《相似理論》講義2003

§1引言.................................................................................................................................................................2一、理論分析法...............................................................................................................................................2二、試驗方法...................................................................................................................................................2§2物理現(xiàn)象的數(shù)學描述單值條件.....................................................................................................................3§3相似的概念.......................................................................................................................................................4一、幾何相似...................................................................................................................................................4二、運動相似...................................................................................................................................................4三、力相似：...................................................................................................................................................5§4相似第一定理（相似性質(zhì)）...........................................................................................................................5一、相似指標...................................................................................................................................................5二、相似準則：...............................................................................................................................................6三、相似第一定理...........................................................................................................................................7§5相似第二定理（相似條件）.............................................................................................................................7§6相似第三定理.....................................................................................................................................................8§7方程分析法求相似準則...................................................................................................................................9一、相似轉(zhuǎn)換法...............................................................................................................................................9二、積分類比法..............................................................................................................................................11三、相似函數(shù)和非相似函.............................................................................................................................12§8因次分析法求相似準則.................................................................................................................................14一、因次的概念：.........................................................................................................................................14二、因次分析法求相似準則.........................................................................................................................15三、獨立相似準則的完整集合.....................................................................................................................16四、用矩陣求相似準則（因次分析法求相似準則的規(guī)格化）..................................................................18§9相似準則形式的選擇和試驗數(shù)據(jù)的處理.....................................................................................................22一、相似準則的轉(zhuǎn)換.....................................................................................................................................22二、試驗數(shù)據(jù)的處理.....................................................................................................................................22§10模型試驗的局限；近似模型試驗...............................................................................................................231相似理論——模型試驗的理論基礎(chǔ)§1引言人們研究自然現(xiàn)象的規(guī)律的方法,概括起來有兩種：理論分析法（數(shù)學分析法）和實驗方法。這兩種方法不是截然分開的。理論分析是建立在前人根據(jù)試驗得到的基本定律的基礎(chǔ)上，實驗方法中也離不開理論分析。一、理論分析法理論分析法是在自然科學的各種定律基礎(chǔ)上， 以數(shù)學為主要工具， 把自然規(guī)律（各物理量之間的關(guān)系）用數(shù)學方程式表達出來。對于運動看，變化著的現(xiàn)象，將其中的某一微元抽出來進行分析，建立起微分方程，給出邊界條件、初始條件，這個方程的解就是表征現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系式。這種方法的優(yōu)點是嚴格，準確，通用性強。這種方法的缺點是：①對于復(fù)雜的微分方程，求解往往是非常困難的； ②對于很多錯綜復(fù)雜的現(xiàn)象，甚至不能列出微分方程。這些缺點使理論分析受到局限。二、試驗方法1）直接試驗直接試驗就是用原型進行試驗。其優(yōu)點是直觀。但是，①試驗結(jié)果只能應(yīng)用于完全相同的現(xiàn)象，推廣受到局限；②對于有些現(xiàn)象無法進行直接試驗 ,如還沒有建造出的設(shè)備設(shè)施、 對于已建造出的設(shè)備但受到條件的限制（尺寸太大或太小，溫度、壓力的限制）、對造價高的設(shè)備作破壞性試驗、一些不常發(fā)生的自然現(xiàn)象（如地震）等，都是難于應(yīng)用直接試驗法的。2）模型試驗?zāi)Ｐ驮囼炇峭ㄟ^模型來研究原型。 模型應(yīng)該根據(jù)需要， 在形態(tài)、工作規(guī)律、信息傳遞規(guī)律和原型相似。模型分類：a．參觀用模型——供參觀、教學用。一般僅保持外形、活動狀態(tài)的相似。b．定性分析用的簡易模型——它體現(xiàn)設(shè)想，幫助構(gòu)思，供分析討論用。一般僅保持外形、活動狀態(tài)相似。c．定量研究用的模型——分物理模型和數(shù)學模型。物理模型是供研究某種現(xiàn)象用的模型。它保持工作規(guī)律相似，物理本質(zhì)不變，與原型比較僅是物理量大小比例不同。數(shù)學模型是供研究某系統(tǒng)在改變輸入信息后，工作過程的變化的模型。它保持信息傳遞規(guī)律相似。它和原型所進行的物理過程本質(zhì)不同，但信息傳遞按同一規(guī)律進行。如計算機模擬。本課程討論的模型試驗是指“定量研究用的物理模型。 ”要求模型保證工作規(guī)律相似，所反映的現(xiàn)象物理本質(zhì)不變。而不僅僅是外形尺寸，活動狀態(tài)相似。因此，模型試驗所說的 “模型”是指的模型現(xiàn)象，而不僅是一個物體的模型。模型試驗的優(yōu)點：（1）試驗結(jié)果可以推廣到一切相似的現(xiàn)象； （2）經(jīng)濟性好，節(jié)約人力、物力、時間。如阿波羅指令倉有關(guān)外殼剛度與減速度試驗，實物試驗費需 50萬美元，模型試驗費只需 9千美元，下降約15倍。土星V運截火箭實物試驗費 1000萬美元，模型試驗費 50萬美元，下降約 20倍；（3）可以對直2接試驗無法進行的現(xiàn)象進行試驗；（4）可以嚴格控制試驗條件，突出主要因素；（5）可以反復(fù)再現(xiàn)試驗。由于這些優(yōu)點，模型試驗廣泛應(yīng)用于各個科學領(lǐng)域。在汽車的研究中，模型試驗應(yīng)用于研究汽車的空氣阻力，汽車的碰撞、輪胎在各種土壤條件下的牽引性能等方面。本章的內(nèi)容主要是討論怎樣設(shè)計模型和怎樣整理和推廣試驗結(jié)果?！?物理現(xiàn)象的數(shù)學描述 單值條件現(xiàn)象，常用各種物理量來表征。任何現(xiàn)象都有其客規(guī)律。當人們認識到這個規(guī)律時，都可以把表征這個現(xiàn)象的各種物理量及其它參量組成一組數(shù)學方程式，一般是一組微分方程式。具體運用這個規(guī)律時，需要把方程解出來。由微分方程可得到通解。這個方程組或其通解反映了各物理量間的關(guān)系，是用數(shù)學形式對這種類型的現(xiàn)象的一種描述。它適合于一切這種類型的現(xiàn)象。例如：對于圖示振動系統(tǒng)，可根據(jù)牛頓第二定律，列出描述系統(tǒng)運動現(xiàn)象的微分方程：mx cx kx F解這個方程，得描述物體位移規(guī)律的通解：kcxx1x2mx1——方程對應(yīng)的齊式方程mxcxkx0的通解；x2——方程的一個特解F這個微分方程和這個能解適合于一切如圖示系統(tǒng)的運動現(xiàn)象。這種現(xiàn)象有無數(shù)多個。每個具體的現(xiàn)象有它獨有的特性，或是無阻尼的、欠阻力的、過阻尼的，或是自由振動、衰減振動、受迫振動等等。上面這個方程包括了這些現(xiàn)象，但要區(qū)分或要描述某一個具體現(xiàn)象，還要給出附加條件。這個附加條件和方程組一起，才能描述個別的、具體的某一特定現(xiàn)象。能從服從于同一方程組的無數(shù)現(xiàn)象，單一地劃分出某一具體現(xiàn)象的附加條件，叫 單值條件。單值條件是同類現(xiàn)象中各個現(xiàn)象相互區(qū)別的標志。單值條件一給定，具體現(xiàn)象即確定。如給出上述振動現(xiàn)象的單值條件：m m0， k k0， c c0， F F0sin 0tt 0時： x 0， x 0， x 0就描述了一個具體的振動現(xiàn)象（一個零初始狀態(tài)的受迫振動現(xiàn)象） 。單值條件包括：⑴空間(幾何)條件:參與現(xiàn)象的物體的幾何形狀尺寸大小。如懸臂梁的長度和受力位置。⑵物理條件:參與現(xiàn)象的物理介質(zhì)的物理性質(zhì)。如振動體的質(zhì)量 m；流體的密度 ,粘度 .⑶邊界條件條件 ：發(fā)生在現(xiàn)象邊界的對象有影響的約束情況。如懸臂梁的一端轉(zhuǎn)角 θ為零。⑷初始條件：現(xiàn)象的初狀態(tài)。這個初始狀態(tài)直接影響現(xiàn)象的演變過程。如自由振動和衰減振動現(xiàn)象的初始狀態(tài)x(0),x(0)決定了振幅A和初相位角α。把同類現(xiàn)象作為一個集合，其中每一個具體現(xiàn)象就是這集合的元素，而相似現(xiàn)象是這個集合的一個子集。如上述振動系統(tǒng)，每一種不同的單值條件的取值都是同類現(xiàn)象的一個具體現(xiàn)象；而根據(jù)相似的概念，相似現(xiàn)象的每一單值條件物理量都應(yīng)是成比例的，而不是任意取的。（下一節(jié)將講述這些比例是有一定約束關(guān)系的）。因此，在模型試驗中，控制試驗條件就是控制單值條件，以使模型與原型相似，試驗結(jié)果才有意義。在實際中，由于現(xiàn)象的規(guī)律往往是不知道的，單值條件也不知道。準確地判定單值條件，是很重要的，也3是很困難的。綜上所述，有以下幾點：① 單值條件是指表征現(xiàn)象的一些 (不是全部)物理量。② 在同一類現(xiàn)象中，單值條件一給定，具體現(xiàn)象即確定，非單值條件物理量也由現(xiàn)象的規(guī)律而被確定。由于單值條件物理量和非單值條件物理量之間有這種從屬關(guān)系， 我們稱單值條件物理量叫 “定性量”；稱非單值條件物理量叫“ 非定性量”。③ 哪些物理量是單值條件還與研究的問題有關(guān) .如研究應(yīng)力與撓度的關(guān)系時 ,應(yīng)力和撓度都可以分別作為單值條件?！?相似的概念'1"l3'1l3"一、幾何相似l1'h'l1"'h"""''"l2l22相似的概念首先出現(xiàn)在幾何學里。323兩個相似三角形的對應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣。相似三角形的性質(zhì)（相似性質(zhì)）：各對應(yīng)線段的比例相等，各對應(yīng)角相等，即：l1'l2'l3''hClCl——相似倍數(shù)l1"l2"l3"h"l1l2l3hCllllh'",'"'"1122,33反過來講，滿足“相似條件”的兩個三角形是相似三角形。此條件為：l1'l2'l3''hCll1"l2"l3"h"“相似性質(zhì)”是指彼此已相似的現(xiàn)象具有的性質(zhì)；“相似條件”是指滿足此條件，現(xiàn)象就彼此相似。幾何學中的相似概念可推廣到其它物理概念中。幾何相似（空間相似）：指對應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣的幾何體。它表現(xiàn)為所有對應(yīng)線段都成一定比例，所有對應(yīng)角都相等。t'yy。't1"二、運動相似。s’t2。t2"。s”"'tS、時間T、速度V物體的運動現(xiàn)象可以用路程0。t3。x等物理量來描述。運動相似就是指這些表征運動現(xiàn)象x0的物理量分別相似。(a)時間相似：指對應(yīng)的時間間隔的比值相等：ss''12Ct常數(shù)""22’’tτ1τ2

t1”τ2”Ct是時間的相似倍數(shù)。（b）速度相似：指速度場的幾何相似。表現(xiàn)為在對應(yīng)時刻上各對應(yīng)點速度的方向一致，大小成比例：VA'VB'VC'Ct(常數(shù)）V’V”VA"VB"VC"4C）運動軌跡幾何相似：表現(xiàn)為軌跡曲線每對應(yīng)點的坐標值成比例，斜率相等：X1'X2'y1'y2'S1'S2'ClX1"X2"y1"y2"S1"S2"三、力相似：力相似指力場的幾何相似。表現(xiàn)為對應(yīng)點上的作用力方向一致，大小成一定比例。F1'F2'F3'CFF1"F2"F3"首先，受力體應(yīng)該是幾何相似。否則就無所謂對應(yīng)點了。分布載荷表現(xiàn)為力場幾何相似，集中載荷表現(xiàn)為力多邊形幾何相似。若力隨時間變化，還需時間相似，即對應(yīng)時刻的力方向一致，大小成一定比例。此外，還有溫度相似、濃度相似等等?，F(xiàn)象相似是指在對應(yīng)時刻、對應(yīng)點上描述這類現(xiàn)象的所有同名物理量各自成一定比例關(guān)系，若是向量則方向一致。由此可知①相似只能是同類現(xiàn)象,這些現(xiàn)象能用相同的微分方程描述；②現(xiàn)象相似首先在空間要幾何相似和時間相似。同類現(xiàn)象能用相同的關(guān)系方程式或微分方程式描述。兩相似現(xiàn)象的同名物理量的比例值，稱為相似倍數(shù)。

F1'F2'F1"F2"F3'F3"重力場幾何相似F3'F1'F1"F3"'"Ny"Nx"NyF2'F2Nx'力多邊形幾何相 似相似倍數(shù)是一個常數(shù)?！?相似第一定理（相似性質(zhì)）本節(jié)研究彼此相似的現(xiàn)象具有什么性質(zhì)的問題。相似第一定理的內(nèi)容就是說明什么是相似現(xiàn)象的相似性質(zhì)。一、相似指標以物體受力產(chǎn)生加速度這種現(xiàn)象為例：表征兩個現(xiàn)象的物理量分別為Fˊ、mˊ、aˊ和F″、m″、a″。描述第一個現(xiàn)象的運動方程式為：Fˊ=mˊaˊ（1）描述第二個現(xiàn)象的運動方程式為：F″=m″a″（2）設(shè)這兩個現(xiàn)象相似。根據(jù)相似的概念，知道它們的同名物理量成比例：F'CF,m'Cm,a'Ca（3）F"m"a"或F'CFF",m'Cmm",a'Caa"5代入（1）式，則描述第一個現(xiàn)象的運動方程式為：CFF"CmCam"a"F"CmCam"a"（1*）CF因為相似現(xiàn)象是同類現(xiàn)象，描述它們的方程式應(yīng)完全一致，因此比較（1*）式和（2）式得：CmCa1CF此式表明，各物理量的相似倍數(shù)不是任意的，是受到這個式子的約束的。（這是由于兩個現(xiàn)象都遵從于同一規(guī)律，各物理量間都有確定的函數(shù)關(guān)系）。這種約束關(guān)系用C表示，CmCa1（4）即：CCFC稱為“相似指標”。CC對于相似現(xiàn)象，=1?！?的，就不是相似現(xiàn)象。所表示的約束關(guān)系是由這類現(xiàn)象的自然規(guī)律所確定的，具體的說就是由描述這類現(xiàn)象的方程所表達的各物理量間的函數(shù)關(guān)系所確定。 C在一定程度上表達了各物理量之間的關(guān)系（即現(xiàn)象的規(guī)律） 。相似現(xiàn)象的相似指標 C的個數(shù)一般有若干個。二、相似準則：將（3）式代入（4）式，得m'a'm"a" 1'FF"整理后,這種約束關(guān)系就表示成另外一種形式：m'a' m"a"F' F"此式表明：由描述兩現(xiàn)象的物理量組成的這個綜合量對應(yīng)相等。 （“對應(yīng)”是指這些物理量是在對應(yīng)時刻、對應(yīng)幾何點上的取值）。這個綜合量稱為“ 相似準則”，用符號п(或π)表示:m'a'm"a"F'F"或maidem(不變量)F相似準則是表征某一現(xiàn)象的物理量組成的綜合量。其中的物理量不一定是表征現(xiàn)象的全部物理量。相似準則的特點因次為1，是無因次量（無量綱）。反之，由表征現(xiàn)象的物理量組成的無因次量就是相似準則。必須注意：6①相似準則包含的物理量屬同一個現(xiàn)象；（如m'a"）F'②相似準則中各物理量取值應(yīng)是同一時刻同一點上的值（如m1a1,m1a2,腳標i表示時刻ti時的F1F1,取值）；③相似準則是時間和空間的函數(shù) ,不是常數(shù)，即同一現(xiàn)象的同一準則在不同點、不同時刻的值一般不同（如m1a1m2a2）。（相似倍數(shù)在任意時刻、任意點都是一定值，是常數(shù)const）。F1F2全由定性量組成的相似準則稱“定性準則”；不全由定性量組成的相似準則稱“非定性準則”。三、相似第一定理相似第一定理：“彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標為 1?！被颉氨舜讼嗟默F(xiàn)象，其似準則的數(shù)值相等 ?！毕嗨频谝欢ɡ肀硎隽讼嗨片F(xiàn)象的性質(zhì)。此定理包含了如下內(nèi)容（根據(jù)相似的概念， “彼此相似的現(xiàn)象”一句表明了①、②內(nèi)容）：①相似現(xiàn)象屬于同一類現(xiàn)象，它們都可被文字上完全相同的方程式（包括描述單值條例的方程式）所描述。②相似倍數(shù)的同名物理量各自成比例關(guān)系，相似倍數(shù)是常數(shù)。③相似倍數(shù)不全都能任意取值，而是彼此有一定的約束關(guān)系?！?相似第二定理（相似條件）相似第二定理：“凡同類現(xiàn)象，當單值條件相似， 而且由單值條件物理量組成的相似準則在數(shù)值上相等， 則這些現(xiàn)象就必定相似?！贝硕ɡ碚f明了相似條件：① 是同類現(xiàn)象；② 全部單值條件分別對應(yīng)相似；③ 定性準則相等。由條件“③定性準則相等”，經(jīng)代換整理可得由定性量（單值條件物理量）的相似倍數(shù)組成的相似指標等于1，限制了條件“②單值條件相似”的相似倍數(shù)不能任意取值。條件③的意義就在于此。第二定理的條件是相似的充要條件：⑴充分條件：若單值條件條件相似，非單值條件按現(xiàn)象的規(guī)律也就自行相似了。這樣，全部物理量都成比例，現(xiàn)象相似。單值條件確定（單值條件相似）→現(xiàn)象確定（現(xiàn)象相似）→非單值條件確定（非單值條件相似）⑵必要條件：由第一定理可知，若相似現(xiàn)象，則全部參數(shù)成比例，相似準則相等，即滿足②③條件。 （第一定理本身就可看作是必要條件） 。從“相似性質(zhì)”和“相似條件”的意義出發(fā)，相似第一、第二定理又分別稱為“相似正定理”和“相似逆定理”。7第二定理的指導(dǎo)意義：是模型設(shè)計的原則?！?相似第三定理相似第三定理（又叫定理、巴金漢定理）：“描述現(xiàn)象的物理量關(guān)系方程式，可以轉(zhuǎn)化為相似準則之間的關(guān)系式f(1,2,,n0）?！眆(1,2,,n0）稱為“準則關(guān)系式”。相似第三定理可以證明。（證明略）說明：⑴“物理關(guān)系式”要是完整的物理方程?！巴暾摹笔侵阜匠痰囊虼魏椭C或方程具有因次齊次性：（a）每項的因次相同。同因次的量相加、減才有物理意義。（b）方程適合于任何單位制。物理量不管取哪種單制（工程制、cgs制、國際制、英制），只要單位是統(tǒng)一的（屬同一單位制），方程都永遠成立。例如：F=ma因次上齊次，是一完整的物理方程。而當m=1時，F(xiàn)=a。F=a這個方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。又例如：T2lg=9.8時，Tkl（k是一常數(shù)）。因次上齊次，是一完整的物理方程。而當取gkl2.01l這個方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。對一些限定了物理量單位的方程，因次上不是齊次的。如 1摩爾理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT 是一個完整的物理方程，但 PV=8.31T （P—帕 V —米3 T —開）PV=8.2×102T(ρ—大氣壓 V—升 T —開)因次沒有齊次性，不是一個完整的物理方程。（2） 1,2 n均是表征現(xiàn)象的物理量組成的相似準則，包括定性準則和非定性準則。相似準則是無因次量，所以，不管選擇哪種單位制，準則關(guān)系式中的各變量在數(shù)值數(shù)上都是不變的。準則關(guān)系式是描述物理量之間關(guān)系的另一種形式。是微分方程的解。相似現(xiàn)象的準則數(shù)值相等，因此它們的準則關(guān)系式在形式上和數(shù)值上完全相同。所以說，準則關(guān)系式適用于一切相似現(xiàn)象。這就為我們提供了模型試驗結(jié)果推廣的依據(jù)。定性量給定后，現(xiàn)象就被確定，非定性量也隨之確定了。定性量給定后，定性準則被確定，非定性準則也隨之被確定，由于這種關(guān)系，我們把準則關(guān)系式表示成非if(定1,定2,)由此可以研究非隨定變化的規(guī)律。研究的目的主要是在于研究其中的非定性量。以粘性不可壓縮流液體的穩(wěn)定等溫流動為例，來說明如何利用準則關(guān)系式來整理、推廣試驗結(jié)果和利用準則關(guān)系式的優(yōu)點。研究的問題：流體壓力p的規(guī)律。P是非定性量，l（幾何尺寸）、ρ（流體密度）、η（流體動力粘度）、g（重力加度）、v（流體速度）是單值8條件物理量。（如果研究流速 v的規(guī)律，則 V是非定性量）。已知的三個相似準則RevlFrglEup、v2、2v中，Eu是非定性準則，則準則關(guān)系式為Euf(Re，F(xiàn)r)即p2f(vl,gl2)vvPf(evlglv2或,v2)試驗的目的就是要找出函數(shù)關(guān)系f。試驗時，可通過改變V來改變Re、Fr的值。每一Re、Fr的值對應(yīng)一個Eu的值，在座標上描下這些點。用曲線擬合這些點，這個曲線就是準則關(guān)系曲線，也就是要找的函數(shù)關(guān)系f。和按有因次的物理量整理試驗結(jié)果比較，準則關(guān)系式有如下優(yōu)點：⑴減少了試驗的內(nèi)容。如果不按準則關(guān)系式組織試驗，就要分別探討l、ρ、η、ɡ、ν、對ρ的影響。而上例只需探討Re、Fr對Eu的影響。只用改變v來改變Re、Fr意味著只需要一種試驗設(shè)備和一種流體就行了。(2)便于控制。要想控制、改變ρ、η是較困難的，但按準則關(guān)系式只需要控制Re和Fr就行了，這可以通過控制易于控制的V來達到。試驗結(jié)果同樣能反映ρ、η和P的關(guān)系。（3）反映了現(xiàn)象的本質(zhì)。按有因次量整理試驗結(jié)果，得到的是pf1(v)、pf2()、pf3()等關(guān)系式，不能反映現(xiàn)象的本質(zhì)，只反映了p分別和其它量的關(guān)系。相似三定理是相似理論的主要內(nèi)容，構(gòu)成了模型試驗的理論基礎(chǔ)：①怎樣由原型設(shè)計模型?由第二定理知：必須保證單值條件相似、定性準則相等的相似條件。②試驗時測哪些數(shù)據(jù)?由第一定理可知：應(yīng)該測量（這里的“測量”還有“控制”的意思）相似準則中包含的所有物理量。因為相似準則體現(xiàn)了模型和原型的聯(lián)系。③ 試驗結(jié)果如何處理？由第三定理可知：應(yīng)該整理成準則關(guān)系式。這樣就可以推廣到一切相似現(xiàn)象?！? 方程分析法求相似準則方程分析法有相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法兩種。它是根據(jù)已知的微分方程組和單值條件來求相似準則。既然方程都知道了，為什么還要作試驗？這是因為有時方程很復(fù)雜，求解非常困難，只得依靠試驗來求解。有時得到的方程式在建立過程中，為了簡便起見，作了許多假設(shè)，這時就僅是利用這個假設(shè)的方程來求相似準則而己。一、相似轉(zhuǎn)換法（例）圖示系統(tǒng)，求相似準則。kx解：mF9⑴ 寫出方程式和初始條件：方程式d2xkxF0m2dt初始條件:t=0時,x x0(單值條件只需寫出那些隨現(xiàn)象的進行而要發(fā)生變化的物理量，即初始條件。 )（2）寫出相似倍數(shù)表示式Cmm'，Cxx'，Ctt'，Ckk'，CFF'，Cx0x'0；m"x"t"k"F"x"0(3)相似轉(zhuǎn)換第一現(xiàn)象：'d2x'k'x'F'0（1）mdt2第二現(xiàn)象：m"d2x"k"x"F"0（2）dt"2由相似倍數(shù)表示式有m'Cmm"，t'Ctt"，x'Cxx",k'Ckk",F'CFF",x'0Cx0x0"代入（1）式得：（注意d(cx)=cdxd(cx)=cd2xd(cx)2cdx2）到'Cxm"d2x""x"CFF"0（1*）CmCt2dt"2CkCxk比較（1*）、（2）式有CmCxCkCxCF（3）Ct2同樣地、由兩個現(xiàn)象的單值條件：x'x0'，x"x0"得CxCx0（4）*（3）和（4）式可以等于任意值，也可以等（注意：（1）式右端為0；左端每一項都有一個相似倍數(shù)因子。于1，但不恒等于1，故不能在右邊寫“=1”。若等于1時，不能將CmCx、CkCx、CF、Cx、Cx0等誤認為Ct2是相似指標。這可容易地用因次等于1證明mx、kx、F等不是相似準則。）t2由（3）、（4）式有10CmCxCkCx得相似指標Cm1相似準則1mCt22kCt2CktCkCxCFChCx1kxCF2FCxCFCmCx1mxCmCt2CF32FCt2tCxCx0Cx014x0Cxx描述此現(xiàn)象的物理量m、k、t、F、x0、x中，前五個是定性量，只有1是定性準則。在這些物理量中，往往容易漏掉 x0。所以應(yīng)該特別注意初始條件的物理量和由初始條件得到的相似準則，不要遺漏了。在以上準則中，因 3 1 2，故 1、2和 3中只有（任意）兩個是獨立的。對于相似現(xiàn)象，只要獨立的相似準則相等了，由獨立相似準則導(dǎo)出的相似準則自然也就是相等的。因此在模型試驗中，只需要討論獨立的相似準則。在用方程法求相似準則時，只討論（3）式中某1個量分別和其它量相等的情況，其它量相等則不需討論。二、積分類比法描述相似現(xiàn)象的方程是完全一樣的。方程式中，任意對應(yīng)的兩項比值應(yīng)該相等。由于方程的因次是諧和的，即各項的因次相同，所以任意兩項的比值是無因次量。因而這個比值就是一個相似準則。如m'd2x'k'x'F'0dt'2m"d2x"k"x"F"0dt"2'd2x'"k'x'k"x"mm"d2x的任意對應(yīng)兩項之比相等：dt'2dt"2F'F"、F'F"第一個等式是一個相似準則kx1，第二個等式里有微分符號。下面講怎樣處理微分符號。Fu1'u2'Cuui（有腳標i）表示同一現(xiàn)象的第i個狀態(tài)的u值。設(shè)u2"u1"u2'u1'u'u'Cu常數(shù)u2"u1'u"u"取極限，由于常數(shù)的極限等于它本身，有11u'du'limCuu"0u"du"∵du'u'du"u"du'du'u'u'du'u'∴dt'du"u"t'dt't'du"dt't'u"即du"u"dt"dt"t"t"dt"t"dnu'dnu'u'u'dnu'u'同理dt'ndnu"u"t'n即dt'nt'ndnu"dt'nt'nu"dnu"u"dt"ndt"nt"nt"ndt"nu"n以上三個式子說明：相似現(xiàn)象的有微分號的對應(yīng)量之比，等于去掉微分或偏微分符號“dn”“n”相應(yīng)量之dnuudnu'dnu"比。（注意：上式得不出dtntn的結(jié)論，因為u和t不是對應(yīng)項。dt'n和"n才是對應(yīng)量。）dtm'd2x'm"d2x"d2x'因此：dt'2dt"2m'dt'2m"F'F"F'd2x"F"dt"2m'x'm"去掉“d”符號：t'2F'x"F"t"2∴m'x'm"x"即mxF't'2F"t"22Ft2由2的結(jié)果可知，直接將兩項比值中的微分符號去掉，就得到相似準則了。將積分類比法歸納成以下步驟：1）．寫出現(xiàn)象的微分方程組和初始條件； （不需要分別寫出兩個現(xiàn)象的方程和初始條件了）2）．用方程式中的任一項（只需一項，如果用了兩項，得出的相似準則將有不獨立的）除以其它各項（性質(zhì)相同的項僅取其中一項）；3）所有微分量用相應(yīng)量代替；沿各座標的分量用總量代替（如速度分量Vx、Vy┉用總量V代替）；座標量用定性尺寸代替（如長x、寬y、高z等幾何量用一個定性尺寸L代替）。三、相似函數(shù)和非相似函數(shù)討論相似函數(shù)和非相似函數(shù)，可以說明模型試驗的局限性。12例1：由方程式y(tǒng)kex（k、e是常數(shù)）求相似指標。解：y'kex'y"kex"y'x'相似倍數(shù)Cy，Cxy"x"則第一個式子為Cyy"kecxx"和第二個式子比較，得： Cy 1 Cx 1各相似倍數(shù)都等于 1，意味著不能得到相似的模型，不能進行模型試驗。例2：有y'Ax'B（1）y"Ax"B（A、B是常數(shù)）（2）用相似轉(zhuǎn)換法：將相似倍數(shù)代入得（1）式：Cyy"Ax"B（3）比較得（1）、（3）式，有Cy1Cx1。說明不能進行模式模型試驗。用積分類比法：由任意兩項之比相等，有y'y"y'y"Ax'，B；Ax"B即y'y"，y'y"；x'x"得yy，x1，23。x即有Cy1，Cx1。與用相似轉(zhuǎn)換法得到的結(jié)論相同。（若B=0，則得CyCxCy1。說明yAx可進行模型試驗，是相似函數(shù)。）Cx以上兩個函數(shù)式都不能得出相似倍數(shù)Cx，Cy的約束關(guān)系，即不能得到相似指標。我們稱能用方程分析法得到相似指標的函數(shù)式叫“相似函數(shù)”，不能用方程分析法得到相似指標的函數(shù)式叫“非相似函數(shù)”。13§8因次分析法求相似準則在多數(shù)情況下，各物理量之間關(guān)系是末知的，寫不出方程式來。只能寫出不定函數(shù)式：f（a，b，c，?‥）=0 a，b，c，?‥是表征現(xiàn)象的物理量這時，就只有用因次分析法來找相似準則。因次分析法有很多用途，找相似準則只是其中的一個。由于因次分析法在找相似準則中的重要作用，因次分析和模型試驗結(jié)下了不解之緣。一、因次的概念：“因次”又叫“量綱”。我們這里把物理量單位的種類（性質(zhì)）叫因次。種類：長度、質(zhì)量、溫度、時間、?‥，就是不同的種類。它們有各自的因次。用分別 [L]、[M]、[t]、表示。物理量單位：除了指明物理量所屬種類外，還涉及到大小的問題。如米、市尺、英寸、等等，都是長度單位，是屬“長度”這個種類的，它們的每 1單位大小不同。它們的因次都是長度的因次 [L]。因此，因次只涉及物理量的性質(zhì)，而不涉及它的大小。物理量分“基本量”和“導(dǎo)出量” ；現(xiàn)象可由基本物理量表征，也可用導(dǎo)出物理量表征。相應(yīng)地，物理量單位分“基本單位”和“導(dǎo)出單位” ，物理量因次分“基本因次”和“導(dǎo)出因次” 。導(dǎo)出量是由基本量導(dǎo)出的，可由基本量表示；導(dǎo)出單位是由基本單位導(dǎo)出的，可由基本單位表示；導(dǎo)出因次是由基本單位導(dǎo)出的，可由基本因次表示。例如：由基本量長度、時間、質(zhì)量導(dǎo)出力，導(dǎo)出量力可由基本量表示為長度質(zhì)量時間；時間由基本單位m（米）、S（秒）、Kg（千克）導(dǎo)出N（牛），導(dǎo)出單位N可由基本單位表示為mkg；S2由基本因次[L]、[T]、[M]導(dǎo)出[F]，導(dǎo)出因次[F]可由基本因次表示為[L]·[M]·[T]-2，或[L]·[M]·[T-2]，或[LMT-2]。所謂“基本量（或基本因次）”和“導(dǎo)出量（或?qū)С鲆虼危笔窍鄬Φ模梢匀∪我獾牧浚ɑ蛞虼危榛玖浚ɑ蚧疽虼危?。但基本量（或基本因次）必須互相獨立，即任何基本量（或基本因次）不能由其它基本量（或基本因次）?dǎo)出，（如可以取L、F、不能取L、T、V），但必須完整，即任何其它量（或因次）都可由基本量（或基本因次）導(dǎo)出。國際單位制規(guī)定了七個基本單位：m（米）、Kg（千克）、S（秒）、A（安培）、K（開爾文）、mol（摩爾）、cd（坎德拉）。在力學中，我們常以長度、質(zhì)量、時間、作為基本量，相應(yīng)地，取[L]、[M]、[T]作為基本因次。其它物理量的因次，可由基本因次表示：[A]=[L][M][T]或[A]=[L][M][T]任何物理量的因次都是基本因次的冪乘積。例如：速度[V]=[L][T-1][M0]=[LT-1]角加速度[ω]=[L0][T-2][M0]=[T-2]角度因次為[1]（以弧度來理解）可按物理量間的關(guān)系式寫出因次，如：14∵振動頻率pkm111111∴[][k]2[M]2[FL1]2[M]2[LMT2L1]2[M]2[001][T1]PLMT相似準則是無因次量，[][t]0[M]0[T]0[1]，又稱其因次為1。二、因次分析法求相似準則根據(jù)① 相似準則是表征現(xiàn)象的各物理量的冪的乘積，即 AaBbCC ；② 相似準則的因次為 [1]( [ ] [A]a[B]b[C]c [1]); 由表征某一現(xiàn)象的物理量組成的無因次量是相似準則。在已知表征現(xiàn)象的全部物理量的條件下，就可求得相似準則。例：求物體受力產(chǎn)生運動的現(xiàn)象的相似準則。解：1）寫出描述現(xiàn)象的全部物理量： m、F、v、t；2）寫出相似準則通式及其因次準則通式π=Fx1mx2vx3tx4準則通式的因次[][F]x1[m]x2[v]x3[t]x4將其因次表示為基本因次的形式：[F][LMT2],[m][M],[v][LT1],[t][T]∴[][LMT2]x1[M]x2[LT1]x3[T]x4[L]x1x3[M]x1x2[T]2x1x3x43）根據(jù)[π]=[1]解出準則通式中的末知指數(shù)由[][1][L0M0T0]得方程組：x1x30x1x202x1 x3 x4 0解方程組，得x1 x4x2 x4x3 x4有無窮多組解。其基礎(chǔ)解只有一組。其余的解都是基礎(chǔ)解的線性組合。令 x4 1， 得一基礎(chǔ)解： x1 1， x2 1， x3 1， x4 1154）寫出相似準則將方程的解代入準則通式，得到相似準則Ft。（此準則稱為牛頓準則NeFtmv）mv5）驗算驗算[π]是否為[1]，如果為[1]，說明正確。如果不為[1]，就錯了，應(yīng)檢查物理量的因次是否弄錯、解方程組是否出錯。如果又令x42，則x12，x22，x32，這一組解是基礎(chǔ)解的線性組合，由此得到的準則 ' (Ft)2，是不獨立的。所以，相似獨立準則的個數(shù)和基礎(chǔ)解的個數(shù)相等。mv由這個例子可以看出用因次分析法求相似準則的主要過程就是由“根據(jù)①”寫出相似準則的通式，再由“根據(jù)②”解出通式中的未知數(shù)x1，x2，?‥。在實際中，要找出表征現(xiàn)象的全部物理量往往是困難的。物理量。多了或少了，對結(jié)果都有影響。例如，在上例中，若多一個物理量加速度a，將得到兩個相似準則Ftma1，2。如果經(jīng)過mamvF試驗，將得到結(jié)果：1，那就找到了F、m、a、之間的關(guān)系Fma，但這個關(guān)系是我們早已2F知熟知的，由此2是沒有什么意義的，反而增加了試驗的內(nèi)容。所以，要注意判斷哪些是不獨立的物理量（即可由另外的物理量推導(dǎo)得出） ，在解題的第一步驟中就不應(yīng)將它們列入。例如，對于同一物體的速度V、a、x、t中，就只有兩個量是獨立的。若將它們都代入，就將得到x，v或x等沒有意義的相tvatat2似準則。又如，如果將表征同一物體的幾何尺寸a、b、c都列入，將得到相似準則a、b或a。這些準則的物bcc理意義是兩相似現(xiàn)象中的這個物體的對應(yīng)尺寸成比例。但只要我們保證了物體的幾何相似，這些準則對試驗來說就是沒有多大意義的。通常，對這些有相同意義的物理量只需取其中一個就行了。但對于相似準則（x0是單值條件），則是必要的，它表示了對初始條件的限制。x0在描述現(xiàn)象的方程中，有時存在有因次的常數(shù)，如氣體常數(shù) R。在因次分析中考慮物理量時，往往容量漏掉有因次的常數(shù)，從而造成錯誤?？傊靡虼畏治龇〞r，必須對所研究的現(xiàn)象的物理實質(zhì)有必要的了解，才能正確確定參與現(xiàn)象的物理量。如果了解甚少，就只有經(jīng)過反復(fù)試驗來判斷所確定的物理量是否全面、正確。三、獨立相似準則的完整集合獨立相似準則表征現(xiàn)象的物理量組成的無因次量都是相似準則。相似準則的加、減、乘、除、冪都是無因次量，亦都是相似準則。相似準則一般不用有加、 減號形式，且乘、除實質(zhì)上是指數(shù)為 1的冪的乘積，所以說“相似準則的冪的乘積也是相似準則”。由此可知，一類相似現(xiàn)象的相似準則有無窮多個。但其中有些準則可以由其它一些準則的冪的乘積來表示。16所謂獨立，是指準則之間的關(guān)系。單獨一個，談獨立沒有意義。相似準則之間相互獨立，是指這些準則中的任何一個都不是其它準則的冪的乘積，即不能相互轉(zhuǎn)換。例如：設(shè)1a，2b，3c，π1，π2，π3相互獨立。則π1，π2，a4是不獨立的，其中任意兩個獨立的；b1, 2,5=a是獨立的，其中任意兩個也是是獨立的。c2．獨立相似準則的完整集合由上例， 1, 2是獨立的， 1, 2， 3也是獨立的，這種獨立的準則集合可能包括最大的獨立準則個數(shù)，就是所要討論的獨立相似準則的完整性。若1,2?m是現(xiàn)象的獨立相似準則，而且現(xiàn)象的其它任何相似準則都可以表示為這些準則的冪的乘積，則稱1,2?m為該現(xiàn)象的獨立相似準則的一個完整集合。完整集合有無窮多個。每一個完整集合的相似準則數(shù)都為m。若這個集合的相似準則數(shù)＞m則不獨立；若準則數(shù)＜m,則不完整，其它準則中就必定有些準則不能用這個集合中的準則的冪的積來表示。無窮多個完整集合中的任何一個完整集合，都可以代表這個現(xiàn)象的全部(無窮多個)相似準則，因此求相似準則就是要求出一個獨立相似準則的完整集合。求獨立相似準則的完整集合的準則數(shù)目先確定完整集合中獨立準則的個數(shù)m,再找出m個互相獨立相似準則。這m個相似準則就是一個獨立相似準則的完整集合。設(shè)表征某現(xiàn)象的物理量A1,A2An,共n個。其因次為[Ai][L]i[M]i[T]ii=1,2,?,n相似準則通式A1x1,A2x2,?Anxn相似準則的因次[][L]1x12x2nxn[M]1x12x2nxn[T]1x12x2nxn[L0M0T0]1x12x2nxn01x12x2nxn01x12x2nxn0定理：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩 r n時，只有唯一零解；當 r n時，有無窮多組解，每組基礎(chǔ)解系包含 n r個解向量?；A(chǔ)解系 (a1 ak)：1.k個解向量（將解看成是 n維向量）線性無關(guān)； 2.任意解向量是基礎(chǔ)解向量的線性組合?；A(chǔ)解不是唯一的，但其解向量的個數(shù)是一致的。17如果有不完全為零的數(shù)k1?,kn存在,使k11kmm0，那么1,,m線性相關(guān)；如不存在,也就是只有當k1?,kn都是零時上式才成立,那么1,,m線性無關(guān)。（為解向量，即(1,2,,n)）秩是矩陣中不為零的子式的最高階數(shù)。系數(shù)矩陣121 21 2

???

nnn若矩陣的秩為 r，則方程組基礎(chǔ)解解向量 (a1 ak)個數(shù)m n r。方程組的解就是相似準則中物理量的指數(shù)。若有幾組解線性相關(guān)，則對應(yīng)的相似準則就不是互相獨立的。若有幾組解線性無關(guān)，則對應(yīng)的相似準則是互相獨立的?；A(chǔ)解是解的最大線性無關(guān)組，因此，它所對應(yīng)的m個獨立準則就是一個完整集合。所以，可知一個完整集合的獨立準則數(shù)和方程組的基礎(chǔ)解個數(shù)相等。即獨立準則數(shù)(m)=物理量個數(shù)(n)秩（r）一般基本因次都有三個([L].[M].[T])，方程組有3個等式，系數(shù)矩陣有3行，所以秩r不大于3。大多數(shù)情況下，r=3。特別是如果物理量中有因次分別為[L].[M].[T]或[L]、[F]、[T]的三個物理量（“長度、時間、質(zhì)量”或“長度、時間、力”），那么系數(shù)矩陣中必然有一個三階子式：100110——對應(yīng)[L]010或010——對應(yīng)[M]0010-21——對應(yīng)[T]不等于零，系數(shù)矩陣的秩r=3。對于方程分析法，獨立準則數(shù)m=不同類項數(shù)—1四、用矩陣求相似準則（因次分析法求相似準則的規(guī)格化）例：不可壓縮液體的等溫穩(wěn)定流動解：1．考察表征現(xiàn)象的物理量：f(p,,g,v,,)02．寫出各物理量的因次：[p][L1MT2，2，L1MT1]，[V][LT1]，[l][L]，[][L3M]][g][LT][]183．寫出因次矩陣[][P]x1[]x2[g]x3[v]x4[l]x5[]x6pηgvlρ——物理量x1x2x3x4x5x6——物理量的指數(shù)L-1-1111-3M110001T-2-1-2-100右下角是一個矩陣，就是方程組的系數(shù)矩陣。4．計算秩和獨立相似準則的個數(shù)計算矩陣的秩：右邊的三階子式+1 +1 -30 0 0 ≠0 , r＝３-1 0 0由此可知相似準則的一個完整集合有（ 6―3=3 ）個相似準則。．寫出方程式組：-χ-χ+χ+χ+χ-3χ=0123456χ1+χ2+χ6=0-2χ1-χ2-2χ3-χ4=0解方程組：（后r個末知數(shù)用其余未知數(shù)表示）χ=-2χ-2χ-2χ41236=-χ1-χ24=-2χ1-χ2-2χ36．求相似準則（n—r）個р η g v l ρχ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6π1100-20-1(令χ=1,χ=0,χ=0，則χ=2,χ=0，χ=-1)123456（n—r）個π2010-1-1-1右下角是方程組的解矩陣π3001-210p(Eu)，1)，3glF)。寫出相似準則:1v22(v2(vlRe這是一個獨立相似準則的完整集合。在求相似準則時，應(yīng)注意：⑴因次矩陣和上面這個表格中，物理量排列的次序不同，得到的相似準則的形式就不同，結(jié)果是另19外的完整集合。從上面這個表格可以看出 ,左邊三個物理量只在完整集合中的一個準則中出現(xiàn)，而且在準則中其冪為 1。由此,我們可以合理地安排物理量的排列次序 ,以便進行試驗和整理試驗結(jié)果：）盡量使每個非定性準則中僅含一個非定性量。一般非定性量是被研究的量。于是，盡可能將量非定性量排在前面。b）盡量使每個定性準則中只含一個易調(diào)節(jié)的定性量。于是，盡可能將易調(diào)節(jié)量排在前面。c）可能忽略的量排在前面，只在準則集合中出現(xiàn)一次。⑵有時會出現(xiàn)有不重復(fù)的因次的情況，如研究氣體時，有物理量 P、V、T，只有 T是溫度因次。誰和它組成無因次量的準則呢？這時就需要考慮是否還有一個含有因次的常數(shù)？（這個常數(shù)是 R）⑶無因次物理量本身就是一個相似準則 ,如摩擦系數(shù) f、角度 等。例如：對于不可壓縮液體的等溫穩(wěn)定流動， p是非定性量，其余是定性量，定性量中 v容易調(diào)節(jié)。試驗結(jié)果整理為：非f(定1，定2，?）即Euf(Re，F(xiàn)r)pf(Re，F(xiàn)r)v2Eu只含一個非定性量，就可整理為：pf(Re，F(xiàn)r)v2Eu，Re，F(xiàn)r都含有易調(diào)節(jié)量V。一變動V，三個準則的值都要變動。如果將p、v、l、排在前面，就得p vπ1 1 0 0π2 0 1 0π3 0 0 1

lηg2211p32g223331112V3/(g)3332123l3g2/2333這時若調(diào)節(jié) v，只變動π2，若變動 l，只變動π3。這樣，整理試驗結(jié)果p/3gg2f(v3，l32)g就方便多了。例：在彈性范圍內(nèi)，求獨立相似準則的完整集合。解：1、描述現(xiàn)象的物理量：力P、彈性模量E，幾何尺寸l、撓度y、應(yīng)力、轉(zhuǎn)角。定性量非定性量2．物理量的因次：[P][LMT2]，[E][L1MT2]，[l][L