高中數(shù)學(xué)北師大版第四章函數(shù)應(yīng)用函數(shù)與方程第4章

第四章§1A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1．函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－4在區(qū)間[1,3]上eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814956)(B)A．沒(méi)有零點(diǎn) B．有一個(gè)零點(diǎn)C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)[解析]∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故選B．2．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是不間斷的，并且f(a)·f(b)<0，則這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814957)(D)A．只有一個(gè)零點(diǎn) B．有二個(gè)零點(diǎn)C．不一定有零點(diǎn) D．至少有一個(gè)零點(diǎn)[解析]若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)，f(a)·f(b)<0說(shuō)明只有一個(gè)零點(diǎn)且為變號(hào)零點(diǎn)．若不單調(diào)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)有可能多于一個(gè)．故選D．3．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814958)(C)A．有3個(gè)零點(diǎn) B．有2個(gè)零點(diǎn)C．有1個(gè)零點(diǎn) D．沒(méi)有零點(diǎn)[解析]∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一個(gè)零點(diǎn)．4．下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814959)(C)[解析]A中函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，因此不能用二分法求零點(diǎn)；B中函數(shù)的圖像不連續(xù)；D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖像，故選C．5．已知連續(xù)函數(shù)y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，則y＝f(x)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814960)(B)A．在區(qū)間[a，b]中可能沒(méi)有零點(diǎn)B．在區(qū)間[a，b]中至少有一個(gè)零點(diǎn)C．在區(qū)間[a，b]中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)D．在區(qū)間[a，b]中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)[解析]因?yàn)閒(a)·f(b)<0，所以由函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)判斷，得f(x)在區(qū)間[a，b]中至少存在一個(gè)零點(diǎn)．6．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中得f(1)<0，f>0，f<0，則方程的根落在區(qū)間eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814961)(A)A．, B．(1,C．,2) D．不能確定[解析]∵f>0，f<0，∴根落在區(qū)間,間，故選A．7.若函數(shù)y＝mx2＋x－2沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,8)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814962)[解析]當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，所以應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0,Δ＝1＋8m<0，))解得m<－eq\f(1,8).8．已知函數(shù)f(2x)＝3x2＋1，則f(x＋5)有_0__個(gè)零點(diǎn).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814963)[解析]∵f(2x)＝3x2＋1，∴f(x)＝eq\f(3x2,4)＋1，∴y＝f(x＋5)＝eq\f(3x＋52,4)＋1，令y＝0，方程無(wú)解．即f(x＋5)無(wú)零點(diǎn)．9．求證：方程5x2－7x－1＝0的根一個(gè)在區(qū)間(－1,0)上，另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814964)[解析]設(shè)f(x)＝5x2－7x－1，則f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.而二次函數(shù)f(x)＝5x2－7x－1是連續(xù)的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程5x2－7x－1＝0的根一個(gè)在(－1,0)上，另一個(gè)在(1,2)上．10．求函數(shù)y＝x3－4x的零點(diǎn)，并畫(huà)出它的圖像.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814965)[解析]∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，∴函數(shù)y＝x3－4x的零點(diǎn)為0，－2,2，這三個(gè)零點(diǎn)把x軸分成4個(gè)區(qū)間：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在這4個(gè)區(qū)間內(nèi)，取x的一些值(包括零點(diǎn))．列出這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表：x…－－2－1－012…y…－030－－30…在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖，圖像如圖所示：B級(jí)素養(yǎng)提升1．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈的一個(gè)根所在的區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814966)(C)x－10123ex1x＋212345A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]判斷ex－(x＋2)＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為f(x)＝ex－(x＋2)零點(diǎn)的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝－4>0.∴零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)．2．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814967)(C)A．一定有零點(diǎn) B．一定沒(méi)有零點(diǎn)C．可能有兩個(gè)零點(diǎn) D．至多有一個(gè)零點(diǎn)[解析]如圖，若函數(shù)f(x)的圖像及給定的區(qū)間(a，b)如圖(1)或圖(2)所示，可知A錯(cuò)，若如圖(3)所示，可知B錯(cuò)、D錯(cuò)，C對(duì)．3．已知函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，且有如下的對(duì)應(yīng)值表：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814968)x－2－101234567f(x)－136－2161913－1－8－2429則下列判斷正確的是_(1)(2)(3)__．(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(5,6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,7)內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)．[解析]觀察對(duì)應(yīng)值表，不難得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(2,3)，(5,6)內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn)．而(－1,7)內(nèi)至少有三個(gè)零點(diǎn)．故應(yīng)填(1)(2)(3)．4．(2023·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1.))eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814969)①若a＝1，則f(x)的最小值為_(kāi)－1__；②若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\f(1,2)≤a<1或a≥2.[解析]①a＝1時(shí)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,4x－1x－2，x≥1.))函數(shù)f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)，函數(shù)值大于1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))為減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))為增函數(shù)，當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，f(x)取得最小值為－1；②若函數(shù)f(x)＝2x－a在x<1時(shí)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則a>0，并且當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝2－a>0，則0<a<2，函數(shù)f(x)＝4(x－a)(x－2a)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1且a<1?eq\f(1,2)≤a<1；若函數(shù)f(x)＝2x－a與x軸無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)f(x)＝4(x－a)(x－2a)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)f(x)與x軸無(wú)交點(diǎn)，f(x)＝4(x－a)(x－2a)在x≥1與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)f(1)＝2－a≥0時(shí)，a≥2，f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，x＝a和x＝2a，由于a≥2，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿(mǎn)足x≥1；綜上所述a的取值范圍eq\f(1,2)≤a<1或a≥2.5．圖像連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814970)x123456789f(x)148－2273－2－18試判斷函數(shù)f(x)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)？[解析]∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函數(shù)f(x)圖像又是連續(xù)不間斷的，∴一定存在x0∈(2,3)，使f(x0)＝0，即f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．同理，f(x)在區(qū)間(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零點(diǎn)，而且是變號(hào)零點(diǎn)．6．中央電視臺(tái)曾有一檔娛樂(lè)節(jié)目“幸運(yùn)52”，主持人李詠會(huì)給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜某一物品售價(jià)的機(jī)會(huì)，如果猜中，就把物品獎(jiǎng)勵(lì)給選手，同時(shí)獲得一枚商標(biāo)．某次猜一種品牌的手機(jī)，手機(jī)價(jià)格在500～1000元之間．選手開(kāi)始報(bào)價(jià)：1000元，主持人回答：高了；緊接著報(bào)價(jià)900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分，實(shí)際上，游戲報(bào)價(jià)的過(guò)程體現(xiàn)了“逼近”的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案來(lái)幫助選手猜價(jià)嗎？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814971)[解析]取價(jià)格區(qū)間[500,1000]的中點(diǎn)750，如果主持人說(shuō)低了，就再取[750,1000]的中點(diǎn)875；否則取另一個(gè)區(qū)間[500,750]的中點(diǎn)；若遇到小數(shù)，則取整數(shù)．照這樣的方案，游戲過(guò)程猜價(jià)如下：750,875,812,843,859,851，經(jīng)過(guò)6次可以猜中價(jià)格．C級(jí)能力拔高求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確到.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814972)[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f＝－－1＝>0，∴f(x)在區(qū)間[1,]內(nèi)存在零點(diǎn)，取區(qū)間[1,]作