廣東省佛山市東洲中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省佛山市東洲中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，方程f（x）=k恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（，1） B．[，1） C．[，1] D．（0，1）參考答案：A【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】利用數(shù)學(xué)結(jié)合畫(huà)出分段函數(shù)f（x）的圖形，方程f（x）=k恰有兩個(gè)解，即f（x）圖形與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)．【解答】解：利用數(shù)學(xué)結(jié)合畫(huà)出分段函數(shù)f（x）的圖形，如右圖所示．當(dāng)x=2時(shí)，=log2x=1；方程f（x）=k恰有兩個(gè)解，即f（x）圖形與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)．∴如圖：＜k＜1故選：A2.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿(mǎn)足，給出下列結(jié)論:①；②對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)且，恒有；③對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)且，；④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D，所以，得，①，所以，正確；②易知單調(diào)遞增，所以正確；③由奇偶性可知圖象的凹凸性，所以正確；④，正確；所以正確的有4個(gè)。故選D。

3.已知,，記，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：C略4.若，且，則（）A．既有最大值，也有最小值

B．有最大值，無(wú)最小值C．有最小值，無(wú)最大值

D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值參考答案：D5.如圖，在△ABC中，，BC=4，點(diǎn)D在邊AC上，，，E為垂足.若，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C在中，在中，由正弦定理得，

即，整理得故選：C．

6.已知點(diǎn)，向量，則向量A.(－7,－4) B.(7,4)C.(－1,4) D.(1,4)參考答案：A試題分析：,選A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算7.函數(shù)的最值情況是（）A．有最小值

B．有最大值C．有最小值

D．有最大值參考答案：B略8.函數(shù)的圖象的大致形狀是(

)參考答案：D9.（5分）在空間中，下列結(jié)論正確的是（） A． 平行于同一直線的兩直線平行 B． 垂直于同一直線的兩直線平行 C． 平行于同一平面的兩直線平行 D． 垂直于同一平面的兩直線垂直參考答案：A考點(diǎn)： 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專(zhuān)題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： 利用空間線線關(guān)系和線面關(guān)系的判定定理對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．解答： 對(duì)于A，平行于同一直線的兩直線平行；滿(mǎn)足平行線的傳遞性；是正確的；對(duì)于B，垂直于同一直線的兩直線平行；此結(jié)論在空間不成立；如墻角的三條棱；故B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，平行于同一平面的兩直線平行，是錯(cuò)誤的；因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬芍本€位置關(guān)系是平行、相交或者異面；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D錯(cuò)誤；故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了空間兩條直線的位置關(guān)系的判斷；關(guān)鍵是要有較好空間想象能力．10.設(shè)P、Q是兩個(gè)集合，定義集合P﹣Q={x|x∈P且x?Q}為P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}參考答案：B【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】首先分別對(duì)P，Q兩個(gè)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}，求出P﹣Q即可．【解答】解：∵化簡(jiǎn)得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化簡(jiǎn)得：Q={x|1＜x＜3}∵定義集合P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，，，則__________．參考答案：由題意得=，填.

12.已知集合.若中至多有一個(gè)元素，則的取值范圍是___________參考答案：13.在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐外接球的表面積為．參考答案：6π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出長(zhǎng)方體的三度，轉(zhuǎn)化為對(duì)角線長(zhǎng)，即可求三棱錐外接球的表面積．【解答】解：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，∵側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為，，，∴AB?AC=，AD?AC=，AB?AD=，∴AB=，AC=1，AD=，∴球的直徑為：=，∴半徑為，∴三棱錐外接球的表面積為=6π，故答案為：6π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐外接球的表面積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，以及長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在．14.

；

參考答案：，15.等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，則正整數(shù)m的最小值為

.參考答案：5

略16.函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的解，記為，則的取值范圍是

▲

．參考答案：17.（5分）已知sin（+α）=，那么cosα=

．參考答案：考點(diǎn)： 運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．專(zhuān)題： 三角函數(shù)的求值．分析： 已知等式左邊利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求出cosα的值．解答： sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=，故答案為：點(diǎn)評(píng)： 此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知一四棱錐P﹣ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．（Ⅱ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，AC∩BD=O，求證：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，一條側(cè)棱與底面垂直，由這條側(cè)棱長(zhǎng)是2知四棱錐的高是2，求四棱錐的體積只要知道底面大小和高，就可以得到結(jié)果．（Ⅱ）利用三角形中位線的性質(zhì)證明OE∥PA，由線面平行的判定定理可證EO∥平面PAD；（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，證明BD⊥平面PAC即可．【解答】（Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…∴VP﹣ABCD=S?ABCD?PC=．…（Ⅱ）證明：∵E、O分別為PC、BD中點(diǎn)∴EO∥PA，…又EO?平面PAD，PA?平面PAD．…∴EO∥平面PAD．…（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，…證明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC，…又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．…19.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，Sn＝2Sn﹣1+n（n≥2）（1）求出a1，a3的值，并證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝log2（a3n+1），數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：1≤18Tn＜2．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）可令求得的值；再由數(shù)列的遞推式，作差可得，可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）求得，，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得，再由不等式的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，∴，當(dāng)時(shí)，，即，∴，∵，∴，，∴

，∴，又∵，，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，所以，，，,所以,所以,即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的棱形，M為PC的中點(diǎn).（1）求證：PC⊥AD；（2）求.參考答案：解：（1）取中點(diǎn)連接，依題意可知均為正三角形，又平面平面平面又平面（2）由（1）可知，又平面平面平面平面平面平面即為三棱錐的高又是邊長(zhǎng)為的正三角形，由又又為的中點(diǎn).21.已知||=2，||=3，||與||的夾角為120°，求（1）（2）﹣（3）（2）（）（4）||參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）直接由已知結(jié)合數(shù)量積公式得答案；（2）由運(yùn)算得答案；（3）展開(kāi)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代入數(shù)量積得答案；（4）求出，開(kāi)方后得答案．【解答】解