西安工業(yè)信號檢測與估計SDE-18 信號檢測理論

信號檢測理論綜述

PartIISignalDetectionTheory雷ropemind@163.com

SignalDetectionandEstimation信號檢測與估值第十六講

Spring2015

2023/2/51SDE_16信號檢測理論綜述WhatisSDEAbout?Goal:Suck

usefulinformationoutofmessydata

目標：從雜亂的數(shù)據(jù)中提取有用信息Strategy:Formulateprobabilisticmodelofdatay,whichdependsonunderlyingparameter(s)

策略：闡明y,與未知參數(shù)的相關程度Terminologydependsonparameterspace:參數(shù)空間相關術語Detection(simplehypothesistesting):檢測（簡單假設檢驗）{0,1},i.e.0=targetabsent,1=targetpresent

待估參量01分布0無目標Classification(multihypothesistesting):分類（多元假設檢驗）{0,1,…,M},i.e.{DC-9,747,F-15,MiG-31}Estimation估值Rn,Cn,etc.(nottoohard)L2(R),(square-integrablefunctions),etc.(harder)b2023/2/52SDE_16信號檢測理論綜述估計理論Estimationtheory參數(shù)估計測試或經(jīng)驗數(shù)據(jù).從噪聲中接收到的信號里提取信息的統(tǒng)計參數(shù)估計Abranchof

statistics

and

signalprocessing

thatdealswithestimatingthevaluesofparametersbasedonmeasured/empiricaldata統(tǒng)計和信號處理的一個分支，用于從測量和經(jīng)驗數(shù)據(jù)中估計參數(shù)數(shù)值Theparametersdescribethephysicalscenario想定

orobjectthatanswersaquestionposedbytheestimator.

這些由估計器輸出的參數(shù)數(shù)值描述了我們想知道的物理量Forexample,itisdesiredtoestimatetheproportionofapopulationofvoterswhowillvoteforaparticularcandidate.Thatproportionistheunobservableparameter;theestimateisbasedonasmallrandomsampleofvoters.

例如，很想知道選民對特定候選人的支持率。這種支持率是很難進行完全統(tǒng)計的；估計是在對少量人群取樣基礎上作出的。2023/2/53SDE_16信號檢測理論綜述估計理論Estimationtheory(con)Or,forexample,in

radar

thegoalistoestimatethelocationofobjects(airplanes,boats,etc.)byanalyzingthereceivedechoandapossiblequestiontobeposedis“wherearetheairplanes?”

又如，雷達的設計目標是通過回波估計出目標的位置，回答……

Toanswerwheretheairplanesare,itisnecessarytoestimatethedistancetheairplanesareatfromtheradarstation相對雷達站的位置,whichcanprovideanabsolutelocationiftheabsolutelocationoftheradarstationisknown.

當雷達站位置已知則可以獲得絕對定位。

Inestimationtheory,itisassumedthatthedesiredinformationisembeddedintoanoisysignal.估計中，假設想要的信號含噪。Noiseaddsuncertainty噪聲添加了不確定性andiftherewasnouncertaintythentherewouldbenoneedforestimation.如果沒有這種不確定性，則談不上估計。2023/2/54SDE_16信號檢測理論綜述檢測理論

Detectiontheoryor

信號檢測理論signaldetectiontheory噪聲中信號檢測的統(tǒng)計假設檢驗理論isameanstoquantifytheabilitytodiscernbetweensignal

andnoise.區(qū)分是信號還是噪聲的方法。Ithasapplicationsinmanyfieldssuchasquality

control質(zhì)量控制,

telecommunications電話通信,and

psychology心理學.Theconceptissimilartothe

signaltonoiseratiousedinthesciences與自然科學中信噪比的概念類似,anditisalsousablein

alarmmanagement報警管理,whereitisimportanttoseparateimportanteventsfrom

background

noise

因為從背景噪聲中分離出重要事件非常關鍵.2023/2/55SDE_16信號檢測理論綜述檢測理論

Detectiontheory(con)Accordingtothetheory,thereareanumberofpsychologicaldeterminersofhowwewilldetectasignal,andwhereourthresholdlevelswillbe.理論上講，有很多心理上的因素，如如何檢測信號、閾值在什么地方等

。Experience經(jīng)驗,expectations期望,physiologicalstate生理狀態(tài)(e.g,fatigue如疲勞)andotherfactorsaffectthresholds閾值.Forinstance,asentry哨兵inwartimewilllikelydetectfainterstimulithanthesamesentryinpeacetime.

例如，哨兵在戰(zhàn)時比和平時期更容易。。。。2023/2/56SDE_16信號檢測理論綜述判決問題：是A不是A？雷達和聲納信號處理Threshold閾值2023/2/57SDE_16信號檢測理論綜述其它數(shù)字通信：從接收信號中判決發(fā)送方是0還是1聲納：檢測敵方潛艇的出現(xiàn)圖像處理：使用紅外檢測飛機的出現(xiàn)生物醫(yī)學：檢測心臟的心律失常的出現(xiàn)語音識別：從語音波形中區(qū)分出數(shù)字12345控制：檢測被控系統(tǒng)突然變化的出現(xiàn)地震學：地下油田與非油田的檢測2023/2/58SDE_16信號檢測理論綜述Signal-to-NoiseRatio信噪比MeasuredindB!!!!!AbilitytorecognizetargetinrandomnoiseNoiseisalwayspresent.Atsomerange,noiseisgreaterthattarget’sreturnNoisesetslowerlimitofunit’ssensitivityThresholdlevel

閾值usedtoremoveexcessnoiseThreshold閾值2023/2/59SDE_16信號檢測理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)觀測空間R判決準則H0或H1H0或H1觀測空間R：在信源不同輸出下，觀測空間R是由概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)所形成的可能觀測的集合。觀測量可以是一維的，也可以是N維矢量。 兩種信號狀態(tài)下N維觀測信號矢量的N維聯(lián)合概率密度為。如果沒有噪聲的干擾，信源輸出的某一種確知信號將映射到觀測空間中的某一點，但在噪聲干擾的情況下，他將以一定的概率映射到整個觀測空間，觀測空間某點的概率為。第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念基本檢測理論模型2023/2/510SDE_16信號檢測理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)觀測空間R判決準則H0或H1H0或H1基本檢測理論模型判決準則：觀測信號落入觀測空間后，就可以用來推斷哪一個假設成立是合理的，即判決信號屬于哪種狀態(tài)。為此需要建立一個判決準則，判決觀測空間的每一個點對應著一個相應的假設Hi（i=0,1)例如：在二元信號檢測中，把整個觀測空間R劃分為R0和R1兩個子空間，稱為判決域。判決準則2023/2/511SDE_16信號檢測理論綜述1.3檢測問題的數(shù)學描述：概率的觀點噪聲增加11以1檢測為例：X＝1＋w[n]X=w[n]100010Thresholdlevel信號檢出00：檢出1：虛警FalseAlert10：漏檢Miss1：檢出hit2023/2/512SDE_16信號檢測理論綜述檢出概率Pd：正確檢出有信號（是1、是0）虛警概率Pfa：非1而檢測判決為1漏檢概率Pm：是1而檢測判決為02023/2/513SDE_16信號檢測理論綜述二元假設檢驗的統(tǒng)計術語對照表統(tǒng)計學家檢驗統(tǒng)計量(T(x))和門限(r)零假設(H0)備選假設(H1)判定域第一類錯誤(當H0為真時判H1成立)第二類錯誤(當H1為真時判H0成立)顯著性水平或檢驗的尺度(a)第二類錯誤概率(b)檢驗的勢(1一b)工程師檢測器只有噪聲假設信號+噪聲假設信號存在判決域虛警(FAFalseAlert)漏警（Miss）虛警概率(PFA)漏檢概率(PM)檢測概率(PD)2023/2/514SDE_16信號檢測理論綜述二元檢測與多元檢測語音判決：從輸入中判決是0到9的哪一個DecisionBoundaries判別邊界EBF(diagonalcov.Matrices)EBF(fullcov.Matrices)2023/2/515SDE_16信號檢測理論綜述多元假設檢驗：QAM最大似然解碼

MaximumLikelihoodDecodingLetCbethecodeweusefortransmissionandubethewordwhichisreceivedthroughthechannel.

C發(fā)送，收到VCMLD

(CompleteMaximumLikelihoodDecoding):Ifvsatisfiesthatd(v,u)isminimumforallcodewordsinC,thenweconcludethatvisthetransmittedcodewordnomattervisuniqueornot.

v斷定為某碼字C原則是d最小的（最接近），不管是否獨立IMLD(IncompleteMLD):Ifv(asabove)isnotunique,thenaskforretransmission.非獨立，可能多碼字，要求重傳12ERROR2023/2/516SDE_16信號檢測理論綜述4QAM16QAM64QAMCarriertoInterference(C/I)Codeset64164Noise/

interferenceTerminalmeasurescarriertointerference(C/I)andreportstoBS

終端測量載波相互沖突干涉（混合載波），將其傳給BSLowerQAMmodulationsmorerobustinpoorC/Iconditions

要調(diào)制不好的混合載波需降低QAM正交幅度調(diào)制來提高魯棒性Modulation&codingstructureshavebeenidentifiedthatcomewithin2dBofShannonlimit.調(diào)制和編碼已經(jīng)在香農(nóng)定理中被限定在2dVBTimeAdaptiveModulation&Coding自適應調(diào)制和編碼2023/2/517SDE_16信號檢測理論綜述二元假設檢驗樸素想法：錯判代價相同ASK、FSK、PSK中，判0還是判1？錯判均為誤碼如果同分布，如果不同分布？var(0)var(1)2023/2/518SDE_16信號檢測理論綜述二元假設檢驗：虛警概率一定情況下的門限PDF：N(0,1)N(1,1)－－－－N(u,δ2)需要根據(jù)單個觀測x[0]來確定u＝0還是＝1－－－二元假設檢驗下希望使達到最大虛警概率Neyman-Pearson方法：在給定約束條件“狼來了”的教訓2023/2/519SDE_16信號檢測理論綜述檢驗勢和最佳判定域選擇使Pd最大的R集。在統(tǒng)計學中，Pd稱為檢驗的勢(powerofthetest)。獲得最大勢的判定域稱為最佳判定域。2023/2/520SDE_16信號檢測理論綜述3.3Neyman-Pearson定理定理3.1(NeymanPearson)對于一個給定的其中門限由求出似然比檢驗使PD最大的判決為NP(Neyman-Pearson)檢測器虛警概率判決門限2023/2/521SDE_16信號檢測理論綜述各類錯誤

隨

門限變化2023/2/522SDE_16信號檢測理論綜述Ex3.2WGS中DC電平P506NP(Neyman-Pearson)檢測器2023/2/523SDE_16信號檢測理論綜述給定PFA,檢測性能隨ENR單調(diào)遞增

ENR:信號能量噪聲比

signalenergy-to-noiseratio,ENR2023/2/524SDE_16信號檢測理論綜述假設Hj為真時判決所付出的條件平均代價為若Hj為真的概率P(Hj

)已知，則判決所付出的總平均代價（也稱為平均風險）為貝葉斯準則(BayesCriterion)：平均代價最小貝葉斯準則：就是在假設Hj的先驗概率P(Hj)已知，各種判決代價因子Cij給定的情況下，使平均代價C最小的準則。代價因子Cij：表示假設Hj為真時，判決假設Hi成立所付出的代價。約束條件C10>C00，C01>C11。2023/2/525SDE_16信號檢測理論綜述貝葉斯準則（Bayes)極小化極大準則（minimax)奈曼-皮爾遜準則（Neymann-Pearson)……貝葉斯準則（BayesCriterion)貝葉斯準則：就是在假設Hj的先驗概率P(Hj)已知，各種判決代價因子Cij給定的情況下，使平均代價C最小的準則。1.概念代價因子Cij：表示假設Hj為真時，判決假設Hi成立所付出的代價。約束條件C10>C00，C01>C11。常用的信號檢測準則2023/2/526SDE_16信號檢測理論綜述ThreeCommonCostFunctions2023/2/527SDE_16信號檢測理論綜述假設Hj為真時判決所付出的條件平均代價為若Hj為真的概率P(Hj

)已知，則判決所付出的總平均代價（也稱為平均風險）為貝葉斯準則：平均代價C的表達式2023/2/528SDE_16信號檢測理論綜述2023/2/529SDE_16信號檢測理論綜述2023/2/530SDE_16信號檢測理論綜述2023/2/531SDE_16信號檢測理論綜述2023/2/532SDE_16信號檢測理論綜述2023/2/533SDE_16信號檢測理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)觀測空間R判決準則H0或H1H0或H1觀測空間R：在信源不同輸出下，觀測空間R是由概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)所形成的可能觀測的集合。觀測量可以是一維的，也可以是N維矢量。 兩種信號狀態(tài)下N維觀測信號矢量的N維聯(lián)合概率密度為。如果沒有噪聲的干擾，信源輸出的某一種確知信號將映射到觀測空間中的某一點，但在噪聲干擾的情況下，他將以一定的概率映射到整個觀測空間，觀測空間某點的概率為。第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念基本檢測理論模型2023/2/534SDE_16信號檢測理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)觀測空間R判決準則H0或H1H0或H1基本檢測理論模型判決準則：觀測信號落入觀測空間后，就可以用來推斷哪一個假設成立是合理的，即判決信號屬于哪種狀態(tài)。為此需要建立一個判決準則，判決觀測空間的每一個點對應著一個相應的假設Hi（i=0,1)例如：在二元信號檢測中，把整個觀測空間R劃分為R0和R1兩個子空間，稱為判決域。判決準則2023/2/535SDE_16信號檢測理論綜述

M元信號檢測中，信源有M種可能的輸出信號狀態(tài)，分別記為Hj,(j=0,1,2,……,M-1)。在噪聲的干擾背景中，信源的每種輸出信號經(jīng)過概率轉(zhuǎn)移機構(gòu)生成隨機觀測量。M元信號檢測的判決域R6R0R1R2R3R4R5第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念M元信號檢測理論模型2023/2/536SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念判決假設H0H1H0（H0|H0）（H1|H1）H1（H1|H0）（H0|H1）二元信號的判決結(jié)果。對于二元假設檢驗，判決結(jié)果必然是下面四中情況之一：(1)假設H0為真，判決假設H0成立，記為（H0|H0）；正確判斷(2)假設H0為真，判決假設H1成立，記為（H1|H0）；錯誤判斷(3)假設H1為真，判決假設H0成立，記為（H0|H1）；錯誤判斷(4)假設H1為真，判決假設H1成立，記為（H1|H1）；正確判斷二元信號的判決情況2023/2/537SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念判決假設H0H1H0P（H0|H0）P（H0|H1）H1P（H1|H0）P（H1|H1）P(Hi|Hj)含義：在假設Hj為真的條件下，判決假設Hi成立的概率。假設觀測量落在Ri域判決Hi成立，則有二元信號的判決概率2023/2/538SDE_16信號檢測理論綜述x0P(n)+AxP(x|H1)-AxP(x|H0)舉例說明，當N=1時。二元信號的概率分布2023/2/539SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念x+AP(x|H1)-AP(x|H0)P(H1|H0)x0R1R0P(H0|H1)二元信號檢測的判決域劃分與判決概率2023/2/540SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.2假設檢測的基本概念P(Hi|Hj)含義：在假設Hj為真的條件下，判決假設Hi成立的概率。假設觀測量落在Ri域判決Hi成立，則有顯然將有M2種判決結(jié)果，其中只有M種判決是正確的。小結(jié)：為了獲得某種意義上的最佳檢測結(jié)果，需正確劃分觀測空間R中各個判決域Ri(i=0,1,2,…,M-1）。問題：需要尋求最佳檢測準則，獲得最佳檢測結(jié)果。M元信號的情況2023/2/541SDE_16信號檢測理論綜述貝葉斯準則（Bayes)極小化極大準則（minimax)奈曼-皮爾遜準則（Neymann-Pearson)……3.3貝葉斯準則（BayesCriterion)貝葉斯準則：就是在假設Hj的先驗概率P(Hj)已知，各種判決代價因子Cij給定的情況下，使平均代價C最小的準則。1.概念代價因子Cij：表示假設Hj為真時，判決假設Hi成立所付出的代價。約束條件C10>C00，C01>C11。常用的信號檢測準則2023/2/542SDE_16信號檢測理論綜述假設Hj為真時判決所付出的條件平均代價為若Hj為真的概率P(Hj

)已知，則判決所付出的總平均代價（也稱為平均風險）為貝葉斯準則：平均代價C的表達式2023/2/543SDE_16信號檢測理論綜述整理得：固定平均代價q(x)2023/2/544SDE_16信號檢測理論綜述根據(jù)Bayes準則，應使C最小。判決域劃分:在R0域內(nèi)，q(x)<0.Bayes判決準則：即LRT其中：λ(x)稱為似然比函數(shù)，η稱為似然比檢測門限。說明：似然比檢驗（LRT：likelihoodRatioTest)是似然比函數(shù)λ(x）于與檢測門限η進行比較，λ(x）是一個依賴于觀測量x的函數(shù)，因此是一個檢驗統(tǒng)計量。2023/2/545SDE_16信號檢測理論綜述簡化形式：如果似然函數(shù)含有指數(shù)形式，可以簡化判決準則，即簡化的貝葉斯準則為似然判決器λ(x）計算器判決器xkη2023/2/546SDE_16信號檢測理論綜述對數(shù)似然判決器lnλ(x）計算器判決器xkη2023/2/547SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.3貝葉斯準則例題：在二元數(shù)字通信系統(tǒng)中，假設為H1時，信源輸出為正電壓A，假設為H0時，信源輸出為零電平。信號在通信信道傳輸過程中疊加了高斯噪聲n(t)；每種信源的持續(xù)時間為T，在接收端對接收到的信號x(t)在T時間內(nèi)進行N次獨立采樣，樣本為xk（k=1,2,…,N)。已知噪聲樣本nk是均值為零、方差為σn2的高斯噪聲。（1)試建立信號檢測系統(tǒng)的信號模型；（2）若似然檢測門限已知，確定似然比檢驗的判決表達式；（3）計算判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)。貝葉斯準則Ex1.2023/2/548SDE_16信號檢測理論綜述解：（1）接收信號模型為：解：（1）接收信號模型為：在（0，T）內(nèi)進行N次獨立采樣后，接收信號模型為：其中xk

之間相互獨立。2023/2/549SDE_16信號檢測理論綜述（2）已知在兩種假設情況下，似然函數(shù)為：由于N次采樣的樣本xk

之間是獨立同分布（iid)的，所以2023/2/550SDE_16信號檢測理論綜述這樣，似然比函數(shù)為似然比函數(shù)檢驗（LRT）為2023/2/551SDE_16信號檢測理論綜述取對數(shù)進一步整理得（3）檢驗統(tǒng)計量是N個信號的平均值，它是xk（k=1,2,…,N)的函數(shù)，是個隨機變量。說明：由于N次采樣的樣本xk之間是獨立同分布（iid)的，因此l(x)在兩種假設情況下均服從高斯分布，均值和方差計算過程如下。2023/2/552SDE_16信號檢測理論綜述假設H0情況下，均值和方差分別為：假設H1情況下，同樣的方法計算均值和方差為：2023/2/553SDE_16信號檢測理論綜述用l表示l(x)，有根據(jù)判決準則，2023/2/554SDE_16信號檢測理論綜述解畢。2023/2/555SDE_16信號檢測理論綜述例題：設二元假設檢驗的觀測信號模型為其中n為均值為零，方差為0.5的高斯觀測噪聲。若兩種假設是等先驗概率的，代價因子分別為試求最佳（貝葉斯）判決表示式和平均代價C。貝葉斯準則Ex22023/2/556SDE_16信號檢測理論綜述解：似然比檢測門限為2023/2/557SDE_16信號檢測理論綜述Bayes判決表示式為兩邊取對數(shù)，得顯然似然比函數(shù)服從高斯分布，令l(x)=x在兩種假設下，有2023/2/558SDE_16信號檢測理論綜述說明：如果調(diào)整檢測門限偏離了-0.1733，則計算出的C均大于1.8269，這從側(cè)面驗證了貝葉斯準則的卻能使平均代價最小。2023/2/559SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論概念：在對各假設的先驗概率P(Hj)和各種判決的代價因子Cij進行約束的條件下，將會得到它的派生準則。本節(jié)主要討論二元信號情況下，貝葉斯派生的幾種準則。1.最小平均錯誤概率準則派生過程：當C00=C11=0，C10=C01=1時，平均代價為派生貝葉斯準則2023/2/560SDE_16信號檢測理論綜述最小平均錯誤概率準則：使平均錯誤概率最小的準則。（minimummeanprobabilityoferrorcriterion)類似于貝葉斯準則的分析方法，Pe表示為為了使Pe最小，將所有滿足q(x)<0的x劃歸R0域，判決假設H0成立。q(x)這樣，所有滿足q(x)>0的劃歸R1域，判決假設H1成立。2023/2/561SDE_16信號檢測理論綜述此時，LRT（似然比判決）式為LRT式的簡化形式為2023/2/562SDE_16信號檢測理論綜述2.最大似然準則(maximumlikelihoodcriterion)派生過程：當C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5LRT為說明：最小平均錯誤概率準則和最大似然準則都是貝葉斯準則特例。2023/2/563SDE_16信號檢測理論綜述例：在OOK通信系統(tǒng)中，兩個假設下的觀測信號模型為其中，觀測噪聲n~N(0,σn2)；信號A是常數(shù)，且A>0。若兩個假設的先驗概率P(Hj)相等，代價因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用最小平均錯誤概率準則，確定判決表示式，并求平均錯誤概率。解：在兩個假設下，觀測量x的概率密度函數(shù)分別為2023/2/564SDE_16信號檢測理論綜述因為C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5經(jīng)過化簡整理得此時檢驗統(tǒng)計量l(x)=x。有2023/2/565SDE_16信號檢測理論綜述根據(jù)檢測準則，判決門限為A/2，所以兩種錯誤檢測概率為：2023/2/566SDE_16信號檢測理論綜述這樣平均錯誤概率為說明：顯然信噪比越高，平均錯誤概率就越小，檢測性能就越好。2023/2/567SDE_16信號檢測理論綜述3.最大后驗概率準則(maximumaposteriorprobabilitycriterion)派生過程：當C10-C00=C01-C11時，判決準則表達式為貝葉斯準則等價表示為2023/2/568SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.4派生貝葉斯準則說明：在已知觀測量x條件下,假設H1和H2為真的概率稱為后驗概率。2023/2/569SDE_16信號檢測理論綜述4.極小化極大準則貝葉斯準則應用條件：給定代價因子和先驗概率。貝葉斯準則問題：當給定代價因子，而先驗概率未知，此時判決門限η=η[P(H0)]是P(H0）的函數(shù)，如何檢測？解決方法：當給定代價因子，而先驗概率未知時，采用極小化極大準則。2023/2/570SDE_16信號檢測理論綜述為了描述方便，現(xiàn)將有關符號改記如下：平均代價為：當代價因子確定，而先驗概率未知，此時判決門限η是P1的函數(shù)，即η=η(P1)，則PF和PM也是P1的函數(shù)，整理C得：虛警概率：漏報概率：2023/2/571SDE_16信號檢測理論綜述說明：可以證明，當似然比λ(x)

是嚴格單調(diào)的概率分布隨機變量時，貝葉斯平均代價C是P1的上凸函數(shù)。如圖中曲線a所示。平均代價C與P1的關系曲線分析：P1未知，為了仍能采用貝葉斯準則，只能假設一個先驗概率P1g，得到貝葉斯準則的似然判決門限η=η（P1g），由此可以計算獲得PM(P1g)和PF(P1g)

。

0P1gP1g*

1P1C(P1)aCmin2023/2/572SDE_16信號檢測理論綜述平均代價C與P1的關系曲線C(P1)a0P1gP1g*

P111P1b分析：此時的平均代價與實際的先驗概率之間的關系是一條直線，如圖中曲線b所示。從圖中可以觀察到，除了P1g點外，其他的P1處b曲線的值均大于a曲線的值。

如P1=P11時，實際的平均代價遠大于最小平均代價Cmin。Cmin此時的平均代價有如關系：問題：既然無法預測P1g與實際的P1之間偏差的大小，如何避免產(chǎn)生過分大的代價？2023/2/573SDE_16信號檢測理論綜述問題：既然無法預測P1g與實際的P1之間偏差的大小，如何避免產(chǎn)生過分大的代價？解決辦法：使猜測先驗概率為P1g*

，獲得的平均代價曲線如c所示。雖然此處貝葉斯準則的平均代價最大，但此時無論實際的先驗概率P1與P1g

*有多大的偏差，平均代價都等于Cminmax，不會產(chǎn)生更大的代價。

平均代價C與P1的關系曲線C(P1)a0P1gP1g*

P111P1bCminCminmaxc2023/2/574SDE_16信號檢測理論綜述P1g*的求解方法如下。令整理得這就是極小化極大準則的極小化極大方程。解方程就可求得P1g

*，從而得到似然比門限η*。此時的平均代價：2023/2/575SDE_16信號檢測理論綜述近一步分析。此時極小化極大代價就是平均錯誤概率。（極小化極大方程）（極小化極大方程）2023/2/576SDE_16信號檢測理論綜述例2：在OOK通信系統(tǒng)中，兩個假設下的觀測信號模型為其中，觀測噪聲n~N（0，σn2）;信號A是常數(shù)，且A>0。若兩個假設的先驗概率P(Hj)未知，代價因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用極小化極大準則，試確定檢測門限和平均錯誤概率。解：在兩個假設下，觀測量x的概率密度函數(shù)分別為2023/2/577SDE_16信號檢測理論綜述似然比函數(shù)為假設判決門限為η，則化簡得顯然，檢驗統(tǒng)計量l(x)=x.2023/2/578SDE_16信號檢測理論綜述因為C00=C11=0，C10=C01=1，X在兩種假設情況均服從高斯分布，根據(jù)判決準則，有此時極小化極大方程為：PF=PM，2023/2/579SDE_16信號檢測理論綜述即極小化極大方程為解得此時平均錯誤概率式中2023/2/580SDE_16信號檢測理論綜述分析：

Cij未知，P(Hi)未知，判決門限無法確定。此時人們最關心的是判決概率

P（H1|H0）和P（H1|H1）。(1)奈曼-皮爾遜準則的概念希望：P（H1|H0）小，P（H1|H1）大。奈曼-皮爾遜準則

Neyman-PearsonCriterion\N-P2023/2/581SDE_16信號檢測理論綜述xxP(x|Hj)P(x|H1)P(x|H0)R1R0P(H1|H1)P(H1|H0)P(x|H1)P(x|H0)η2023/2/582SDE_16信號檢測理論綜述N-P準則：在錯誤概率PF=P(H1|H0)=α

的約束條件下，使正確判決概率P(H1|H1)=最大的準則。N-P準則應用：雷達、聲納等信號的檢測問題。PF=P(H1|H0)也稱為虛警概率；PD=P(H1|H1)也稱為檢測概率。(2)奈曼-皮爾遜準則存在的說明說明：原則上判決域R0和R1有無限多種劃分的方法，他們都可以在保證錯誤概率PF一定，但是他們的檢測概率卻是不同的。2023/2/583SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.4派生貝葉斯準則xP(x|H1)P(x|H0)R1R0P(H1|H1)方法一P(H1|H0)P(H1|H0)P(x|H0)R1R02023/2/584SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.4派生貝葉斯準則方法三P(H1|H0)問題：在虛警概率PF=

P(H1|H0)相同的情況下，不同的判決準則將得到不同大小的檢測概率PD。如何獲得最大的PD？P(x|H0)R1R0R02023/2/585SDE_16信號檢測理論綜述(3)奈曼-皮爾遜準則的判決表達式目標：P(H1|H0)=α

，P(H1|H1)=最大，即J=P(H0|H1)最小。利用拉格朗日（Largrange)乘子μ（μ≥0），構(gòu)造目標函數(shù)

固定、非負

q(x)分析：要使J最小，將x滿足q(x)<0的部分劃給R0域，其余給R1。第三章信號檢測的基本理論3.4派生貝葉斯準則2023/2/586SDE_16信號檢測理論綜述似然比檢驗的形式為為了滿足P(H1|H0)=α

約束條件，選擇的μ需要滿足即解上面方程，可以求出判決門限μ。說明：實現(xiàn)過程中需要分析檢測統(tǒng)計量的分布特征。2023/2/587SDE_16信號檢測理論綜述奈曼-皮爾遜（N-P）準則與Bayes準則之間的關系：貝葉斯準則顯然，當N-P準則Bayes準則就變成了N-P準則。小結(jié)：奈曼-皮爾遜（N-P）準則是貝葉斯準則的特例。2023/2/588SDE_16信號檢測理論綜述例3：在二元數(shù)字通信系統(tǒng)中，假設為H1時信源輸出為1，假設為H0時信源輸出為0，信號在通信信道上傳輸時疊加了均值為零、方差為1的高斯噪聲。試構(gòu)造一個P（H1|H0）=0.1的N-P接收機。解：已知α＝0.1因為噪聲n服從N（0，1）用x表示接收信號，n表示噪聲，則兩種假設情況下接收信號2023/2/589SDE_16信號檢測理論綜述似然比為化簡為檢驗統(tǒng)計量為x。當約束條件滿足時，有解得2023/2/590SDE_16信號檢測理論綜述檢驗概率為P(x|Hj)P(l|H1)P(l|H0)11.29P(H1|H1)2023/2/591SDE_16信號檢測理論綜述（1）Cij和P(Hi)均已知,采用Bayes準則；（3）P(Hi)=0.5，C00=C11=0，C10=C01=1，最大似然概率準則；（4）P(Hi)未知，C00-C11=C10-C01，最大后驗概率準則；（5）Cij已知，P(Hi)未知,采用極小化極大準則；（2）P(Hi)已知，C00=C11=0，C10=C01=1，采用的最小平均錯誤概率準則。（6）Cij未知，P(Hi)未知,采用N-P準則，但需有其他條件。二元信號檢測判決準則小結(jié)2023/2/592SDE_16信號檢測理論綜述第三章信號檢測的基本理論3.5假設檢驗的性能假設檢驗的性能—小結(jié)：不論那種準則，其檢驗性能的優(yōu)劣都體現(xiàn)在虛警概率PF和檢測概率PD上。P(l|H1)P(l|H0)PDP(l|H1)P(l|H0)PF接收機的工作特性2023/2/593SDE_16信號檢測理論綜述說明：經(jīng)過計算我們發(fā)現(xiàn)，雖然觀測空間R中的隨機變量x的類型有所不同，但是接收機的工作特性（ROC：ReceiverOperatingCharacteristic）總是具有相似的形狀，如圖所示。11PFPDSNR增加門限η增加0η=0η=∞SNR=0小結(jié)：接收機工作特性（ROC）是似然檢驗性能的完整描述。接收機工作特性（ROC）如：對于N-P準則，給定了PF=α，則其解就是PF=α的直線與SNR=d1工作特性曲線的交點c,該點對應的PD就是PF=α約束條件下，SNR=d1時的檢測概率。d1αc2023/2/594SDE_16信號檢測理論綜述信源有M個可能的輸出時，每個可能對應一個假設。顯然，對于M種假設，收端共有M2種可能的情況，其中有M種是正確檢測，其余M2-M=M(M-1)是錯誤判決。H0H1H2…HM-1H0