高中數(shù)學蘇教版第二章平面向量 章末知識整合

章末知識整合專題一平面向量的線性運算[例1]e1，e2是不共線的向量，已知向量eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，求k的值．分析：因為A，B，D三點共線，所以存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→))，可由已知條件表示出eq\o(BD,\s\up13(→))，由向量相等得到關(guān)于λ，k的方程組，求得k值．解：eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1－4e2.因為A，B，D三點共線，故存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→)).所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k＝－8.規(guī)律方法向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算，通常叫作向量的線性運算，運用它們的運算法則、運算律，可以解決三點共線、兩線段平行、線段相等、求點的坐標等問題．利用向量的相等及向量共線的充要條件是將向量問題實數(shù)化的根據(jù)，是解決問題的關(guān)鍵．[變式訓練]以向量eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b為鄰邊作平行四邊形OADB，C為AB與OD的交點，eq\o(BM,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))，eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→)).若eq\o(MN,\s\up13(→))＝λa＋μb，求λ＋μ的值．解：如圖所示，eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,6)(a＋b)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，eq\o(MC,\s\up13(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a－b)，eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(MC,\s\up13(→))＋eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a－b)＋eq\f(1,6)(a＋b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.又eq\o(MN,\s\up13(→))＝λa＋μb，由平面向量的基本定理，λ＝eq\f(1,2)，μ＝－eq\f(1,6).因此λ＋μ＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).專題二向量的坐標運算[例2]已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(AB,\s\up13(→)).(1)當t為何值時，P在x軸上？在y軸上？在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由．分析：(1)將eq\o(OP,\s\up13(→))的坐標用t表示出來，然后討論eq\o(OP,\s\up13(→))的橫、縱坐標．(2)若能成為平行四邊形，則有eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→))，解出t的值；若t無解，則不能構(gòu)成平行四邊形．解：(1)因為eq\o(OA,\s\up13(→))＝(1，2)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(3，3)，所以eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(AB,\s\up13(→))＝(1＋3t，2＋3t)．若點P在x軸上，則2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若點P在y軸上，則1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若點P在第二象限，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0.))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)因為eq\o(OA,\s\up13(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up13(→))＝eq\o(PO,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝(3－3t，3－3t)，若四邊形OABP為平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→)).又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2))無解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形．規(guī)律方法向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標表示，向量的運算完全化為代數(shù)運算，達到了數(shù)與形的統(tǒng)一．運用向量的坐標運算主要可以解決求向量的坐標、向量的模，判斷共線、平行等問題．[變式訓練]已知點A(3，－4)與點B(－1，2)，點P在直線AB上，且|eq\o(AP,\s\up13(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up13(→))|，求點P的坐標．解：設點P的坐標為(x，y)，|eq\o(AP,\s\up13(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up13(→))|.當P在線段AB上時，eq\o(AP,\s\up13(→))＝2eq\o(PB,\s\up13(→)).所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0.))所以點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)).當點P在線段AB延長線上時，eq\o(AP,\s\up13(→))＝－2eq\o(PB,\s\up13(→)).所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8.))綜上所述，點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5，8)．專題三平面向量的數(shù)量積[例3]設0＜|a|≤2，且函數(shù)f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值為0，最小值為－4，且a與b的夾角為45°，求|a＋b|.分析：要求|a＋b|需知道|a|，|b|，故可利用函數(shù)的最值確立|a|，|b|的值．解：f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(|a|,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(|a|2,4)－|b|＋1.因為0＜|a|≤2，所以當sinx＝－eq\f(|a|,2)時，eq\f(1,4)|a|2－|b|＋1＝0；當sinx＝1時，－|a|－|b|＝－4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)|a|2－|b|＋1＝0，,－|a|－|b|＝－4))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝2，,|b|＝2.))所以|a＋b|2＝8＋4eq\r(2)，即|a＋b|＝2eq\r(2＋\r(2)).規(guī)律方法平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，通過向量的數(shù)量積考查向量的平行、垂直等關(guān)系，利用數(shù)量積可以計算向量的夾角、長度等．對數(shù)量積的正確理解及其性質(zhì)的靈活應用是解決這類問題的關(guān)鍵．[變式訓練](2023·重慶卷)若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()\f(π,4)\f(π,2)\f(3π,4)D．π解析：因為(a－b)⊥(3a＋2b)所以(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b因為|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，設〈a，b〉＝θ，則3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，所以eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2·cosθ－2|b|2＝0.所以cosθ＝eq\f(\r(2),2).又因為0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,4).答案：A專題四平面向量的應用[例4]如圖所示，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向外作正方形ABGF，ACDE，M為BC的中點，求證：AM⊥EF.分析：要證AM⊥EF，只需證明eq\o(AM,\s\up13(→))·eq\o(EF,\s\up13(→))＝0.將eq\o(AM,\s\up13(→))用eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))表示，eq\o(EF,\s\up13(→))用eq\o(AE,\s\up13(→))，eq\o(AF,\s\up13(→))表示，然后通過向量運算證明．證明：因為M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AE,\s\up13(→)).所以eq\o(AM,\s\up13(→))·eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))·(eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(0＋eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→))－0)＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)[|eq\o(AC,\s\up13(→))||eq\o(AB,\s\up13(→))|cos(90°＋∠BAC)－|eq\o(AB,\s\up13(→))||eq\o(AC,\s\up13(→))|cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以eq\o(AM,\s\up13(→))⊥eq\o(EF,\s\up13(→))，即AM⊥EF.規(guī)律方法平面向量的應用主要體現(xiàn)在兩個方面：一是在平面幾何中的應用，向量的加法運算和全等、平行、數(shù)乘向量和相似，距離、夾角和向量的數(shù)量積之間有密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題．解決問題的關(guān)鍵是恰當?shù)匾胂蛄?，通過向量運算，解釋幾何性質(zhì)．二是在物理中的應用，主要解決力、位移、速度等問題．解題的關(guān)鍵在于運用向量的觀點將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并建立相應的數(shù)學模型．[變式訓練]如圖所示，在平面斜坐標xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一點P關(guān)于斜坐標系的坐標是這樣定義的：若eq\o(OP,\s\up13(→))＝xe1＋ye2(其中e1，e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量)，則點P的斜坐標為(x，y)．(1)若點P的斜坐標為(2