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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.2.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若所有點(diǎn),所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.5.將函數(shù)向左平移個單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個根6.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.27.一物體作變速直線運(yùn)動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動路程為()m.A.1 B. C. D.28.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.9.集合,,則()A. B. C. D.10.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作,每個縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6411.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.12.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評一項(xiàng)一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下:甲說:“作品獲得一等獎”;乙說:“作品獲得一等獎”;丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎”;丁說:“是或作品獲得一等獎”,若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是___.14.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.15.已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_____.16.若非零向量,滿足,,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計該企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.18.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.19.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于點(diǎn),曲線與曲線交于點(diǎn),求的面積.20.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點(diǎn)以及兩個頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且,求直線l的傾斜角.21.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.22.(10分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,證明:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
對選項(xiàng)逐個驗(yàn)證即得答案.【詳解】對于,,是偶函數(shù),故選項(xiàng)錯誤;對于,,定義域?yàn)?,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯誤;對于,當(dāng)時,;當(dāng)時,;又時,.綜上,對,都有,是奇函數(shù).又時,是開口向上的拋物線,對稱軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項(xiàng)正確;對于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
先將化為,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以只需將的圖象向右平移個單位.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移,熟記函數(shù)平移原則即可,屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域?yàn)椋^而可得,解之即可.【詳解】解:,因?yàn)?,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域?yàn)?,因?yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.5、C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù),則,將向左平移個單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項(xiàng)中的對稱中心錯誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當(dāng)時,,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當(dāng),,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時僅有一個解為,所以D錯誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.6、C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動路程可用定積分表示,計算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?,其關(guān)于原點(diǎn)對稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選A排除;對于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.9、A【解析】
解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運(yùn)算即可.【詳解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算,涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念,屬于中檔題.10、B【解析】
根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時,則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.11、A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、C【解析】
假設(shè)獲得一等獎的作品,判斷四位同學(xué)說對的人數(shù).【詳解】分別獲獎的說對人數(shù)如下表:獲獎作品ABCD甲對錯錯錯乙錯錯對錯丙對錯對錯丁對錯錯對說對人數(shù)3021故獲得一等獎的作品是C.【點(diǎn)睛】本題考查邏輯推理,常用方法有:1、直接推理結(jié)果,2、假設(shè)結(jié)果檢驗(yàn)條件.14、【解析】
設(shè)的中心為T,AB的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點(diǎn)為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T,AB的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點(diǎn)為球心O,如圖所示因?yàn)?,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設(shè)外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合,建立關(guān)于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.15、-【解析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn):余弦定理及等比數(shù)列的定義.16、1【解析】
根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)9060元【解析】
(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率;(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元,分別求出,,,進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望,據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則.(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元,則的可能取值為0,220,1480,,,,所以(元),故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為(元).【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學(xué)期望,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BC,所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個法向量為,由.得令,得又平面,所以平面的一個法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(1).(2)【解析】
(1)根據(jù)題意代入公式化簡即可得到.(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程通過極坐標(biāo)的幾何意義求解,再求點(diǎn)到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解:(1)曲線,即.∴.曲線的極坐標(biāo)方程為.直線的極坐標(biāo)方程為,即,∴直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),,∴,解得.又,∴(舍去).∴.點(diǎn)到直線的距離為,∴的面積為.【點(diǎn)睛】此題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo),直角坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化,注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),屬于較易題目.20、(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時,可求出,然后進(jìn)行檢驗(yàn);當(dāng)直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn),所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時,設(shè)其方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會更簡單.21、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得,對任意的,
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