高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程第2章3

2．5圓錐曲線的統(tǒng)一定義[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義.2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實際問題．[知識鏈接]1．橢圓上一點到準(zhǔn)線距離與它到對應(yīng)焦點距離之比等于多少？答：eq\f(1,e).2．動點M到一個定點F的距離與到一條定直線l的距離之比為定值的軌跡一定是圓錐曲線嗎？答：當(dāng)F?l時，動點M軌跡是圓錐曲線．當(dāng)F∈l時，動點M軌跡是過F且與l垂直的直線．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡．0<e<1時，它表示橢圓；e>1時，它表示雙曲線；e＝1時，它表示拋物線．2．對于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，與F(c,0)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l：x＝eq\f(a2,c)，與F′(－c，0)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l′：x＝－eq\f(a2,c)；如果焦點在y軸上，則兩條準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c).要點一統(tǒng)一定義的簡單應(yīng)用例1橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上有一點P，它到左準(zhǔn)線的距離等于，那么，P到右焦點的距離為________．答案8解析如圖所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1,＝e＝eq\f(4,5)，∴PF1＝2，∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.規(guī)律方法橢圓的兩個定義從不同角度反映了橢圓的特征，解題時要靈活運用．一般地，如果遇到有動點到兩定點距離和的問題，應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓的定義；如果遇到有動點到一定點及一定直線距離的問題，應(yīng)自然聯(lián)想到統(tǒng)一定義；若兩者都涉及，則要綜合運用兩個定義才行．跟蹤演練1已知橢圓eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點P到右焦點F2的距離為b(b>1)，求P到左準(zhǔn)線的距離．解方法一由eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得a＝2b，c＝eq\r(3)b，e＝eq\f(\r(3),2).由橢圓第一定義，PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.由橢圓第二定義，eq\f(PF1,d1)＝e，d1為P到左準(zhǔn)線的距離，∴d1＝eq\f(PF1,e)＝2eq\r(3)b，即P到左準(zhǔn)線的距離為2eq\r(3)b.方法二∵eq\f(PF2,d2)＝e，d2為P到右準(zhǔn)線的距離．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴d2＝eq\f(PF2,e)＝eq\f(2\r(3),3)b.又橢圓的兩準(zhǔn)線的距離為2·eq\f(a2,c)＝eq\f(8\r(3),3)b，∴P到左準(zhǔn)線的距離為eq\f(8\r(3),3)b－eq\f(2\r(3),3)b＝2eq\r(3)b.要點二應(yīng)用統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化求最值例2已知橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1內(nèi)有一點P(1，－1)，F(xiàn)是橢圓的右焦點，在橢圓上求一點M，使MP＋2MF之值為最?。庠O(shè)d為M到右準(zhǔn)線的距離．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(MF,\f(1,2))＝d，即d＝2MF(如圖)．故MP＋2MF＝MP＋MM′.顯然，當(dāng)P、M、M′三點共線時，所求的值為最小，從而求得點M的坐標(biāo)為(eq\f(2,3)eq\r(15)，－1)．規(guī)律方法本例中，利用統(tǒng)一定義，將橢圓上點M到焦點F的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再利用圖形的形象直觀，使問題得到簡捷的解決．跟蹤演練2已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦點為F，點A(9,2)，試在雙曲線上求一點M，使MA＋eq\f(3,5)MF的值最小，并求這個最小值．解過M作MN垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線l于N，由第二定義可知MN＝eq\f(MF,e)(如圖)．又a＝3，b＝4，c＝5，e＝eq\f(5,3)，∴MN＝eq\f(3,5)MF，∴MA＋eq\f(3,5)MF＝MA＋MN，顯然當(dāng)M、N、A三點共線時MA＋MN＝AN為最小，即MA＋eq\f(3,5)MF取得最小值，此時AN＝9－eq\f(a2,c)＝9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5)，∴MA＋eq\f(3,5)MF的最小值為eq\f(36,5)，此時點M(eq\f(3\r(5),2)，2)．要點三圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應(yīng)用例3已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,\f(9,25)a2)＝1上的點，F(xiàn)2是右焦點，且AF2＋BF2＝eq\f(8,5)a，AB的中點N到左準(zhǔn)線的距離等于eq\f(3,2)，求此橢圓方程．解設(shè)F1為左焦點，則根據(jù)橢圓定義有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－eq\f(8,5)a＝eq\f(12,5)a.再設(shè)A、B、N三點到左準(zhǔn)線距離分別為d1，d2，d3，由梯形中位線定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f(9,25)a2，∴c2＝eq\f(16,25)a2，∴離心率e＝eq\f(4,5)，由統(tǒng)一定義AF1＝ed1，BF1＝ed2，∴AF1＋BF1＝eq\f(12,5)a＝e(d1＋d2)＝eq\f(12,5)，∴a＝1，∴橢圓方程為x2＋eq\f(y2,\f(9,25))＝1.規(guī)律方法在圓錐曲線有關(guān)問題中，充分利用圓錐曲線的共同特征，將曲線上的點到準(zhǔn)線的距離與到焦點的距離相互轉(zhuǎn)化是一種常用方法．跟蹤演練3設(shè)P(x0，y0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點，F(xiàn)1為其左焦點．(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直．解(1)對應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a2,c)，根據(jù)統(tǒng)一定義：eq\f(PF1,x0＋\f(a2,c))＝e，∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，∴當(dāng)x0＝－a時，(PF1)min＝a＋eq\f(c,a)×(－a)＝a－c；當(dāng)x0＝a時，(PF1)max＝a＋eq\f(c,a)·a＝a＋c.(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝eq\f(4,5).∵PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.將數(shù)據(jù)代入得25＋eq\f(4,5)xeq\o\al(2,0)＝40.∴x0＝±eq\f(5\r(3),2).代入橢圓方程得P點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)，\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)，－\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，－\f(\r(5),2))).1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為________．答案－1<k<1解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋k>0，,1－k>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>－1，,k<1，))即－1<k<1.2．已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是________．答案2解析設(shè)P(x0，y0)，則eq\o(PF,\s\up6(→))1＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(1－x0，－y0)，∴eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(－2x0，－2y0)，∴|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2).∵點P在橢圓上，∴0≤yeq\o\al(2,0)≤1，∴當(dāng)yeq\o\al(2,0)＝1時，|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|取最小值為2.3．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點．滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________．答案(0，eq\f(\r(2),2))解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M點軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點P為橢圓上任意一點，則OP>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，∴(eq\f(c,a))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).4．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率是________．答案eq\f(1,2)解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝c2，①,m2＋n2＝c2，②,c2＝am，③,2n2＝2m2＋c2，④))由②④可得m2＋n2＝2n2－2m2，即n2＝3m2，⑤⑤代入②得4m2＝c2?c＝2m，⑥⑥代入③得4m2＝am?a＝4m.所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).1.三種圓錐曲線的共同特征是曲線上的點到定點的距離與它到定直線距離的比是常數(shù)．2．利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義可實現(xiàn)曲線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的相互轉(zhuǎn)化．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，則實數(shù)a＝______.答案－1解析焦點為(1,0)，代入直線方程，可得a＝－1.2．已知橢圓的準(zhǔn)線方程為y＝±4，離心率為eq\f(1,2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝4，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1.))所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.3．雙曲線3x2－y2＝9，P是雙曲線上一點，則P點到右焦點的距離與P點到右準(zhǔn)線的距離的比值為________．答案2解析由統(tǒng)一定義，所求距離之比即為雙曲線的離心率．雙曲線方程可化為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，得a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(12),\r(3))＝2.4．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點P到左焦點F1的距離為3，則點P到左準(zhǔn)線的距離為________．答案5解析依題意e＝eq\f(3,5)，所以點P到左準(zhǔn)線的距離d＝eq\f(PF1,e)＝5.5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，右準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(\r(3),3)，則雙曲線方程為__________．答案x2－eq\f(y2,2)＝1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,\f(a2,c)＝\f(\r(3),3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝\r(3)，))所以b2＝3－1＝2.所以雙曲線方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.6．已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線與雙曲線x2－y2＝2的左準(zhǔn)線重合，則拋物線的焦點坐標(biāo)為________．答案(1,0)解析雙曲線的左準(zhǔn)線為x＝－1，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.故拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)．7．已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，一條準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(9,5)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝\f(9,5)，,\f(a,b)＝\f(3,4)，,a2＋b2＝c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))所以所求雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.二、能力提升8．已知點P在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上，F(xiàn)1、F2是橢圓的上、下焦點，M是PF1的中點，OM＝4，則點P到下準(zhǔn)線的距離為________．答案eq\f(40,3)解析因為OM是△F1F2P的中位線，所以PF2＝2OM＝8.又e＝eq\f(3,5)，所以P到下準(zhǔn)線的距離d＝eq\f(PF2,e)＝8×eq\f(5,3)＝eq\f(40,3).9．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上橫坐標(biāo)為eq\f(3a,2)的點到右焦點的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．答案(2，＋∞)解析由已知得(eq\f(3a,2)－eq\f(a2,c))e>eq\f(3a,2)＋eq\f(a2,c)，即3c2>5ac＋2a2，所以3e2－5e－2>0，解得e>2或e<－eq\f(1,3)(舍去)．10．在給定的橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為eq\r(2)，焦點到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為1，則橢圓的離心率為________．答案eq\f(\r(2),2)解析設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則右焦點F(c,0)，右準(zhǔn)線l：x＝eq\f(a2,c).把x＝c代入橢圓的方程得y2＝b2(1－eq\f(c2,a2))＝eq\f(b4,a2)，即y＝±eq\f(b2,a).依題設(shè)知eq\f(2b2,a)＝eq\r(2)且eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c)＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b2,a)·eq\f(c,b2)＝eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),2).11．已知雙曲線過點(3，－2)，且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求以雙曲線的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解(1)橢圓的焦點為(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，它也是雙曲線的焦點．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．則由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝2.))所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)可知雙曲線的右準(zhǔn)線為x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(3\r(5),5).它也是拋物線的準(zhǔn)線，所以eq\f(p,2)＝eq\f(3\r(5),5)，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(12\r(5),5)x.12．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，點F2到右準(zhǔn)線l的距離為eq\r(2).(1)求a、b的值；(2)設(shè)M、N是l上的兩個動點，eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0，證明：當(dāng)|eq\o(MN,\s\up6(→))|取最小值時，eq\o(F2F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2M,\s\up6(→))＋eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0.(1)解因為e＝eq\f(c,a)，F(xiàn)2到l的距離d＝eq\f(a2,c)－c，所以由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(a2,c)－c＝\r(2)，))解得c＝eq\r(2)，a＝2.由b2＝a2－c2＝2，得b＝eq\r(2).故a＝2，b＝eq\r(2).(2)證明由c＝eq\r(2)，a＝2得F1(－eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(eq\r(2)，0)，l的方程為x＝2eq\r(2)，故可設(shè)M(2eq\r(2)，y1)，N(2eq\r(2)，y2)．由eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0知(2eq\r(2)＋eq\r(2)，y1)·(2eq\r(2)－eq\r(2)，y2)＝0，得y1y2＝－6，所以y1y2≠0，y2＝－eq\f(6,y1).|eq\o