高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關(guān)系 階段質(zhì)量評(píng)估

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種解析：5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有25＝32種，故選D.答案：D2．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有()A．36種 B．48種C．96種 D．192種解析：不同的選修方案共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96種．故選C.答案：C3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：(1＋x)5中的Ceq\o\al(2,5)x2項(xiàng)與Ceq\o\al(1,5)x項(xiàng)分別與(1＋ax)中的常數(shù)項(xiàng)1與一次項(xiàng)ax的乘積之和為展開式中含x2的項(xiàng)，即Ceq\o\al(2,5)x2＋Ceq\o\al(1,5)x·ax＝5x2，∴a＝－1.故選D.答案：D4．從編號(hào)1，2，3，…，10，11的11個(gè)球中，取出5個(gè)球，使這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，其取法種數(shù)為()A．236 B．328C．462 D．2640解析：分三類.第一類，取5個(gè)編號(hào)為奇數(shù)的小球，共有Ceq\o\al(5,6)=6種取法；第二類，取3個(gè)編號(hào)為奇數(shù)的小球，再取2個(gè)編號(hào)為偶數(shù)的小球，共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)=200種取法；第三類，取1個(gè)編號(hào)為奇數(shù)的小球，再取4個(gè)編號(hào)為偶數(shù)的小球，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(4,5)=30種取法；根據(jù)分類加法記數(shù)原理，所以共有6+200+30=236種取法.答案：A5．張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種解析：第一步，將兩位爸爸排在兩端有2種排法；第二步，將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上有2Aeq\o\al(3,3)種排法，故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24種，故選B.答案：B6．由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成無重復(fù)數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個(gè)數(shù)有()A．72種 B．60種C．48種 D．52種解析：只考慮奇偶相間，則有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，其中，在首位的有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種不符合題意，所以共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝60種．故選B.答案：B7．已知3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)，則x等于()A．6 B．13C．6或13 D．12解析：由排列數(shù)公式可將原方程化為eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9！,10－x！)，化簡(jiǎn)可得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13.又因?yàn)閤≤8且x－1≤9，則x≤8且x∈N*，故x＝6.答案：A8．如圖，要給①，②，③，④四塊區(qū)域分別涂上五種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．320 B．160C．96 D．60解析：不同的涂色方法種數(shù)為5×4×4×4＝320種．答案：A9．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則A．5 B．6C．7 D．8解析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：二項(xiàng)式(x＋y)2m的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大有一項(xiàng)Ceq\o\al(m,2m)＝a，二項(xiàng)式(x＋y)2m＋1Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b，因此13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，∴13·eq\f(2m！,m！m！)＝eq\f(7·2m＋1！,m！m＋1！)，即13＝eq\f(72m＋1,m＋1)，∴m＝6.故選B.答案：B10．2023年世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線)，這16個(gè)隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為()A．64 B．72C．60 D．56解析：先進(jìn)行單循環(huán)賽，有8Ceq\o\al(2,4)＝48場(chǎng)，再進(jìn)行第一輪淘汰賽，16個(gè)隊(duì)打8場(chǎng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，打4場(chǎng)，再分2組打2場(chǎng)決出勝負(fù)，兩勝者打1場(chǎng)決出冠、亞軍，兩負(fù)者打1場(chǎng)決出三、四名，共舉行：48＋8＋4＋2＋1＋1＝64場(chǎng)．故選A.答案：A11．(2023·襄陽市高二調(diào)研)對(duì)于二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，4位同學(xué)做出了4種判斷：①存在n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；②對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；③對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)；④存在n∈N*，使展開式中有x的一次項(xiàng)．上述判斷中正確的是()A．①與③ B．②與③C．②與④ D．①與④解析：二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))n－r·(x3)r＝Ceq\o\al(r,n)x4r－n,0≤r≤n，r∈N，n∈N*.若展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則4r－n＝0，顯然若n為4的倍數(shù)則展開式中有常數(shù)項(xiàng)，若n不是4的倍數(shù)，則展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故①正確②錯(cuò)誤．若展開式中存在一次項(xiàng)，則有4r－n＝1，r＝eq\f(n＋1,4)，若n＝4k＋3(k∈N)，則r∈N*即此時(shí)展開式中有一次項(xiàng)，否則沒有一次項(xiàng)，故③錯(cuò)誤，④正確，故選D.答案：D\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n展開式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．180 B．90C．45 D．360解析：只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n＝10，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝2rCeq\o\al(r,10)x5－eq\f(5,2)r，令5－eq\f(5,2)r＝0，得r＝2，∴T3＝4Ceq\o\al(2,10)＝180.故選A.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．紹興臭豆腐聞名全國(guó)，一外地學(xué)者來紹興旅游，買了兩串臭豆腐，每串3顆(如圖)．規(guī)定：每串臭豆腐只能自左向右一顆一顆地吃，且兩串可以自由交替吃．請(qǐng)問：該學(xué)者將這兩串臭豆腐吃完，有________種不同的吃法．(用數(shù)字作答)解析：如圖所示，先吃A的情況，共有10種，如果先吃D情況相同，共有20種．答案：2014．某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名隊(duì)員參加比賽，種子選手都必須在內(nèi)，那么不同的選法共有________．解析：不同的選法共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35(種)．答案：35種15．二項(xiàng)式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析：(x＋y)5的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－ryr，令r＝3，得含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)＝10.答案：1016．在(x－eq\r(2))2008的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S，當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)S＝________.解析：設(shè)(x－eq\r(2))2023＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2008x2008當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，有a0＋a1·eq\r(2)＋a2·(eq\r(2))2＋…＋a2008·(eq\r(2))2008＝0①當(dāng)x＝－eq\r(2)時(shí)，有a0－a1·eq\r(2)＋a2·(eq\r(2))2－…－a2007(eq\r(2))2007＋a2008(eq\r(2))2008＝(2eq\r(2))2008②①－②得2[a1·eq\r(2)＋a3·(eq\r(2))3＋a5·(eq\r(2))5＋…＋a2007(eq\r(2))2007]＝－23012，∴x＝eq\r(2)時(shí)，S＝a1·eq\r(2)＋a3·(eq\r(2))3＋…＋a2007·(eq\r(2))2007＝－23011.答案：－23011三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．(1)從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？(2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？解析：從O型血的人中選1人有28種不同的選法，從A型血的人中選1人有7種不同的選法，從B型血的人中選1人有9種不同的選法，從AB型血的人中選1人有3種不同的選法．(1)任選1人去獻(xiàn)血，即無論選哪種血型的哪一個(gè)人，這件“任選1人去獻(xiàn)血”的事情都能完成，所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有28＋7＋9＋3＝47種不同的選法．(2)要從四種血型的人中各選1人，即要在每種血型的人中依次選出1人后，這件“各選1人去獻(xiàn)血”的事情才完成，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有28×7×9×3＝5292種不同的選法．18．(本小題滿分12分)有6個(gè)球，其中3個(gè)一樣的黑球，紅、白、藍(lán)球各1個(gè)，現(xiàn)從中取出4個(gè)球排成一列，共有多少種不同的排法？解析：分三類：(1)若取1個(gè)黑球，和另三個(gè)球，排4個(gè)位置，有Aeq\o\al(4,4)＝24種；(2)若取2個(gè)黑球，從另三個(gè)球中選2個(gè)排4個(gè)位置，2個(gè)黑球是相同的，自動(dòng)進(jìn)入，不需要排列，即有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36種；(3)若取3個(gè)黑球，從另三個(gè)球中選1個(gè)排4個(gè)位置，3個(gè)黑球是相同的，自動(dòng)進(jìn)入，不需要排列，即有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)＝12種；綜上，共有24＋36＋12＝72種不同的排法．19．(本小題滿分12分)解方程：(1)Ceq\o\al(x＋1,13)＝Ceq\o\al(2x－3,13)；(2)Ceq\o\al(x－2,x＋1)＋Ceq\o\al(x－3,x＋2)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3).解析：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，∴x＝4或x＝5，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤13,0≤2x－3≤13,x∈N*))得2≤x≤8且x∈N*，∴原方程的解為x＝4或x＝5.(注：上述求解過程中的不等式組可以不解，直接把x＝4或x＝5代入檢驗(yàn)，這樣運(yùn)算量小得多)(2)原方程可化為Ceq\o\al(x－2,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，即Ceq\o\al(5,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，∴eq\f(x＋3！,5！x－2！)＝eq\f(x＋3！,10·x！)，∴eq\f(1,120x－2！)＝eq\f(1,10·xx－1·x－2！).∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3(舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的解．20．(本小題滿分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3,b)－\f(1,\r(5b))))5展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))n展開式中含a－1的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．解析：設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3,b)－\f(1,\r(5b))))5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(4eq\r(3,b))5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5b))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5))))r·45－rCeq\o\al(r,5)·beq\f(10－5r,6)(r＝0,1,2,3,4,5)．若它為常數(shù)項(xiàng)，則eq\f(10－5r,6)＝0，∴r＝2，代入上式，∴T3＝27.即常數(shù)項(xiàng)是27，從而可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))n中n＝7，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))7二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式知，含a－1的項(xiàng)是第4項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)是35.21．(本小題滿分13分)三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？(5)甲必須在乙的右邊，可有多少種不同的排法？解析：(1)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種不同排法．對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同的排法．(2)要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空位，這樣共有四個(gè)空位，加上兩端兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰．由于五個(gè)男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有Aeq\o\al(3,6)種方法，因此共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,6)＝14400種不同的排法．(3)方法一：因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選五個(gè)男生中的兩個(gè)，有Aeq\o\al(2,5)種排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同的排法．方法二：三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中去掉女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(7,7)種排法，但這樣兩端都是女生的排法在去掉女生排在首位的情況時(shí)被去掉一次，在去掉女生在末位的情況時(shí)又被去掉一次，所以還需加上一次，由于兩端都是女生有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同的排法．(4)方法一：因?yàn)橹灰髢啥瞬荒芏寂排?，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有Aeq\o\al(1,5)A