高中數(shù)學人教A版3第二章隨機變量及其分布單元測試 公開課獎

2.3第一課時離散型隨機變量的均值一、課前準備1．課時目標(1)理解離散型隨機變量的均值的定義；(2)能熟練應用離散型隨機變量的均值公式求值；(3)能熟練應用二項分布、兩點分布、超幾何分布的均值公式求值.2．基礎預探1．若離散型隨機變量X的分布列為X……P……則稱_______________________為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.2.兩點分布：若X服從兩點分布，則EX＝__________.3.二項分布：若隨機變量X服從二項分布，即，則___________.4.超幾何分布：若隨機變量X服從N，M，n的超幾何分布，故=___________.二、學習引領1.隨機變量的均值與樣本的平均值的關系隨機變量的均值反映的是離散型隨機變量的平均取值水平．隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化.對于簡單隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．2.求隨機變量的均值的步驟①分析隨機變量的特點，若為兩點分布、二項分布、超幾何分布模型，則直接套用公式；②否則，根據(jù)題意設出隨機變量，分析隨機變量的取值；③列出分布列；④利用離散型隨機變量的均值公式求解．3.試驗次數(shù)對隨機變量的均值有沒有影響假設隨機試驗進行了ｎ次，其中出現(xiàn)了次，出現(xiàn)了次，…，出現(xiàn)了次；故X出現(xiàn)的總值為＋＋…＋.因此ｎ次試驗中，X出現(xiàn)的均值，即＝.由此可以看出，試驗次數(shù)對隨機變量的均值沒有影響.三、典例導析題型一離散型隨機變量的數(shù)學期望例1某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產(chǎn)品不能通過.（Ⅰ）求第一天通過檢查的概率；（Ⅱ）求前兩天全部通過檢查的概率；（Ⅲ）若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求該車間在這兩天內(nèi)得分X的數(shù)學期望．思路導析：先利用古典概型的知識求的第一二天通過檢查的概率；再利用相互獨立事件的概率乘法便可求的前兩天全部通過檢查的概率；列出X可能的取值，求出其分布列便可利用公式求X的均值．解：（I）因為隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機事件，而第一天有9件正品．所以，第一天通過檢查的概率為． （II）同（I），第二天通過檢查的概率為．因第一天，第二天是否通過檢查相互獨立所以，兩天全部通過檢查的概率為： ．（Ⅲ）記該車間在這兩天內(nèi)得分X的值分別為0，1，2，所以，，． 因此，．方法規(guī)律：求一般離散型隨機變量X的數(shù)學期望，需先找出隨機變量X的可能取值，求出X中每個值的概率，然后利用定義求期望．變式訓練：甲、乙兩人分別獨立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過面試的概率都是，則面試結束后通過的人數(shù)X的數(shù)學期望是()．A． B． C． D．題型二常見離散型分布模型的數(shù)學期望例2根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立（I）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；（Ⅱ）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的期望.思路導析：由題意可知A、B是互斥的，故可利用互斥事件的概率公式求解．（II）顯然符合二項分布模型，故可直接利用公式得到均值．解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；（I） （II）因為，所以期望 方法規(guī)律：隨機變量如服從二點分布、二項分布、超幾何分布，求其數(shù)學期望時可直接套用公式求解，回避繁瑣的求分布列計算過程．變式訓練：某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望_____（結果用最簡分數(shù)表示）.題型三數(shù)學期望的實際應用例3某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次.在A區(qū)每進一球得2分，不進球得0分；在B區(qū)每進一球得3分，不進球得0分，得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別為和，如果選手甲以在A、B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標準，問選手甲應該選擇哪個區(qū)投籃？思路導析：顯然，選手甲投籃的進球數(shù)服從二項分布，從而可利用公式分別求出選手甲在兩個區(qū)得分的期望，從而選擇在那個區(qū)投籃．解：設選手甲在A區(qū)投兩次籃的進球數(shù)為，則，故，則選手甲在A區(qū)投籃得分的期望為.設選手甲在B區(qū)投籃的進球數(shù)為，則，故，則選手甲在B區(qū)投籃得分的期望為.因為，所以選手甲應該選擇A區(qū)投籃.方法規(guī)律：數(shù)學期望反映了隨機變量取值的平均水平，利用數(shù)學期望可以解決實際問題中質(zhì)量的好壞、產(chǎn)量的高低等問題．變式訓練：一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資50萬元，開發(fā)成功的概率為0.9，若開發(fā)不成功，則只能收回10萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否成功都需要花費10萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8，若發(fā)布成功則可以銷售100萬元，否則將起到負面作用只能銷售60萬元，而不召開新聞發(fā)布會則可以銷售75萬元.（1）求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率.（2）求開發(fā)商盈利的最大期望值.四、隨堂練習1．隨機變量，則()．A．３B．１ C．3 D．２2．已知隨機變量滿足，則等于（）．A．0.3B．0.6C．0.7D．13.某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量，鼓勵工人嚴把質(zhì)量關，制定了獎懲4.已知X的分布列為則EX=____________．5．一種投骰子的游戲規(guī)則是：交一元錢可擲一次骰子，若骰子朝上的點數(shù)是1，則中獎4元；若點數(shù)是2或3，則中獎1元；若點數(shù)為4或5或6，則無獎，某人投擲一次，那么他賺錢金額的期望為.6.假定每人生日在各個月份的機會是相等的，求3個人中生日在第一季度的平均人數(shù).五、課后作業(yè)1．設隨機變量等于（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，表示甲機床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考查，、的分布列分是X0l23P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷A．甲比乙質(zhì)量好B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同D．無法判定3．考察一種耐高溫材料的一個重要指標是看其是否能夠承受600度的高溫．現(xiàn)有一種這樣的材料，已知其能夠承受600度高溫的概率是0.7，若令隨機變量，則的均值為____________．4．從編號為1，2，3，4，5的五個大小完全相同的小球中隨機取出3個，用表示其中編號為奇數(shù)的小球的個數(shù)，則.5.某城市有甲、乙、丙三個旅游景點，一位游客游覽這三個景點的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個景點互不影響，用表示該游客離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．求的分布列及均值.6.在某電視節(jié)目的一次有獎競猜活動中，主持人準備了、兩個相互獨立的問題，并且宣布：幸運觀眾答對問題可獲獎金元，答對問題可獲獎金元，先答哪個題由觀眾自由選擇，但只有第一個問題答對，才能再答第二題，否則終止答題．若你被選為幸運觀眾，且假設你答對問題、的概率分別為、．（Ⅰ）記先回答問題獲得的獎金數(shù)為隨機變量X，則X的取值分別是多少？（Ⅱ）你覺得應先回答哪個問題才能使你獲得更多的獎金？請說明理由．參考答案2.3第一課時離散型隨機變量的均值2．基礎預探1.2.ｐ3.np4.三、典例導析例1變式訓練答案：A解析：X的可能取值為0，1，2，則，，所以．例2變式訓練答案：解析：隨機變量X服從N=7，M=2，n=2的超幾何分布，故=．例3變式訓練解：（1）設A=“軟件開發(fā)成功”，B=“新聞發(fā)布會召開成功”，則“軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.（2）設不召開新聞發(fā)布會盈利為X，則X的可能取值為萬元、25萬元，故其盈利的期望值是(萬元)；開發(fā)成功且新聞發(fā)布會成功的概率為，開發(fā)成功新聞發(fā)布會不成功的概率為．設召開新聞發(fā)布會盈利為Y，則Y的可能取值萬元、50萬元、10萬元、萬元，故其盈利的期望值（萬元）．故開發(fā)商應該召開新聞發(fā)布會，且盈利的最大期望是24.8萬元.四、隨堂練習1．答案：B解析：因為，所以．2．答案：A解析：根據(jù)題意隨機變量服從兩點分布，所以．3..4.答案：3解析：.5．答案：0解析:設賺錢金額為X元，則X的可能取值為3，0，，所以6.解：由題意知每人在第一季度的概率為，又得3人中生日在第一季度的人數(shù)為，則～B(3,)，所以,因此，第一季度的平均人數(shù)為.五、課后作業(yè)1．答案：D解析：因為，所以．2.答案：A解析：因為=0.6；．所以，說明平均來看，甲的次品數(shù)要少．3．答案：0.7解析：依題意服從兩點分布，其分布列為X100.70.3所以的均值是=0.7．4．答案：解析：隨機變量服從N=5，M=3，n=3的超幾何分布，故.5.解析：分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、“客人游覽丙景點”為事件．由已知可知