高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 同課異構(gòu)

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是()①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面；對于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直．答案：A2．已知直線a∥直線b，b⊥平面α，則()A．a(chǎn)∥α B．a(chǎn)?αC．a(chǎn)⊥α D．a(chǎn)是α的斜線解析：答案：C3．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：連接AC，因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．答案：C4．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，則直線BA1與平面DD1B1B所成的角是()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：如圖取B1D1的中點O1，連接A1O1，易證A1O1⊥平面DD1B1B.連接O1B，則O1B為A1B在平面DD1B1B內(nèi)的射影，∴∠A1BO1為所求的線面角．在Rt△A1O1B中，sin∠A1BO1＝eq\f(A1O1,A1B)＝eq\f(1,2)，∴∠A1BO1＝30°.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形一定是________．解析：如圖，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，平行四邊形ABCD為菱形．答案：菱形6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.答案：30°三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點．求證：AD⊥平面A1DC1.證明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.∵AD?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知計算得AD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(2)，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AAeq\o\al(2,1)，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.8．如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD對角線的交點，而CDE是等邊三角形，棱EF∥BC，且EF＝eq\f(1,2)BC，設(shè)BC＝eq\r(3)CD.求證：EO⊥平面CDF.證明：如圖所示，取CD中點M，連接EM，F(xiàn)M，OM，F(xiàn)O.∵四邊形ABCD為矩形，∴OM∥AD∥BC，且OM＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC.又EF∥BC且EF＝eq\f(1,2)BC，∴四邊形EFOM是平行四邊形．又△CDE是等邊三角形，CM＝DM.∴EM⊥CD，且EM＝eq\f(\r(3),2)CD＝eq\f(1,2)CB＝EF，∴四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM.∵CD⊥OM，CD⊥EM，EM∩OM＝M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而FM∩CD＝M，∴EO⊥平面CDF.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，求PA與平面ABC所成角的大?。馕觯寒嫵鋈庵鵄BC－A1B1C1，作出PA與平面ABC所成的角，解三角形求角．如圖所示，P為正三角形A1B1C1的中心，設(shè)O為△ABC的中心，由題意知PO⊥平面ABC，連接OA，則∠PAO即為PA與平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，則S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，VABC－A1B1C1＝S·PO＝eq\f(9,4)