高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（省一等獎(jiǎng)）

教學(xué)設(shè)計(jì)表學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級(jí)高二學(xué)校登封市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)授課教師楊建筑章節(jié)名稱等差數(shù)列的前n項(xiàng)和計(jì)劃學(xué)時(shí)一學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教A版）中“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”。本節(jié)課主要研究如何用“倒序相加法”求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題。在現(xiàn)實(shí)生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題，等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和提供了一種重要方法。課文以高斯故事引課，目的是增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和激情。以問題為紐帶，通過三個(gè)問題組織學(xué)生討論，由特殊（自然數(shù)的前100項(xiàng)和）到一般（自然數(shù)的前n項(xiàng)和），再到一類（等差數(shù)列的前n項(xiàng)和），循序漸進(jìn)。通過類比高斯配對(duì)求和方法，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，討論交流，對(duì)問題進(jìn)行層層遞進(jìn)的探究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從中深刻領(lǐng)會(huì)推導(dǎo)過程所蘊(yùn)涵的邏輯推理方法和數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、尖銳性和批判性。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，不論是它本身的獲取過程，還是它的證明方法的獲取過程，以及它的證明過程，都是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)方法的思維過程，同時(shí)在這些過程中還蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如“特殊與一般”“歸納與類比”“抽象與概括”等。由此可見，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的一個(gè)極好素材。課文最后通過精選例題，分層次練習(xí)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能。學(xué)習(xí)者分析知識(shí)基礎(chǔ)：高二年級(jí)學(xué)生已掌握了函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對(duì)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)有相當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)。在小學(xué)對(duì)高斯的算法也有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了必要的基礎(chǔ)，同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)知識(shí)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想。認(rèn)知水平與能力：高二學(xué)生已具備了解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題的能力，特別是具有一定的自主探究能力和從特殊到一般的能力，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問題。但對(duì)于倒序相加求和的思想還是初步接觸，需要著重啟發(fā)引導(dǎo)。任教班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較扎實(shí)、思維較活躍，能夠較好的掌握教材上的內(nèi)容，大多能夠利用合作探究的方法解決問題。但處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高，特別是對(duì)解決問題的新方法，應(yīng)多用啟發(fā)式教學(xué)方法。教學(xué)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)：本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。等差數(shù)列作為特殊數(shù)列，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容。授課時(shí)，使用函數(shù)的背景和研究方法去認(rèn)識(shí)、研究數(shù)列及其等差數(shù)列前n項(xiàng)和，讓學(xué)生經(jīng)歷從日常生活中的實(shí)際問題抽象出等差數(shù)列和等差數(shù)列前n項(xiàng)和模型的過程，探索并掌握其中的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受到等差數(shù)列及其求和公式的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題。知識(shí)與技能：（1）理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的過程。（2）用方程的思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；公式中五個(gè)量已知其中三個(gè)量求另外兩個(gè)量。會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題。過程與方法：（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；（2）利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力；（3）通過公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義的熏陶；（2）通過公式的運(yùn)用，使學(xué)生養(yǎng)成實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；（3）通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，令人著迷的數(shù)學(xué)家略史，激發(fā)學(xué)生探索的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。教學(xué)重點(diǎn)及解決措施教學(xué)重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題，體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的關(guān)系。解決措施：根據(jù)教材的內(nèi)容和編制特點(diǎn)，為了更有效地突出重點(diǎn)，本節(jié)課應(yīng)采用以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，師生互動(dòng)的“互助探究”的教學(xué)方法和層層設(shè)問“問題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)模式。即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”為基本探究?jī)?nèi)容，讓學(xué)生的思維由問題開始，到類比高斯配對(duì)發(fā)現(xiàn)“倒序相加法”，得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。突破重點(diǎn)的手段是抓住學(xué)生情感的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極探索，以及及時(shí)地鼓勵(lì)使他們知難而進(jìn)。另外抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給以適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。教學(xué)難點(diǎn)及解決措施教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得。解決措施：首先展示高斯算法，使學(xué)生明白高斯算法解決了什么問題，如何解決問題，以及解決問題的方法妙處在何處，還有那些不足等等。高斯算法解決的問題是以首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列{n}的前100項(xiàng)的和；高斯算法的核心思想是利用了等差數(shù)列的性質(zhì)，即與首尾等距的兩項(xiàng)和都相等且等于首尾和，再配對(duì)解決。但高斯算法與等差數(shù)列求和還有一定的距離。主要體現(xiàn)在高斯算法計(jì)算的個(gè)數(shù)是有限的（100個(gè)）且個(gè)數(shù)為偶數(shù)，等差數(shù)列計(jì)算的個(gè)數(shù)是抽象的數(shù)（n個(gè)）且個(gè)數(shù)不一定為偶數(shù)，如何解決矛盾，如何巧妙配對(duì)，又如何在求和時(shí)避免對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶性的分類討論呢？這就基本上抽象出“倒序配對(duì)相加”的思想方法，從而把所有矛盾化解。教學(xué)設(shè)計(jì)思路建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)。在教學(xué)過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，通過設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。依據(jù)的理論建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論（以皮亞杰為代表）認(rèn)為教學(xué)應(yīng)在教師指導(dǎo)下以學(xué)習(xí)者為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的主體作用，和教師的主導(dǎo)作用。教師的作用從傳統(tǒng)的傳遞知識(shí)的權(quán)威轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的輔導(dǎo)者，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的高級(jí)伙伴或合作者。學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握知識(shí)途徑不是被動(dòng)的教師的傳授和機(jī)械的記憶，教師應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的幫助者和促進(jìn)者，教師創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)過程。學(xué)生以積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，利用必要的學(xué)習(xí)資源，借助教師和同學(xué)的幫助，不斷學(xué)習(xí)新知識(shí)，通過意義建構(gòu)將知識(shí)內(nèi)化為新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。信息技術(shù)應(yīng)用分析知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)水平媒體內(nèi)容與形式使用方式使用效果介紹高斯簡(jiǎn)單課件多媒體播放多媒體優(yōu)例題展示一般幻燈片課件多媒體優(yōu)小結(jié)，練習(xí)展示一般幻燈片多媒體優(yōu)教學(xué)過程（可續(xù)頁(yè)）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容所用時(shí)間教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)家高斯數(shù)學(xué)史上有一顆光芒四射的巨星，他與阿基米德、牛頓、歐拉齊名，被稱為人類有史以來"最偉大的四位數(shù)學(xué)家之一"，他就是18世紀(jì)德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家----高斯。高斯11歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，17歲時(shí)發(fā)明了二次互反律，18歲時(shí)發(fā)明了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，22歲時(shí)以一篇“一元n次方程至少有一根”的論文獲得博士學(xué)位，他一生曾用四種不同的方法證明他的這一偉大發(fā)現(xiàn)。2分鐘教師：200多年前，10歲的高斯迅速計(jì)算出自然數(shù)1到100的和，你想知道他是怎樣計(jì)算呢？讓學(xué)生簡(jiǎn)單了解數(shù)學(xué)家高斯的地位和貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究熱情。二、探究高斯妙算展示高斯算法1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝10150＝50505分鐘問題1：高斯算法解決了數(shù)列一個(gè)什么樣的問題？問題2：很棒！高斯的算法非常巧妙！為什么要把1和100,2和99等這樣的數(shù)配對(duì)相加呢？問題3：非常棒！高斯算法共配了多少對(duì)？學(xué)生：和式是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列{n}的前100項(xiàng)的和。學(xué)生：因?yàn)樗麄兊暮拖嗟龋业扔谑孜矁身?xiàng)的和。學(xué)生：共50對(duì)。師生共同探討高斯算法，為新課的講解作鋪墊。三、探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式設(shè)是等差數(shù)列，求它的前n項(xiàng)和，即求解析：+得：（一）。倒序相加法15分鐘教師：受高斯算法的啟發(fā)，對(duì)于一般的等差數(shù)列如何求其前n項(xiàng)和？教師：很好！但n為奇數(shù)時(shí)這種方法還行嗎？教師：非常好！思考能不能在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善，避免對(duì)項(xiàng)數(shù)的討論教師：好！根據(jù)剛才的討論，自己試求一下。學(xué)生：仿高斯算法可得：…。學(xué)生：為避免奇偶的討論可再給出一個(gè)等差數(shù)列的和式，并且倒寫，兩個(gè)相加即可求得和又可避免分類討論。通過一次一次的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，讓學(xué)生自己思考，自己解決，自我完善，這樣有利于他們和智力的發(fā)展。讓學(xué)生基本抽象出“倒序相加法”的思想。末項(xiàng)首項(xiàng)末項(xiàng)首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)教師：上面的推導(dǎo)方法叫倒序相加法，如何從形式上記住這個(gè)公式？學(xué)生：學(xué)生：第一種形式的記法有三個(gè)好處，即便于深刻理解，便于牢固記憶，最重要是便于靈活應(yīng)用；第二種記法更形象化。四、引導(dǎo)學(xué)生得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和另一種形式（二）5分鐘教師：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能給出的另一種形式嗎？教師：的兩個(gè)表達(dá)式有什么不同點(diǎn)又如何使用，并加以比較。學(xué)生：學(xué)生：公式一是已知首項(xiàng)，末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)求和；公式二是已知首項(xiàng)，公差及項(xiàng)數(shù)求和。共同點(diǎn)是都必須知道首項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)。不同點(diǎn)是前者已知的是末項(xiàng)，后者知道的是公差。公式（一）反映了等差數(shù)列的任意第k項(xiàng)與倒數(shù)第k+1項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。公式（二）反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”。體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系，得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的另一種形式，比較公式間的聯(lián)系。從實(shí)際問題中提煉數(shù)學(xué)模型在解決問題的過程中運(yùn)用公式教科書例1。5分鐘教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀例1，從中提取關(guān)鍵信息。引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造等差數(shù)列模型讓學(xué)生獨(dú)立作出解答，然后讓學(xué)生將答案寫在黑板上學(xué)生：這是一個(gè)數(shù)列問題。學(xué)生：這是一個(gè)等差數(shù)列的求和問題，且求，選用的是公式（二）。簡(jiǎn)解：（萬(wàn)元）答：從2023--2023年該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元。體驗(yàn)從實(shí)際情景中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列模型，并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問題的過程。六、靈活應(yīng)用公式建立方程或方程組解題教材中例2已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？5分鐘教師：例2中有幾個(gè)已知條件，目標(biāo)是什么？又如何解決呢？教師：如何求呢？教師：請(qǐng)同學(xué)們小組討論并派代表在黑板上解答。學(xué)生：有3個(gè)已知條件，是等差數(shù)列，且，，求要求需要求出。學(xué)生：列方程組求。學(xué)生：設(shè)首項(xiàng)，公差，則：。建立等差數(shù)列前n項(xiàng)和與方程之間的聯(lián)系，根據(jù)已知量，通過解方程或方程組，得出其余未知量，讓學(xué)生體會(huì)方程的思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是一個(gè)關(guān)于的方程。七、回顧反思從特殊到一般的研究方法。用倒序相加求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及意義。運(yùn)用方程的思想分析和解決問題。5分鐘教師：回顧和總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容以及掌握的思想方法。學(xué)生自己總結(jié)小組歸納。學(xué)習(xí)的思想方法有：從特殊到一般倒序相加函數(shù)與方程的思想組織學(xué)生共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和有一個(gè)完整、清晰、深刻的認(rèn)識(shí)。八、作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)：教材46頁(yè)習(xí)題2.3A組1---4題。備選練習(xí)如下：根據(jù)下列條件，求出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）（3）。2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)能被3除余2?這些數(shù)的和是多少？3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求通項(xiàng)公式；若，求n。課后思考題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證是等差數(shù)列，并求其公差。試用求：的值。3分鐘學(xué)生：3.（1）由解得由得。分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本”的教育理念。思考題為了提高學(xué)生思維的能力！同時(shí)也是對(duì)本節(jié)課的升華！課堂教學(xué)流程圖公式（二）推導(dǎo)公式（二）推導(dǎo)課題導(dǎo)入公式探究課題導(dǎo)入公式探究例題解析公式運(yùn)用作業(yè)設(shè)計(jì)回顧反思例題解析公式運(yùn)用作業(yè)設(shè)計(jì)回顧反思教學(xué)反思（1）本節(jié)課教學(xué)過程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路。為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采用了一問題驅(qū)動(dòng)的教法，設(shè)計(jì)的三個(gè)問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再將此法運(yùn)用到一般問題的解決。再教學(xué)過程中通過教師層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，使學(xué)生“倒序相加”思路的獲得水到渠成。（2）新課程要求教師由主導(dǎo)者變成引導(dǎo)者，看重“以學(xué)定教”的教育