法向量求二面角-空間向量電子教案

法向量求二面角-空間向量1、利用平面法向量求直線(xiàn)與平面所成的角：直線(xiàn)與平面所成的角等于平面的法向量所在的直線(xiàn)與已知直線(xiàn)的夾角的余角。（二）平面法向量的應(yīng)用如圖：直線(xiàn)AB與平面所成的角=(=<BA,n>)2ABCn例2、利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小mn如圖：二面角的大小等于-<m,n>2、利用平面法向量求二面角的大小如圖：二面角的大小等于<m,n>mn指入、指出平面的法向量的夾角的大小就是二面角的大小。

例1：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則M（0，1，2）F（1，2，0）E（2，1，2）N（1，2，2）則MF=（1,1，-2）NF=（0，0，-2）EF=（-1，1，-2），設(shè)平面ENF的法向量為n=(x,y,z),EFn=0NFn=0{-x+y-2z=0-2z=0則{{x=yz=0令x=y=1,則n=(1,1,0)2AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如圖，由（1）得：面ENF的法向量為n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）設(shè)面EMF的法向量為m=（x,y,z)，則{MF.m=0EFm=0{x+y-2z=0-x+y-2z=0{x=0y=2z令z=1,則m=(0,2,1)

cos<m,n>=10/5由題意可知，所求二面角為銳角，故所求二面角的大小為arccos(10/5)（2）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC=2，原點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1，0）點(diǎn)D在平面yoz上，且BDC=90o，DCB=30o,求二面角D-BA-C的大小AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30o(0,-1/2,3/2)解：由題可知B（0，-1，0），C（0，1，0），又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2，ACB=90o，又BCD=30o，BDC=90o，故BD=1，CD=3，由D點(diǎn)向BC作垂線(xiàn)DE，則DE=3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，3/2），E（0，-1/2，0），ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2),面ABC的法向量為ED，可求得面ABD的法向量為n=(23,-3,1)cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)二面角D-BA-C的大小為arccos(1/4)例例２．在四面體ABCD中，AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD＝，∠ADB=．E、F分別是AＣ、AD的中點(diǎn)。１）求證平面BEF⊥平面ABC；２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。

ＥＤＡＣＢＦxzy1.如圖,正廣州一模2.(廣州二模）如圖，D,E,F分別是AB,BC,CP的中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2.(1)求直線(xiàn)PA和平面DEF所成的角的大??；(2)求點(diǎn)P到平面DEF的距離。CBPAFED小結(jié)：1、本節(jié)主要復(fù)習(xí)了法向量在求線(xiàn)面角和二面角方面的應(yīng)用，注意所求角與法向量的聯(lián)系，掌握基本的思想方法。2、立體幾何問(wèn)題求解的思想方法的發(fā)展趨勢(shì)用代數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題是立體幾何的發(fā)展趨勢(shì)，而向量是用代數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題的主要工具，故，學(xué)會(huì)用向量法解立體幾何問(wèn)題是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)。3、利用法向量求點(diǎn)到平面的距離AB如圖：點(diǎn)A到平面的距離d=|BA||cos<BA,n>|dA1n例2：已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A1到平面BDEF的距離。FED1C1B1A1DCBAFED1C1B1A1DCBA4、利用法向量證明面面垂直問(wèn)題mn證明面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明它們的法向量垂直例3：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分別是BB1、CC1上的點(diǎn)，且BE=a，CF=2a。求證:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防設(shè)a=2，則A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F(xiàn)（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因?yàn)?，x軸面ACF，所以可取面ACF的法向量為m=（1，0，0），設(shè)n=（x,y,z)是面AEF的法向量，則x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0