廣東省佛山市藝術(shù)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省佛山市藝術(shù)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，AC=3，BC=4，∠C=90°，過圓心O的直線l交圓O于P，Q兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．（﹣7，1） B．．[0，1] C．[﹣7，0] D．[﹣7，1]參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用面積相等可得r=1，設(shè)出圓的方程，求得交點(diǎn)P，Q，討論直線的斜率k不存在和大于0，小于0的情況，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和不等式的性質(zhì)，計(jì)算即可得到范圍．【解答】解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示；設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用面積相等可得，×3×4=×r×（3+4+5），解得r=1，則B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圓O：x2+y2=1，當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，（k＜0），代入圓的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），則有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，則有﹣3＜﹣3+≤1；同理當(dāng)k＞0時(shí)，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3；綜上可得，?的取值范圍是[﹣7，1]．故選：D．2.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）(A)0

(B)1

(C)

(D)3參考答案：B，又均為正實(shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此當(dāng)取得最大值時(shí)，，此時(shí)，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為，故選B.3.已知集合,則等于A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}參考答案：B略4.某兄弟倆都推銷某一小家電，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺(tái)），得到的莖葉圖如下圖所示，已知弟弟的銷售量的平均數(shù)為34，哥哥的銷售量的中位數(shù)比弟弟的銷售量的眾數(shù)大2，則x+y的值為（

）A．5 B．13

C．15

D．20參考答案：B根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，弟弟的眾數(shù)是34,則哥哥的中位數(shù)是，，解得，又，解得，，故選B.

5.等式成立是成等差數(shù)列的(

)條件A.充分而不必要

B.必要而不充分

C.充分必要

D.既不充分又不必要參考答案：知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列充分、必要條件A2D2B解析：顯然當(dāng)α＋γ=，2β=時(shí)，等式成立，但α，β，γ不成等差數(shù)列，所以充分性不滿足，若α，β，γ成等差數(shù)列，則α＋γ=2β，顯然等式成立，所以必要性滿足，則選B.【思路點(diǎn)撥】判斷充分必要條件時(shí)，應(yīng)先分清命題的條件與結(jié)論，由條件能推出結(jié)論，則充分性滿足，由結(jié)論能推出條件，則必要性滿足.6.已知點(diǎn)，為圓上的任意兩點(diǎn)，且，若中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)?，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域上的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：B中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示，那么在內(nèi)部任取一點(diǎn)落在內(nèi)的概率為，故選．7.已知函數(shù)，集合，現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同的元素，則的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；等可能事件的概率．C7K1解析：已知函數(shù)，集合，現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同的元素，則m=3，9時(shí)，滿足f（m）?f（n）=0的個(gè)數(shù)為m=3時(shí)8個(gè)m=9時(shí)8個(gè)，n=3時(shí)8個(gè)，n=9時(shí)8個(gè)，重復(fù)2個(gè)，共有30個(gè)．從A中任取兩個(gè)不同的元素m，n，則f（m）?f（n）的值有72個(gè)，所以函數(shù)，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，從A中任取兩個(gè)不同的元素m，n，則的概率為：=，故選A．【思路點(diǎn)撥】對(duì)于m值，求出函數(shù)的值，然后用排列組合求出滿足的個(gè)數(shù)，以及所有的個(gè)數(shù)，即可得到的概率．8.命題：“”，則（

）A．是假命題；：

B．是假命題；：C．是真命題；：D．是真命題；：參考答案：B9.函數(shù)的圖像可能是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】分析四個(gè)圖像的不同，從而判斷函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，，故排除D；由于函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏线B續(xù)，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案為A?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題。10.若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則此復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是

（A）E

（B）F

（C）G

（D）H

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于___▲_____參考答案：912.已知，則tanα=__________．參考答案：，解方程得.

13.若過點(diǎn)A（4，0）的直線l與曲線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為

。參考答案：14.已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：(－2,1)15.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________個(gè)．參考答案：416.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則

．參考答案：8略17.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間滿足關(guān)系：（其中為小于6的正常數(shù)）（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.（1）試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額(萬(wàn)元）表示為日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，------------------------2分當(dāng)時(shí)，，綜上，日盈利額（萬(wàn)元）與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系為：-------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0

當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)------------------8分所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，由知函數(shù)在上遞增，，此時(shí)--------------------10分綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)

略19.（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，

AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分別為CC1，AB的中點(diǎn)，求證：CN//平面AB1M．參考答案：證明：（Ⅰ）因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．

…………1分因?yàn)锳C=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

……………2分又因?yàn)锳C∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．

……4分因?yàn)锳M平面ACC1A1，所以BC⊥AM．

……6分（Ⅱ）過N作NP∥BB1交AB1于P，連結(jié)MP，則NP∥CC1．………………8分因?yàn)镸,N分別為CC1,AB中點(diǎn)，所以，．

…………9分因?yàn)锽B1=CC1，所以NP=CM．

……10分所以四邊形MCNP是平行四邊形．…………11分所以CN//MP．

……12分因?yàn)镃N平面AB1M，MP平面AB1M，

……13分所以CN//平面AB1M．

……14分20.（13分）（2013?宿遷一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且，n∈N*．（1）證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差數(shù)列，求正整數(shù)x，y的值．參考答案：(1)，n∈N*;(2)λ≥3;(3)x=1，y=2．（1）因?yàn)?，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且an＞0，當(dāng)n=1時(shí)，由，解得a1=1，…（2分）當(dāng)n=2時(shí)，由，解得；…（4分）由，知，兩式相減得，即，…（5分）亦即2Sn+1﹣Sn=2，從而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），再次相減得，又，所以所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，…（7分）其通項(xiàng)公式為，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若對(duì)n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣對(duì)n∈N*恒成立，∵3﹣＜3對(duì)n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差數(shù)列，其中x，y為正整數(shù)，則成等差數(shù)列，整理，得2x=1+2y﹣2，當(dāng)y＞2時(shí)，等式右邊為大于2的奇數(shù)，等式左邊為偶數(shù)或1，等式不能成立，∴滿足條件的正整數(shù)x，y的值為x=1，y=2．21.已知橢圓的離心率，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時(shí)，斜率之和是與m無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．……2分依題意，，于是橢圓的方程為．……………4分(2)設(shè)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得則有………6分直線PA,PB的斜率之和………9分當(dāng)