高中數(shù)學(xué)人教A版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)章末綜合測評3

章末綜合測評（三）函數(shù)的應(yīng)用(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)()A．至多有一個交點 B．必有唯一個交點C．至少有一個交點 D．沒有交點【解析】∵f(a)f(b)＜0，∴f(a)與f(b)異號，即f(a)＞0，f(b)＜0；或者f(a)＜0，f(b)＞0，顯然，在[a，b]內(nèi)必有一點，使得f(x)＝0.又f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，所以這樣的點只有一個，故選B.【答案】B2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)內(nèi)有解，則y＝f(x)的圖象是()【解析】A：與直線y＝2交點是(0,2)，不符合題意，故不正確；B：與直線y＝2無交點，不符合題意，故不正確；C：與直線y＝2在區(qū)間(0，＋∞)上有交點，不符合題意，故不正確；D：與直線y＝2在(－∞，0)上有交點，故正確．故選D.【答案】D3．已知下列四個函數(shù)圖象，其中能用“二分法”求出函數(shù)零點的是()【解析】由二分法的定義與原理知A選項正確．【答案】A4．2023年全球經(jīng)濟開始轉(zhuǎn)暖，據(jù)統(tǒng)計某地區(qū)1月、2月、3月的用工人數(shù)分別為萬，萬和萬，則該地區(qū)這三個月的用工人數(shù)y萬人關(guān)于月數(shù)x的函數(shù)關(guān)系近似的是()A．y＝ B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝＋log16x【解析】當(dāng)x＝1時，否定B；當(dāng)x＝2時，否定D；當(dāng)x＝3時，否定A，故選C.【答案】C5．向高為H的水瓶以等速注水，注滿為止，若水量V與水深h的函數(shù)的圖象如圖1所示，則水瓶的形狀可能為()【導(dǎo)學(xué)號：97030147】圖1【解析】由水量V與水深h的函數(shù)的圖象，可知隨著h的增加，水量V增加的越來越快，則對應(yīng)的水瓶應(yīng)該是上底面半徑大于下底面半徑的圓臺型，故選A.【答案】A6．?dāng)M定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費由f(m)＝×[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(例如[]＝3，[]＝4，[]＝4)，則從甲地到乙地通話時間為分鐘的電話費為()元．A． B．C． D．【解析】由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)，可得[]＝6，所以f＝××6＋1)＝×4＝.故選C.【答案】C7．函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)的零點個數(shù)為()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】∵函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)的零點個數(shù)即為f(x)＝0的根的個數(shù)，∴f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)＝0，即(x－1)ln(－x)＝0，∴x－1＝0或ln(－x)＝0，∴x＝1或x＝－1，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x>0,x－3≠0，))解得x＜0，∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＜0}，∴x＝－1，即方程f(x)＝0只有一個根，∴函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1ln－x,x－3)的零點個數(shù)為1個．故選A.【答案】A8．函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【解析】由已知可知，函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2單調(diào)遞增且連續(xù)，∵f(－2)＝－eq\f(26,9)<0，f(－1)＝－eq\f(13,6)＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝eq\f(3,2)>0，∴f(0)·f(1)＜0，由函數(shù)的零點判定定理可知，函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(1,2)x－2的一個零點所在的區(qū)間是(0,1)，故選C.【答案】C9．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根所在的區(qū)間是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)【解析】由于f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，則f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0.故方程的兩根分別在區(qū)間(－3，－1)和(2,4)內(nèi)．【答案】A10．某商店計劃投入資金20萬元經(jīng)銷甲或乙兩種商品，已知經(jīng)銷甲商品與乙商品所獲得的利潤分別為P(萬元)和Q(萬元)，且它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系是：P＝eq\f(x,4)，Q＝eq\f(a,2)eq\r(x)(a>0)；若不管資金如何投放，經(jīng)銷這兩種商品或其中的一種商品所獲得的純利潤總不少于5萬元，則a的最小值應(yīng)為()\r(5) B．5C．±eq\r(5) D．－eq\r(5)【解析】設(shè)投放x萬元經(jīng)銷甲商品，則經(jīng)銷乙商品投放(20－x)萬元，總利潤y＝P＋Q＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,2)·eq\r(20－x)，令y≥5，則eq\f(x,4)＋eq\f(a,2)·eq\r(20－x)≥5.∴aeq\r(20－x)≥10－eq\f(x,2)，即a≥eq\f(1,2)eq\r(20－x)對0≤x<20恒成立，而f(x)＝eq\f(1,2)eq\r(20－x)的最大值為eq\r(5)，且x＝20時，aeq\r(20－x)≥10－eq\f(x,2)也成立，∴amin＝eq\r(5).【答案】A11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，若實數(shù)x0是函數(shù)f(x)的零點，且0<x1<x0，則f(x1)的值為()【導(dǎo)學(xué)號：97030148】A．恒為正值 B．等于0C．恒為負值 D．不大于0【解析】∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(x0)＝0，∴當(dāng)x∈(0，x0)時，均有f(x)>0，而0<x1<x0，∴f(x1)>0.【答案】A12．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝－(x－1)2＋1，滿足f[f(a)]＝eq\f(1,2)的實數(shù)a的個數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8【解析】令f(a)＝x，則f[f(a)]＝eq\f(1,2)變形為f(x)＝eq\f(1,2)；當(dāng)x≥0時，f(x)＝－(x－1)2＋1＝eq\f(1,2)，解得x1＝1＋eq\f(\r(2),2)，x2＝1－eq\f(\r(2),2)；∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，f(x)＝eq\f(1,2)的解為x3＝－1－eq\f(\r(2),2)，x4＝－1＋eq\f(\r(2),2)；綜上所述，f(a)＝1＋eq\f(\r(2),2)，1－eq\f(\r(2),2)，－1－eq\f(\r(2),2)，－1＋eq\f(\r(2),2)；當(dāng)a≥0時，f(a)＝－(a－1)2＋1＝1＋eq\f(\r(2),2)，方程無解；f(a)＝－(a－1)2＋1＝1－eq\f(\r(2),2)，方程有2解；f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1－eq\f(\r(2),2)，方程有1解；f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1＋eq\f(\r(2),2)，方程有1解．故當(dāng)a≥0時，方程f(a)＝x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a＜0時，方程f(a)＝x也有4解，綜上所述，滿足f[f(a)]＝eq\f(1,2)的實數(shù)a的個數(shù)為8，故選D.【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．如果函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個零點為0，則另一個零點是________．【解析】函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個零點為0，則f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，則f(x)＝x2－3x，于是另一個零點是3.【答案】314．已知長為4，寬為3的矩形，當(dāng)長增加x，寬減少eq\f(x,2)時，面積達到最大，此時x的值為________．【解析】由題意，S＝(4＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))，即S＝－eq\f(1,2)x2＋x＋12，∴當(dāng)x＝1時，S最大．【答案】115．將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個．若每個漲價1元，則日銷售量減少10個．為獲得最大利潤，則此商品日銷售價應(yīng)定為每個________元．【解析】設(shè)每個漲價x元，則實際銷售價為10＋x元，銷售的個數(shù)為100－10x，則利潤為y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，當(dāng)x＝4，即售價定為每個14元時，利潤最大．【答案】1416．給出下列五個命題：①函數(shù)y＝f(x)，x∈R的圖象與直線x＝a可能有兩個不同的交點；②函數(shù)y＝log2x2與函數(shù)y＝2log2x是相等函數(shù)；③對于指數(shù)函數(shù)y＝2x與冪函數(shù)y＝x2，總存在x0，當(dāng)x＞x0時，有2x＞x2成立；④對于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)＜0，則f(x)在(a，b)內(nèi)有零點；⑤已知x1是方程x＋lgx＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，則x1＋x2＝5.其中正確的序號是________．【解析】對于①，函數(shù)表示每個輸入值對應(yīng)唯一輸出值的一種對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)定義進行判定即可判斷①錯；對于②，函數(shù)y＝log2x2與函數(shù)y＝2log2x的定義域不等，故不是相等函數(shù)，故②錯；對于③，當(dāng)x0取大于等于4的值都可使當(dāng)x＞x0時，有2x＞x2成立，故③正確；對于④，只有函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，同時f(a)·f(b)＜0，則f(x)在(a，b)內(nèi)有零點．故④錯；對于⑤，∵x＋lgx＝5，∴l(xiāng)gx＝5－x.∵x＋10x＝5，∴10x＝5－x，∴l(xiāng)g(5－x)＝x.如果做變量代換y＝5－x，則lgy＝5－y，∵x1是方程x＋lgx＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，∴x1＝5－x2，∴x1＋x2＝5.故正確．【答案】③⑤三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f(1,2)x2－2，試利用基本初等函數(shù)的圖象，判斷f(x)有幾個零點，并利用零點存在性定理確定各零點所在的區(qū)間(各區(qū)間長度不超過1)．【解】令y1＝x－1，y2＝－eq\f(1,2)x2＋2，在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出它們的圖象(如圖所示)，其中拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,2)，與x軸的交點分別為(－2,0)，(2,0)，y1與y2的圖象有3個交點，從而函數(shù)f(x)有3個零點．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的圖象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分別是連續(xù)不斷的曲線，且f(－3)＝eq\f(13,6)>0，f(－2)＝－eq\f(1,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,8)>0，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝eq\f(1,2)>0，即f(－3)·f(－2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，∴3個零點分別在區(qū)間(－3，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，(1,2)內(nèi)．18．(本小題滿分12分)定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0]上遞增，函數(shù)f(x)的一個零點為－eq\f(1,2)，求滿足f(logeq\f(1,4)x)≥0的x的取值集合.【導(dǎo)學(xué)號：97030149】【解】∵－eq\f(1,2)是函數(shù)的一個零點，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.∵y＝f(x)是偶函數(shù)且在(－∞，0]上遞增，∴當(dāng)logeq\f(1,4)x≤0，解得x≥1，當(dāng)logeq\f(1,4)x≥－eq\f(1,2)，解得x≤2，所以1≤x≤2.由對稱性可知，當(dāng)logeq\f(1,4)x＞0時，eq\f(1,2)≤x＜1.綜上所述，x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).19．(本小題滿分12分)燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(Q,10)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位；(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？【解】(1)由題知，當(dāng)燕子靜止時，它的速度v＝0，代入題給公式可得：0＝5log2eq\f(Q,10)，解得Q＝10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位．(2)將耗氧量Q＝80代入題給公式得：v＝5log2eq\f(80,10)＝5log28＝15(m/s)．即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度為15m/s.20．(本小題滿分12分)如圖2，直角梯形OABC位于直線x＝t右側(cè)的圖形的面積為f(t)．圖2(1)試求函數(shù)f(t)的解析式；(2)畫出函數(shù)y＝f(t)的圖象.【導(dǎo)學(xué)號：97030150】【解】(1)當(dāng)0≤t≤2時，f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝eq\f(3＋5×2,2)－eq\f(1,2)t·t＝8－eq\f(1,2)t2，當(dāng)2<t≤5時，f(t)＝S矩形DEBC＝DE·DC＝2(5－t)＝10－2t，所以f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－\f(1,2)t2，0≤t≤2，,10－2t，2<t≤5.))(2)函數(shù)f(t)圖象如圖所示．21．(本小題滿分12分)某市居民自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為元，當(dāng)用水超過4噸時，超過部分每噸元，某月甲、乙兩戶共交水費y元．已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x,3x噸．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)如甲、乙兩戶該月共交水費元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．【解】(1)當(dāng)甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，y＝(5x＋3x)×＝；當(dāng)甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時，即3x≤4且5x＞4，y＝4×＋3x×＋3×(5x－4)＝－.當(dāng)乙的用水量超過4噸時，即3x＞4，y＝8×＋3(8x－8)＝24x－，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,5)))，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)＜x≤\f(4,3)))，,24x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(4,3))).))(2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))時，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＜；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\