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函數(shù)的應(yīng)用3.函數(shù)與方程第1課時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.(重點(diǎn))2.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn).(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1零點(diǎn)的概念閱讀教材P91至P92例1,完成下列問(wèn)題.1.函數(shù)零點(diǎn)的定義一般地,我們把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).2.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系(1)函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.(2)函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是它的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)y=x2+3x+2的零點(diǎn)是________,其圖象與x軸的交點(diǎn)為_(kāi)_______.【解析】令x2+3x+2=0,則(x+2)(x+1)=0,∴x=-1或x=-2.【答案】-1或-2(-1,0),(-2,0)教材整理2零點(diǎn)存在性定理閱讀教材P92例2至P93“思考”,完成下列問(wèn)題.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn).1.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有零點(diǎn).()(2)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間函數(shù)值保持同號(hào).()(3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),則一定有f(a)·f(b)<0.()【解析】(1)可舉反例f(x)=x2+1無(wú)零點(diǎn).(2)兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)值可能會(huì)保持同號(hào),也可以異號(hào),如f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)有三個(gè)零點(diǎn)即x=1,2,3,在(1,2)上f(x)為正,在(2,3)上f(x)為負(fù),故在零點(diǎn)1和3之間有正有負(fù).(3)舉例f(x)=x2-1,選擇區(qū)間(-2,2),顯然f(x)在(-2,2)上有零點(diǎn)1和-1,但是f(2)·f(-2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù),且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,f(2)·f(5)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.【解析】由f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù),可得f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閒(x)是一條連續(xù)不斷的曲線,f(2)·f(5)<0,所以f(x)在(2,5)上至少有一個(gè)零點(diǎn),可得f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).【答案】1[小組合作型]求函數(shù)的零點(diǎn)求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=2x-8;(3)f(x)=1-log4x;(4)f(x)=(ax-1)(x-2)(a∈R).【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的方程根的關(guān)系,求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根.【自主解答】(1)∵f(x)=x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1),令f(x)=0,得x=0,1,-1,故f(x)的零點(diǎn)為x=-1,0,1.(2)令f(x)=2x-8=0,∴x=3,故f(x)的零點(diǎn)為x=3.(3)令f(x)=1-log4x=0,∴l(xiāng)og4x=1,∴x=4.故f(x)的零點(diǎn)為x=4.(4)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)為f(x)=-x+2,令f(x)=0,得x=2.∴f(x)的零點(diǎn)為2.當(dāng)a=eq\f(1,2)時(shí),f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-1))(x-2)=eq\f(1,2)(x-2)2,令f(x)=0得x1=x2=2.∴f(x)有零點(diǎn)2.當(dāng)a≠0且a≠eq\f(1,2)時(shí),令f(x)=0得x1=eq\f(1,a),x2=2.∴f(x)的零點(diǎn)為eq\f(1,a),2.綜上,當(dāng)a=0時(shí),f(x)的零點(diǎn)為2;當(dāng)a=eq\f(1,2)時(shí),函數(shù)有零點(diǎn)2;當(dāng)a≠0且a≠eq\f(1,2)時(shí),f(x)的零點(diǎn)為eq\f(1,a),2.函數(shù)零點(diǎn)的求法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí),通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn);否則,函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn).[再練一題]1.若函數(shù)f(x)=x2-ax+b有兩個(gè)零點(diǎn)1和4,則函數(shù)g(x)=bx2-ax+1的零點(diǎn)為_(kāi)_______.【解析】由韋達(dá)定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1+4=5,,b=1×4=4,))∴g(x)=4x2-5x+1=(4x-1)(x-1),令g(x)=0,則x=eq\f(1,4)或1,即g(x)的零點(diǎn)為eq\f(1,4)或1.【答案】eq\f(1,4)或1零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為_(kāi)_______.(填序號(hào))①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4),0));②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4)));③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,2)));④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(3,4))).【精彩點(diǎn)撥】利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷,即是否具備f(a)f(b)<0,也可以利用函數(shù)圖象判斷,即函數(shù)圖象與x軸是否有交點(diǎn).【自主解答】∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))=eq\r(4,e)-2<0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=eq\r(e)-1>0,∴零點(diǎn)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,2)))上.【答案】③1.判斷零點(diǎn)所在區(qū)間有兩種方法:一是利用零點(diǎn)存在性定理,二是利用函數(shù)圖象.2.要正確理解和運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)在函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷中的應(yīng)用,若f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則f(x)在(a,b)上必有零點(diǎn),若f(a)·f(b)>0,則f(x)在(a,b)上不一定沒(méi)有零點(diǎn).[再練一題]2.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以斷定方程ex-(x+3)=0(e≈的一個(gè)根所在的區(qū)間是________.(填序號(hào))x-10123ex1x+323456①(-1,0);②(0,1);③(1,2);④(2,3).【解析】設(shè)f(x)=ex-(x+3),由上表可知,f(-1)=-2<0,f(0)=1-3<0,f(1)=-4<0,f(2)=-5>0,f(3)=-6>0,∴f(1)·f(2)<0,因此方程ex-(x+3)=0的根在(1,2)內(nèi).【答案】③[探究共研型]方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷探究1如何去求一個(gè)方程的零點(diǎn)?【提示】(1)可以解方程;(2)可以結(jié)合圖象;(3)可以用零點(diǎn)存在性定理.探究2求方程零點(diǎn)的方法有何優(yōu)缺點(diǎn)?能否用來(lái)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?【提示】解方程法.優(yōu)點(diǎn):解的準(zhǔn)確,不需估算.缺點(diǎn):有些方程,我們解不出根的精確值,如f(x)=2x-3x.圖象法和零點(diǎn)存在性定理解得的零點(diǎn)未必是精確值,但我們可以通過(guò)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(1)函數(shù)f(x)=ex-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2)函數(shù)f(x)=lnx-eq\f(1,x-1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.(3)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(a∈R),試討論方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).【精彩點(diǎn)撥】(1)利用函數(shù)的零點(diǎn)的概念解方程求解.(2)利用函數(shù)圖象來(lái)求解.(3)原方程可化為(x-1)(3-x)+x=a,利用直線y=a與拋物線y=(x-1)(3-x)+x的位置關(guān)系討論,也可以利用判別式.【自主解答】(1)令f(x)=0,∴ex-3=0,∴x=ln3,故f(x)只有1個(gè)零點(diǎn).(2)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=lnx與y=eq\f(1,x-1)的圖象,如圖所示,函數(shù)y=lnx與y=eq\f(1,x-1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)=lnx-eq\f(1,x-1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【答案】(1)1(2)2(3)法一:原方程化為-x2+5x-3=a.令f(x)=-x2+5x-3,g(x)=a.作函數(shù)f(x)=-x2+5x-3的圖象,拋物線的開(kāi)口向下,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(12-25,4×-1)=eq\f(13,4),畫(huà)出如圖所示的簡(jiǎn)圖:由圖象可以看出:①當(dāng)a>eq\f(13,4)時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根;②當(dāng)a=eq\f(13,4)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③當(dāng)a<eq\f(13,4)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.法二:原方程化為x2-5x+3+a=0.Δ=25-4(3+a)=-4a①當(dāng)Δ<0,即a>eq\f(13,4)時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根;②當(dāng)Δ=0,即a=eq\f(13,4)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③當(dāng)Δ>0,即a<eq\f(13,4)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法主要有:(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來(lái)確定零點(diǎn)的存在性,然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).[再練一題]3.若把(3)中x加以限制(1<x<3),求解相應(yīng)問(wèn)題.【解】原方程可化為-x2+5x-3=a(1<x<3),作函數(shù)f(x)=-x2+5x-3(1<x<3)的圖象,注意f(x)=-x2+5x-3的對(duì)稱(chēng)軸為x=eq\f(5,2),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))=-eq\f(25,4)+eq\f(25,2)-3=eq\f(50-25-12,4)=eq\f(13,4),f(1)=-1+5-3=1,f(3)=-9+15-3=3.故f(x)在1<x<3上的草圖如圖所示:由圖可知,①當(dāng)a=eq\f(13,4)或1<a≤3時(shí),方程有一解;②當(dāng)3<a<eq\f(13,4)時(shí),方程有兩解;③當(dāng)a≤1或a>eq\f(13,4)時(shí),方程無(wú)解.1.下列圖象表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是________.(填序號(hào))【解析】②③④的圖象均與x軸有交點(diǎn),故函數(shù)均有零點(diǎn),①的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),故函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).【答案】①2.函數(shù)f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.【解析】∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),由f(x)=0,得x=-5或x=1或x=2.【答案】33.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,有如下的x,f(x)對(duì)應(yīng)值表:x1234567f(x)---由表可知函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有________個(gè).【解析】∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)·f(7)<0,∴共有4個(gè)區(qū)間.【答案】44.方程-eq\f(2,21)x=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是________.【解析】設(shè)f(x)=-eq\f(2,21)x,則f(x)為減函數(shù),值域?yàn)镽,故有1個(gè).【答案】15.關(guān)于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有兩實(shí)根
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