shù)學的分支，例如，控制論，信息論，博弈論，規(guī)劃論等等。這些數(shù)學分支涉及的問題已經(jīng)成為數(shù)學重要的研究方向與課題。隨著時代的發(fā)展，形成了許多新的學科方向，有許多都是與數(shù)學有關(guān)，例如生物數(shù)學，經(jīng)濟數(shù)學，計算化學，計量歷史學…等邊緣學科。有人甚至說，任何一個學科加上數(shù)學就可以成為一個新的交叉學科。姜伯駒院士曾多次強調(diào)“數(shù)學已經(jīng)從幕后走到臺前，在很多方面為社會直接創(chuàng)造價值?！边@是對數(shù)學變化的一個很好的概括。提丟斯數(shù)列

（提丟斯）3，6，12，24，48，96，192，……

0，3，6，12，24，48，96，192，……

0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,……水星金星地球火星？木星土星？？實際距離0.390.721.01.52?5.29.5??計算距離0.40.71.01.62.85.210.019.6…1781年天王星（19.2）1801年谷神星（2.7）宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學。

—華羅庚天賦＋興趣＋最好的老師是青少年成才的途徑。數(shù)學專業(yè)在許多高校的招生排行榜上位置越來越靠前，學數(shù)學很有用，各學科都用得上。

數(shù)學是思想家的學問，萬物皆數(shù)理，沒有微積分，整個近代數(shù)學就沒有了。幾何拓樸學的黃金時代是陳省身年代。我聽美國一支壘球隊的老板講，他們雇了一位搞數(shù)學的，研究攻球次數(shù)和薪水的恰當比例，防止多花冤枉錢。在微軟還有專門一個純數(shù)學的研究室，養(yǎng)著一批數(shù)學家。

盡管現(xiàn)在美國找工作不容易，華爾街還招大量的數(shù)學系畢業(yè)生，培訓三個月就上崗，數(shù)學教人會思考。數(shù)學好像是抽象的，與你的生活無關(guān)。但比如買車，花同樣的錢，數(shù)學家可能更會算計，可以買到更高價值的車；再比如現(xiàn)在普遍在用的電腦，它的發(fā)明人馮·諾伊曼、圖林都是數(shù)學家。

一、高考數(shù)學試題特點對基礎(chǔ)知識的考查：全面又突出重點.重視知識的交匯與融合把握學科特點，倡導通性通法突出能力立意，搞好探究創(chuàng)新順應(yīng)教育改革，體現(xiàn)課改精神設(shè)置實際背景，考察數(shù)學應(yīng)用.對基礎(chǔ)知識的考查：全面又突出重點.

例1

例2已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，則ab+bc+ca的最小值為_____________.選取a，b，c的符號可得ab+bc+ca的最小值

重視知識的交匯與融合例3長方形的四個頂點A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),一質(zhì)點從AB中點P0出發(fā)，沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到的CD,DA,AB上的P2，P3，P4，設(shè)P4的坐標（x4,0）,若1<x4<2,求tanθ的取值范圍.ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4設(shè)P1的坐標(2，m),設(shè)P2的坐標(n，1),設(shè)P3的坐標(0，p),設(shè)P4的坐標(q，0),把握學科特點，倡導通性通法

例4設(shè)定義在R上的函數(shù)則關(guān)于x的方程xx結(jié)果c=0,b<0.xyoEABCDxyoEABCD突出能力立意，搞好探究創(chuàng)新

例6把集合{2t+2s|0≤s<t,s,t∈Z}的元素由小到大排列得到數(shù)列{an},例如a1=20+21=3,a2=20+22=5,a3=21+22=6,a4=20+23=9,a5=21+23=10,a6=22+23=12,……把數(shù)列{an}的項依次寫成塔形:35691012………………（1）

寫出塔形的第四、五行；（2）

求a100；

35691012………………觀察找規(guī)律

171820243334364048第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，……，第n行n個數(shù)，1+2+3+……+n≥100≥1+2+3+……+n-1,得n=14,說明a100在第14行，每一行的第一個數(shù)分別為2+1，22+1，23+1，24=1，25+1，26+1，……214+1，∵前13行用了91個數(shù).∴a100在第14行的第9個數(shù)，

a100=214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.(s,t)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)…………(0,n)(1,2)(1,3)(1,4)…………(1,n)(2,3)(2,4)…………(2,n)(3,4)…………(3,n)…………(n-1,n)171820243334364048理性思維(0,14)(1,14)(2,14)(3,14)(4,14)(5,14)(6,14)(7,14)(8,14)(9,14)(10,14)(11,14)(12,14)(13,14)a100在第14列對應(yīng)第9個數(shù)組，(8,14)a100=214+28=16640.

順應(yīng)教育改革，體現(xiàn)課改精神例7計算機常用十六進制的計數(shù)制，對應(yīng)關(guān)系

16進制01234567

10進制01234567

16進制89ABCDEF

10進制89101112131415∵A×B=110,110÷16=6余14∴A×B=6EA×B=______.(A)6E(B)72(C)5F(D)B0例8對任意函數(shù)f(x),x∈D,可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：①

輸入數(shù)據(jù)x0∈D,經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0),②

若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈D，則x返回輸入端，再輸出x2=f(x1),將依此規(guī)律繼續(xù)下去.

現(xiàn)定義：

f輸入打印輸出

X1∈D

NoYes結(jié)束(1)

若x0=，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn}，請寫出數(shù)列{xn}的所有項；(2)

若數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試輸入初始值x0

的值；(3)若輸入x0時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列{xn}，滿足xn<xn+1

對任意正整數(shù)n成立，求x0

的取值范圍.設(shè)置實際背景，考察數(shù)學應(yīng)用.例9一接待中心有A,B,C,D四部熱線電話，已知某一時刻電話A,B占線的概率為0.5,電話C,D占線的概率為0.4,各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時刻有ξ部電話占線，試求隨機變量ξ的概率和它的期望。解P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09P(ξ=1)=P(ξ=2)=…………

ξ

0

1

2

3

4

P0.090.30.370.20.04Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2 +4×0.04=1.8例10某城市要在中心廣場建一個扇形花圃156423現(xiàn)在要栽種4種不同顏色的花，每一部分栽一種，要求相鄰部分不同色，有多少種不同的種法？126543先考慮在1區(qū)內(nèi)栽種有4種方法，再依次考慮2、3、4、5、6區(qū)的栽種方法。

23456

11564234×30＝120畫樹圖當1區(qū)選中后，2區(qū)有三種選色方法。（21）（本題15分）已知數(shù)列中的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩個根，且（I）求，，，（II）求數(shù)列的前項和（Ⅲ）記，求證：

求證：

答題中暴露的問題：

(1)題意不清

(2)公式用錯

(3)計算錯誤

(4)表述凌亂

(5)過程繁瑣

(6)套用題型

(7)會而不對

(8)對而不全考上名牌大學并沒有想的那么難信心決心恒心方法數(shù)學真正成功者屬于數(shù)學愛好者數(shù)學題是用腦子做的而不是用手做的帶著欣賞的眼光做題吧二、高考數(shù)學命題趨勢注重基礎(chǔ)、穩(wěn)中漸變主干知識、?？汲Ｐ陆沂颈举|(zhì)、適度形式綜合交匯、鏈接高等關(guān)注競賽、導向選拔未來高考數(shù)學命題的趨勢難度:0.60—0.65課本習題拓展化

發(fā)揮課本例、習題的基礎(chǔ)性、典型性、示范性功能，努力“跳出題?！薄Ｑ芯啃詫W習“成果化”

紙片剪拼成柱錐模型的設(shè)計方案

三角形數(shù)列的研究

如圖1，有一條河，兩個工廠P和Q位于河岸L（直線）的同一側(cè)，工廠P和Q距離河岸L分別為10千米和8千米，兩個工廠的距離為14千米，現(xiàn)要在河的工廠一側(cè)選一點R，在R處建一個水泵站，向兩工廠P、Q輸水，請你給出一個經(jīng)濟合理的設(shè)計方案。L14810QP河R最佳選址問題水泵站R建立在河邊（即L上），則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點R，使|RP|＋|RQ|為最小。方案一：8L10Q14P河圖1R水泵站R建立在河邊（即L上），走R—P—Q的路線，則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點R，使|RP|＋|PQ|為最小。方案二：L810Q14P河圖2R水泵站R建立在河邊（即L上），走R—Q—P的路線，則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點R，使|RQ|＋|QP|為最小。方案三：14圖3L810QP河R水泵站R不建在河邊，則問題轉(zhuǎn)化為要在L的P、Q一側(cè)找點R，使R到P、Q及L的距離之和即|RP|+|RQ|+|RM|最小。方案四：R圖48L10Q14P河M方案五圖58L10Q14P河MR連MP，則MP+PQ≤RM+RP+PQ，而M—P—Q的路線即方案二，故只需考慮方案二。圖68L10Q14P河RM方案六連MQ，則MQ+PQ≤RM+RP+PQ，而M—Q—P的路線即方案三，故只需考慮方案三。R方案一：8L10Q14P河圖18L10Q14P河圖4方案四：LQ14P圖2810河方案二：R8L10Q14P河圖3方案三：RR問題引申這就是著名的阿勒哈森問題。建議：同學們運用本課采用的研究方法去加以研究。PQ若取水的河道不是直線，是一段圓?。ㄈ鐖D），則應(yīng)該如何選點？河R提示：注意運用圓心高考試題競賽化

全國高中數(shù)學聯(lián)賽的一試接近于高考，但它比高考更側(cè)重能力考查數(shù)學競賽專家積極參與了高考命題工作高考能力要求

思維能力運算能力空間想象能力實踐能力創(chuàng)新意識思維能力：對材料會觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括；會用演繹、歸納、類比進行推理；能合乎邏輯地、準確地表述。運算能力：正確的運算、變形和數(shù)據(jù)處理；會尋找和設(shè)計合理、簡捷的運算途徑；根據(jù)要求會估算與近似計算?？臻g想象能力：依條件作圖；從圖形到直觀；分清圖形的元素及其關(guān)系；對圖形能分解和組合；能利用圖象或圖表解決問題。實踐能力：能綜合應(yīng)用所學知識解決實際問題；能閱讀理解問題所涉及的材料；對信息會整理、歸類，建立數(shù)學模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，用數(shù)學語言表述和說明。創(chuàng)新意識：對新穎的信息、情境和設(shè)問，能選擇有效的方法和手段給予收集和處理；能綜合與靈活的運用知識與方法，進行獨立思考與探究，能創(chuàng)造性的解決問題。三、高考復習方法建議

1．強化數(shù)形結(jié)合思想的訓練

2．強化特殊化思想的訓練

3．強化估值法的訓練

4．適當進行新題型的訓練

1．強化數(shù)形結(jié)合思想的訓練例1

函數(shù)y=ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示,其中|x1|＞|x2|,則

(

)

(A)a＞0b＞0c＞0d=

0(B)a＞0b＞0c＜0d=

0(C)

a＜0b＜0c＞0d=

0(D)

a＜0b＜0c＜0d=

0【思路分析】

由圖得f(0)=0，則d=0．∴f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d

=ax(x－x1)

(

x－x2)

當x＞x2時，由圖得

f(x)＞0，x>0，

x－x1＞0，

x－x2>0，由此得a＞0．又y=ax(x－x1)(x－x2)

=ax3－a(x1＋x2)x2＋ax1x2x∴

b

=－a(x1＋x2)，c=ax1x2由于，|x1|>|x2|,且x1＜0,x2＞0,∴

x1＋x2＜0，x1x2＜0，又a＞0,由此可得b＞0，c＜0．選(B)

例2

函數(shù)y=logax在x∈[2,+∞)上恒有|y|＞1，則a的取值范圍是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)或或或

【思路分析】

令x

=

2，|y

|

=

1，求出a

=

2或a

=

．在同一坐標系內(nèi)畫出y

=和的圖象.然后再由

時|

y|＞1，任意畫出y=logmx和y

=

lognx的兩個函數(shù)圖象,它們與直線y

=

1交點的橫坐標即為m、n的值．從圖可直觀得到取值范圍為或1<a<2．選(A)

例3已知兩點A(－2，0)，B(0，2)，點C是圓x2＋y2－2x=0上的任意一點，則△ABC面積的最小值是()

(A)(B)(C)(D)

2．強化特殊化思想的訓練例4

已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都有

f(3－x)=f(2＋x)，它的一個單調(diào)遞增區(qū)間是[1,2]，則函數(shù)y=f(1－x)在()

(A)[－4,－3]上單調(diào)遞增，[－2,－1]上單調(diào)遞減

(B)[－3,－2]上單調(diào)遞增，[－1,0]上單調(diào)遞減

(C)

[－4,－3]上單調(diào)遞減，[－2,－1]上單調(diào)遞增

(D)[－3,－2]上單調(diào)遞減，[－1,0]上單調(diào)遞增

【思路分析】由f(3－x)=f(2＋x)得y=f(x)的圖象的對稱軸為.又f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,可令

則

.從圖中可直觀得到正確答案(B).

例5已知三棱錐A－BCD中,E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點，則截面EFGH把三棱錐A－BCD分成兩部分的體積比為()

(A)1∶1(B)1∶2(C)2∶3(D)3∶

4使AD⊥平面BCD，且BC⊥CD．設(shè)BC=CD=AD=2，則

，選(A)．【思路分析】(一)．．．【思路分析】(二)

使三棱錐變?yōu)楦鳁l棱長皆相等的正四面體，認真觀察后會發(fā)現(xiàn),被截面所截的兩個多面體是完全相同的,所以它們的體積比為1∶1,選(A)．

3．強化估值法的訓練例6已知α、β都是銳角,且，

,則α＋β的值等于()

(A)(B)(C)或(D)或畫出單位圓,由，

及，α、β

為銳角,可大致確定出

α、β及終邊所在的位置.

由圖，顯然α+β≠

，也不會兩解，所以選(B)．

【思路分析】

4．適當進行新題型的訓練例7

已知三個函數(shù)y1，y2，y3以及對應(yīng)的函數(shù)圖象C1，C2，C3．將C1向左平移2個單位得到C2，將C2關(guān)于原點對稱得到C3，若三個函數(shù)解析式從以下三式中選?。海?，,則

y1=_______________,y2=_______________,y3=______________.【思路分析】變換的順序與方法是確定的．第一次變換第二次變換x→

x+2y→

yx→

－xy→

－y觀察三個解析式的特點，尤其是x的符號特點，先確定出y3，然后再確定y1和y2，最后進行驗證．，，.例8

原市話資費為每3分鐘0.18元,現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘資費為0.22元,超過3分鐘,每分鐘按0.11元計費,與調(diào)整前相比，一次通話提價的百分比()

(A)

不會高于70%

(B)

會高于70%而不會高于90%

(C)

不會低于10%

(D)

高于30%而低于100%特殊值排除．通話4分鐘時，原話費：0.18×2=0.36

現(xiàn)話費：0.22＋0.11=0.33

提價為負值排除(C)(D)

通話30分鐘時原話費：0.18×10=1.80

現(xiàn)話費：0.22＋0.11×27=3.19

排除(A)而選(B)．【思路分析】(一)【思路分析】(二)

可表示為：

所以提價.解好中等解答題的對策

例9

已知函數(shù)

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；

（Ⅱ）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間．

解：由于（Ⅰ）易知周期T=，值域為[－3，5]．

（Ⅱ）由，得因此，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是．

例10

已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足：

A＋C=2B，求的值．

解:由A＋C=2B及A＋B＋C=180°，知B=60°，A＋C=120°．

故．

上式可化為

．

利用和差化積及積化和差公式，上式可化為

.代入上式，得

由于，

，

將代入上式整理得，，，例11

某海軍基地的三艘艦艇在某海域的A、B、C三處定點執(zhí)行任務(wù)．已知A在B的正東方向，且A、B相距6千米．C在B的北偏西30°，B、C相距4千米．某時刻A處艦艇收到該海域內(nèi)P處一漁船以每秒1千米的傳播速度發(fā)出的“由于機器故障無法航行急需救助”的信號，4秒鐘后B、C兩處的艦艇才同時收到這一信號．現(xiàn)A處艦艇奉命前去救助，求A處艦艇前去救助時航向的方位角．解：以BA所在直線為x軸，線段BA的中點為原點，正東、正北方向分別為x軸、y軸的正方向建立直角坐標系（如圖），則A（3，0），B（－3，0），

=4．過C作CM⊥x軸于M，由于C在B的北偏西30°，故∠CBM=60°．∴，，于是得．

由于B處艦艇收到信號比A處艦艇收到信號遲4秒，且信號傳播速度為每秒1千米，故|PB|－|PA|=4．

因此，P點在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，且2a=4，2c=6，從而

a=2，c=3，b2=c2－a2=5．所以，雙曲線的方程為①因為B、C兩處艦艇同時收到P處漁船發(fā)出的呼救信號，所以|PB|=|PC|，于是點P必在線段BC的垂直平分線上．

由點斜式得直線PQ的方程為整理，得．②

過P作PQ⊥BC于Q，則Q必為BC的中點．故得，．聯(lián)立①、②，注意到x≥2，解得x=8，，于是得．設(shè)PA的傾斜角為，則．故．因此所求的方位角為30°．

解好解答題中綜合性難題的對策一、“翻譯”轉(zhuǎn)化，弄清已知，明確目標，理順思路．二、辨別題型，設(shè)計方案，尋求最佳解法．三、解前估測猜想，解后檢驗思考，總結(jié)經(jīng)驗教訓，分析錯誤原因．

例12．已知函數(shù)，f(x)=ax2－1(a∈R，x∈R)，集合

且A=B≠?．求a的取值范圍．

拋物線y=ax2－1

與直線y=x的交點的橫坐標．

方程ax2－1=x的實根

方程a(ax2－1)2－1=x的實根

方程組的解中x的值

曲線y=ax2－1與曲線x=ay2－1的公共點的橫坐標．

A=B≠?

集合A、B中元素都相同且不是空集

方程ax2－1=x有實根，且與方程

a(ax2－1)2－1=x同解

曲線y=ax2－1與y=x有交點，且交點就是曲線y=ax2－1與x=ay2－1的交點．

由A≠?，得到a的一個范圍；證明；解題方案一(3)由于，說明四次方程

a(ax2－1)2－1－x=0

左邊的四次式必能因式分解，分解出一個二次式ax2－1－x

與另一個二次式的乘積；利用A=B再得出a的另一個范圍．

解：(1)由A≠?，知方程ax2－x－1=0有實根，

當a=0時，該方程有實根；

當a≠0時，由△1≥0，得

1+4a≥0，

即(a≠0)，

綜上，得．(2)f[f(x)]=x即

a(ax2－1)2－1－x=0

a3x4－2a2x2－x+a－1=0(ax2－x－1)(a2x2+ax－a+1)=0．

A=B當且僅當方程

a2x2+ax－a+1=0②

無實根或方程②的實根都是方程

ax2－x－1=0①的實根，方程①與②的實根不都相同．

當△2=a2－4a2(－a+1)<0，即時方程②無實根；當△2=0，即時，方程②有重根，恰是方程①的兩根之一；∴當且僅當時A=B．綜上，A=B≠?時a的取值范圍是．

(1)A≠?

y=ax2－1與y=x有公共點；解題方案二

(2)A=B

曲線y=ax2－1上不存在兩個不同點關(guān)于直線y=x對稱．

曲線y=ax2－1上斜率為－1的平行弦中點軌跡與y=x沒有公共點．

解題方案二練習題1 函數(shù)y=ax2－2的圖像上存在不同兩點關(guān)于直線y=x對稱，求a的取值范圍．例13．已知無窮數(shù)列{an}的每一項都是正整數(shù)，且，

an<M(n∈N)

其中M是給定常數(shù)(M