高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語單元測試 全國獲獎

第十三講簡易邏輯（AB版）一．知識梳理：1．四種命題的關(guān)系（1）原命題為真（假），其逆命題不一定為真（假）；（2）原命題為真（假），其否命題不一定為真（假）；（3）原命題為真（假），其逆否命題一定為真（假）；（4）若命題的逆命題為真（假）時，其否命題一定為真（假）（兩者互為逆否命題）如圖所示，根據(jù)互為逆否命題的兩個命題的真值相同，可知四種命題中實質(zhì)不同的命題只有原命題和逆命題兩類，另外兩類只是它們的不同表示形式．2．充分條件、必要條件、充要條件(1)．定義如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時是的必要條件．(2)．從邏輯推理關(guān)系上看①若且，則是的充分不必要條件；②若且，則是的必要不充分條件；③若且，則是的的充要條件；④若且，則不是的的充分條件，也不是的必要條件．3．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作，讀作“且”（2）一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作，讀作“或”（3）一般地，對一個命題否定，得到一個新命題，記作,讀作“非”或“的否定”．邏輯聯(lián)結(jié)詞的真值規(guī)律如表所示．口訣：（1）“且”，一假則假，全真才真；（2）“或”，一真則真，全徦才假；（3）“”，真假相對．4．全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與存在量詞，短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．全稱命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與特稱量詞，短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示，含有存在量詞的命題叫做特稱命題．特稱命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中的元素，使成立”（特稱命題也叫存在性命題）二．高考鏈接1．（15年天津理科）設(shè)，則“”是“”的（）．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A考點：充分條件與必要條件．2．(15年浙江理科)命題“的否定形式是（）．A．且 B．或C．且 D．或【答案】：D3．（15年湖南理科）設(shè),是兩個集合，則””是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C．【解析】試題分析：由題意得，，反之，，故為充要條件，選C．考點：集合的關(guān)系．4．（15年山東理科）若“”是真命題，則實數(shù)的最小值為．【解析】：“”是真命題，則，于是實數(shù)的最小值為1．三．典例分析題型一．四種命題及真假關(guān)系【例1】命題：是函數(shù)圖象的一條對稱軸；：是的最小正周期，下列復(fù)合命題：①；②；③非；④非，其中真命題有()．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解析】：由于命題p是假命題，命題q是真命題，所以p∧q為假命題，p∨q為真命題，非p是真命題，非q是假命題，因此①②③④中只有①③為真．【答案】：C 【變式1】(2023·湖北卷)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題是“甲降落在指定范圍”，是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為()．A．(p)∨(q) B．p∨(q) C．(p)∧(q) D．p∨q【解析】命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”．選A．或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”等價于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“p∧q”的否定．選A．【例2】(2023·安徽“江南十?！甭?lián)考)命題：若，則a與b的夾角為銳角；命題：若函數(shù)在及及上都是減函數(shù)，則在上是減函數(shù)．下列說法中正確的是()．A．“或”是真命題 B．“或”是假命題C．非為假命題 D．非為假命題【解析】當(dāng)a·b>0時，a與b的夾角為銳角或零度角，∴命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))所以“p或q”是假命題，選B．【答案】B 【變式1】(2023·湖南五市十校聯(lián)考)下列命題中是假命題的是()．使 B．，函數(shù)都不是偶函數(shù)C．，使是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減D．，函數(shù)有零點【解析】對于A，當(dāng)α＝0時，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立；對于B，當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數(shù)；對于C，當(dāng)m＝2時，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝eq\f(1,x)，滿足條件；對于D，令lnx＝t，?a＞0，對于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故滿足條件．綜上可知，選B．【變式2】1．(2023·天津，5)下列命題中，真命題是()．A．，使函數(shù)是偶函數(shù)B．，使函數(shù)是奇函數(shù)C．，函數(shù)都是偶函數(shù)D．，函數(shù)都是奇函數(shù)【答案】A【解析】當(dāng)m＝0時，f(x)＝x2是偶函數(shù)，故A正確．因為y＝x2是偶函數(shù)，所以f(x)＝x2＋mx不可能是奇函數(shù)，故B錯．當(dāng)m＝1時，f(x)＝x2＋x是非奇非偶函數(shù)，故C、D錯． 【變式3】(2023·湖南，2)下列命題中的假命題是()．， B．，C．， D．,【答案】C【解析】對于A選項，∵lgx＝0，∴x＝1，為真命題；對于B選項，∵tanx＝1，∴x＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，為真命題；對于C選項，∵x3>0，∴x>0，為假命題；對于D選項，∵2x>0，∴x∈R，為真命題，故選C．【例3】(2023·膠州三中檢測)命題：“若，則”的逆否命題是()．A．若，則或 B．若，且，則C．若，則 D．若，或，則【答案】D【例4】（2023?湛江一模）設(shè)命題：“若對任意，，則”；命題：“設(shè)M為平面內(nèi)任意一點，則A、B、C三點共線的充要條件是存在角α，使”，則（）．A．為真命題 B．為假命題 C．為假命題 D．為真命題解答：【解析】：因為|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣因為，所以==所以A、B、C三點共線，反之，A、B、C三點共線，所以存在λ，μ使得其中λ+μ=1所以存在α使得λ=sin2α>0，μ=cos2α>0所以存在角α，使”，為必要不充分條件所以命題q為假命題，所以￢p∧q為假命題，故選C．題型二．充分必要條件判斷【例5】(2023·山東)對于函數(shù)，，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的()．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若y＝f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但若y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函數(shù)，故選B．【答案】B【變式1】（上海市嘉定2023屆高三一模）已知，，則“”是“在R上恒成立”的()．A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】f(x)≥g(x)x2–2x+3≥kx–1x2–(2+k)x+4≥0，此式對任意實數(shù)x都成立△=(2+k)2-16≤0-4≤k+2≤4-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要條件，故選A．【變式2】已知是兩個非零向量，給定命題，命題使得，則是的()條件．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3】（15北京理科）設(shè)，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的()．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：因為，是兩個不同的平面，是直線且．若“”，則平面可能相交也可能平行，不能推出，反過來若，，則有，則“”是“”的必要而不充分條件．考點：1．空間直線與平面的位置關(guān)系；2．充要條件．B組【例6】定義：若對定義域上的任意實數(shù)都有，則稱函數(shù)為上的零函數(shù)．根據(jù)以上定義，“是上的零函數(shù)或是上的零函數(shù)”為“與的積函數(shù)是上的零函數(shù)”的________條件．【解析】設(shè)D＝(－1,1)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈－1，0]，,x，x∈0，1，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈－1，0]，,0，x∈0，1，))顯然F(x)＝f(x)·g(x)是定義域D上的零函數(shù)，但f(x)與g(x)都不是D上的零函數(shù)．答案充分不必要【變式1】設(shè)，則“”是“”的()條件．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（15年安徽文科）設(shè)，，則是成立的()．A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：∵，∴，但，∴是成立的必要不充分條件，故選C．考點：充分必要條件的判斷．【變式3】（15年陜西理科）“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：因為，所以或，因為“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A．考點：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件．題型三．參數(shù)范圍【例7】(2023·江西六校聯(lián)考)已知命題都有”．命題，使得成立”，若命題“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為()． B． C． D．【解析】若p是真命題，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命題，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，則Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2．命題“p∧q”是真命題，則p是真命題，q也是真命題，故有a≤－2或a＝1．【答案】C【變式1】已知命題：方程有兩個不等的負根；命題：方程無實根．若“”為真，“”為假，求實數(shù)的取值范圍．【解析】若方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0，,m＞0，))解得m＞2，即命題p：m＞2．若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根，則Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．因“p∨q”為真，所以p，q至少有一個為真，又“p∧q”為假，所以命題p，q至少有一個為假，因此，命題p，q應(yīng)一真一假，即命題p為真、命題q為假或命題p為假、命題q為真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤1或m≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1＜m＜3.))解得：m≥3或1＜m≤2，即實數(shù)m的取值范圍為[3，＋∞)∪(1,2]．A組【變式2】已知命題：“，使”為真命題，則的取值范圍是()．A． B． C． D．【變式3】已知命題，，命題，恒成立，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是()．A． B． C． D．【變式4】設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是()．A．3 B．4 C．3或4 D．1或3或4 【例8】已知，設(shè)命題：函數(shù)為減函數(shù)．命題：當(dāng)時，函數(shù)恒成立．如果“或”為真命題，“且”為假命題，求的取值范圍．【解析】由命題p為真知，0<c<1，由命題q為真知，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，要使此式恒成立，需eq\f(1,c)<2，即c>eq\f(1,2)，若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則p、q中必有一真一假，當(dāng)p真q假時，c的取值范圍是0<c≤eq\f(1,2)；當(dāng)p假q真時，c的取值范圍是c≥1．綜上可知，c的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|0<c≤\f(1,2)或c≥1))．B組【變式1】(2023·錦州月考)命題：關(guān)于的不等式2對一切恒成立，：函數(shù)是增函數(shù)，若或為真，且為假，求實數(shù)的取值范圍．【解析】設(shè)g(x)＝x2＋2ax＋4，由于關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4＞0對一切x∈R恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2．又∵函數(shù)f(x)＝(3－2a)x是增函數(shù)，∴3－2a＞1，∴a＜1．又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假．(1)若p真q假，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＜a＜2，,a≥1，))∴1≤a＜2；(2)若p假q真，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－2或a≥2，,a＜1，))∴a≤－2．綜上可知，所求實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[1,2)．【變式2】已知命題：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；命題：不等式對任意實數(shù)恒成立．若是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【解】：命題P函數(shù)y＝loga(1－2x)在定義域上單調(diào)遞增；∴0<a<1．又∵命題Q不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對任意實數(shù)x恒成立；∴a＝2或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4a－22＋16a－2<0，))即－2<a≤2．∵P∨Q是真命題，∴a的取值范圍是－2<a≤2B組【變式3】已知命題：關(guān)于的不等式的解集是，命題：函數(shù)的定義域為R，如果為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍．【解析】由關(guān)于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－4a2＜0，))解得a＞eq\f(1,2)． 因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p和q一真一假，當(dāng)p假，q真時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＞\f(1,2)))?a＞1；當(dāng)p真，q假時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a≤\f(1,2)))?0＜a≤eq\f(1,2)．綜上，知實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．【例9】設(shè)：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；，如果“”是真命題，“或”也是真命題，求實數(shù)的取值范圍．解析：在區(qū)間（4，+∞）上遞增，在（4，+∞）上遞增，故 …………（3分）由 …………（6分）如果“”為真命題，則為假命題，即 …………（8分）又因為為真，則為真，即由可得實數(shù)的取值范圍是 …………（12分）B組【變式1】設(shè)命題，命題：對任何，都有成立，命題且為假，或為真，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】－eq\f(1,2)<a≤0或eq\f(1,2)≤a<1【解析】若命題p為真，則0<a<1．若命題q為真，則Δ＝16a2－4<0，－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2)．由命題p且q為假，p或q為真，可知p、q一真一假．當(dāng)p真q假時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,a≤－\f(1,2)或a≥\f(1,2)))，所以eq\f(1,2)≤a<1．當(dāng)p假q真時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1,－\f(1,2)<a<\f(1,2)))，所以－eq\f(1,2)<a≤0．綜上，實數(shù)a的取值范圍是－eq\f(1,2)<a≤0或eq\f(1,2)≤a<1．B組【例10】命題關(guān)于的不等式，對一切恒成立，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)．若或為真，且為假，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】已知命題關(guān)于的不等式的解集為，命題函數(shù)為增函數(shù)．若命題為真命題，則實數(shù)的取值范圍．【變式2】給定兩個命題：對任意實數(shù)，都有恒成立．關(guān)于的方程有實數(shù)根．如果與中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍．【變式3】已知，，且是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．題型四．全稱命題的否定【例11】(2023·遼寧)已知命題，則非為()．A． B．C．, D．,【解析】特稱命題的否定是全稱命題．即p：?x∈M，p(x)，則非p：?x∈M，非p(x)．故選A．【答案】A【變式1】命題“對任意的”的否定是()．A． B．C． D．【變式2】（15年新課標1理科）設(shè)命題P：，，則為（）．A．, B．,C．, D．,=【答案】C【解析】:，故選C．【例12】（安徽省宣城市6校2023屆高三聯(lián)合測評考）已知定義域為的函數(shù)不是奇函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】奇函數(shù)定義是一個全稱命題,當(dāng)該命題為假時,其否命題必為真． 【變式1】(2023·北京海淀模擬)已知命題：，，那么下列結(jié)論正確的是()．A．：， B．：，C．：， D．：，【答案】B【解析】存在性(特稱)命題的否定是任意性(全稱)命題．故選B．【變式2】（2023?瑤海區(qū)校級一模）“若且，則全為”的否命題是（）．A．若且，則全不為B．若且，則不全為C．若且x，y全為，則D．若且，則解答：【解析】：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的題設(shè)，得到否命題的題設(shè)“若x，y∈R且x2+y2≠0”，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的結(jié)論，得到否命題的結(jié)論“則x，y不全為0”．由此得到命題“若x，y∈R且x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題是：若x，y∈R且x2+y2≠0，則x，y不全為0．故選B．題型五．綜合【例13】(2023·山西四校聯(lián)考)下列有關(guān)命題的說法正確的是 ()．A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“，使得”的否定是“，均有”D．命題“若，則”的逆否命題為真命題【解析】對于A，命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，因此選項A不正確；對于B，由x＝－1得x2－5x－6＝0，因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分條件，選項B不正確；對于C，命題“?x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x－1≥0”，因此選項C不正確；對于D，命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”是真命題，因此它的逆否命題為真命題，選項D正確．故選D．【變式1】下列結(jié)論：①若命題，；命題，．則命題“”是假命題；②已知直線，，則的充要條件是；③命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”．其中正確結(jié)論的序號為()．A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【變式2】(2023·遼寧大連)下列說法錯誤的是()．A．已知命題為“若，則”，則為“若，則”B．若為假命題，則、均為假命題C．的一個充分不必要條件是D．“全等三角形的面積相等”的逆否命題是假命題【答案】D【解析】A、B、C均正確，D中“全等三角形的面積相等”為真命題，故其逆否命題為真命題，故選D．【變式3】(2023·浙江杭州質(zhì)檢)下列命題中正確的是()．A．設(shè)，則，必有B．，使得C．設(shè)，則函數(shù)是奇函數(shù)D．設(shè)，則【答案】C【解析】∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,12)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))上單調(diào)遞減，∴A錯；eq\f(1,2)sinx0＋eq\f(\r(3),2)cosx0＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,3)))≤1，故B不正確；y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sinx，為奇函數(shù)，故C正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f