曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力奧賽講義

第三部分曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力第一講基本知識(shí)介紹一、 曲線運(yùn)動(dòng)1、 概念、性質(zhì)2、 參量特征二、 曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法一一運(yùn)動(dòng)的分解與合成1、 法則與對(duì)象2、 兩種分解的思路a、 固定坐標(biāo)分解（適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）建立坐標(biāo)的一般模式一一沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標(biāo)；提高思想一一根據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。b、 自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向t、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向分解。動(dòng)力學(xué)方程〈^［一工'，其中a改變速度的大?。ㄋ俾剩?，a改變速度的方向。且a=m^2動(dòng)力學(xué)方程〈〉,F=ma t n npn n其中p表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。三、 兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)1、 拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。在坐標(biāo)的選擇方面，有靈活處理的余地。2、 圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、3、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問(wèn)題的理解。變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。四、 萬(wàn)有引力定律1、 定律內(nèi)容2、 條件a、 基本條件b、 拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展一一“剝皮法則”c、 不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力計(jì)算一一分割與矢量疊加五、 開(kāi)普勒三定律天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、 宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)1、 第一宇宙速度的常規(guī)求法2、 從能量角度求第二、第三宇宙速度萬(wàn)有引力勢(shì)能ep=—G^m

3、解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。岸邊有一艘小船，保持相對(duì)河水恒定的速率v1渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時(shí)間和最小位移。模型分析：小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（相對(duì)河岸的運(yùn)動(dòng)）由船相對(duì)水流速度七和水相對(duì)河岸的速度v2合成?？梢栽O(shè)船頭與河岸上游夾角為。（即V1的方向），速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動(dòng)）用余弦定理可求v合的大小v=1，V2+V2一2vvcos0合' 1 2 12vsin0（學(xué)生活動(dòng)）用正弦定理可求v合的方向。令v合與河岸下游夾角為a,vsin0a=arcsin, Jv2+v2-2vvcos01、求渡河的時(shí)間與最短時(shí)間由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，故渡河時(shí)間既可以根據(jù)合運(yùn)動(dòng)求，也可以根據(jù)分運(yùn)動(dòng)去求。針對(duì)由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，這一思想，有以下兩種解法解法一：t=Mv合其中v合可用正弦定理表達(dá)，d/sinav^in0

解法一：t=Mv合其中v合可用正弦定理表達(dá)，d/sinav^in0

sinavsin0解法二:St=—vid/sin0vsin0此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后先將v1分解（v2無(wú)需分解），再合成，如圖2所示。而且不難看出，合運(yùn)動(dòng)在x、y方向的分量vx和vy與v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下關(guān)系vy=v1y故有vx=v2-v1x故有由于合運(yùn)動(dòng)沿y方向的分量Sy三d，

即“Sdd解法三：t=1=——=———vvvsin9t（9）函數(shù)既已得出，我們不難得出結(jié)論當(dāng)9=90。時(shí)，渡河時(shí)間的最小值tmin=?-1（從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無(wú)關(guān)，故tmin也與v2無(wú)關(guān)。這個(gè)結(jié)論是意味深長(zhǎng)的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即sinav—sin9v合d.W2+v2-2vvcon9

—-_1 2 1_2 sinav—sin9v合vsin9但S合（9）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求S合的極小值并非易事。因此，我們可以從其它方面作一些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy/因?yàn)镾y三d，要S合極小，只要Sx極小就行了。而Sx（9）函數(shù)可以這樣求一一 口解法Sx=v解法Sx=vxt=(v2-vix)S~^yvy(v2"cos9)dv1sin9為求極值，令cos9=p，則sin9=j-p2，再將上式兩邊平方、整理，得到v2（S2+d2）p2-2vvd2p+d2v2-S2v2=0這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足小巳0，即4v2v2d4N4v2（S2+d2）（d2v2-S2v2）整理得S2v2Nd2（v2-v2）d v所以，S.=—i.'v2-v2，代入S（9）函數(shù)可知，此時(shí)cos9=—xminvv2 1 x v最后，S.=—+s?=、dmin，xminyv1此過(guò)程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)v2<v1時(shí)，Smin<d，這顯然與事實(shí)不符。（造成這個(gè)局面的原因是：在以上的運(yùn)算過(guò)程中，方程兩邊的平方和開(kāi)方過(guò)程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象）所以，此法給人一種玄乎的感覺(jué)。解法二：純物理解一一矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90°）。我們可以通過(guò)v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。

先進(jìn)行平行四邊形到三角形的變換，如圖3所示。當(dāng)。變化時(shí)，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。從圖4不難看出，只有當(dāng)va和虛線半圓周相切時(shí)，va與v2（下游）的夾角才會(huì)最大。此時(shí)，v.±合 合 2 合v，v、v和V構(gòu)成一個(gè)直角三角形，a=arcsini1 1 2合 max v22v并且，此時(shí)：。=arccos-^v2v有Cmax的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min=了d1最后解決v2<v1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問(wèn)題。從圖4可以看出，當(dāng)v2<v1時(shí)，v合不可能和虛線半圓周相切（或a=arcsini無(wú)解），結(jié)合實(shí)際情況，a取90°max v max2即：v即：v2<v1時(shí)，S合min=d，此時(shí)，v9=arccosv1結(jié)論：若v<v，9=arccos^時(shí)，S.=^d1 2 v 合min vv若v2<v1，9=arccos^2時(shí)，S合min=d1、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開(kāi)水面，且繩足夠長(zhǎng)，求汽車速度終不離開(kāi)水面，且繩足夠長(zhǎng)，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關(guān)系。模型分析：由于繩不可伸長(zhǎng)，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小v1，考查繩與船相連的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，vj和v2必有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的問(wèn)題。

（學(xué)生活動(dòng)）如果V1恒定不變，v2會(huì)恒定嗎？若恒定，說(shuō)明理由；若變化，定性判斷變化趨勢(shì)。結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零，v2—V1。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長(zhǎng)度，得到v2>v1。故“船速增大”才是正確結(jié)論。故只能引入瞬時(shí)方位角。，看v1和v2的瞬時(shí)關(guān)系。（學(xué)生活動(dòng)）V1和V2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答？針對(duì)如圖6所示的兩種典型方案，初步評(píng)說(shuō)一一甲圖中v2=v1cos0，船越靠岸，。越大，v2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修TOC\o"1-5"\h\z訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng) v分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì) *?、...，比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別，并聯(lián)系 相不 土 . ....“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成等事 J ；. 圣f例，總結(jié)出這樣的規(guī)律一一 | 戲 /合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在 只'' "■,/■的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、需要 二分析而具有人為特征（無(wú)唯一 '性）的運(yùn)動(dòng)。 悶，3解法一：在圖6（乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是v2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng)v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)v轉(zhuǎn)，從而肯定乙方案是正確的。即：v=v即：v=v/cos0AB是繩的初識(shí)位置，AC艮是繩的末位置，在AB上取AD=AC得D點(diǎn)，并連接CD。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長(zhǎng)度。由于過(guò)程極短，等腰三角形ACD的頂角ZA-0，則底角ZACD-90°，ACDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2=S1/cos0。鑒于過(guò)程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2=v2t，S1=v1t。所以：v2=v1/cos0三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。設(shè)初速度方向與水平面夾。角，建立水平、豎直的X、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿x、y分解。針對(duì)拋出到落回原高度的過(guò)程10=Sy=v0yt+2（-g）t2Sx=v0xtV2解以上兩式易得：SX=-g^sin20V2結(jié)論：當(dāng)拋射角0=45。時(shí)，最大射程S =0xmaxg（學(xué)生活動(dòng)）若v0、e確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。運(yùn)動(dòng)學(xué)求解一一考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解一一注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具備的速度v0x，然后對(duì)V2sin2拋出到最高點(diǎn)的過(guò)程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論：Hm=02g 。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè)vo=2\：''gL的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典型事例。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。（學(xué)生活動(dòng)）小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)C？通過(guò)能量關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動(dòng)超過(guò)B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)（vC巳％；gL），即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧。 毗-6A（學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后 ■；,o作自由落體運(yùn)動(dòng)？盡管對(duì)于本問(wèn)題，能量分析是可行的（BC之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)一一在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。沿軌跡的切向、法向分別建T、n坐標(biāo)，然后將重力G沿t、n分解為G/口Gn分量，T為繩子張力。法向動(dòng)力學(xué)方程為v2T+Gn=^Fn=man=m—ffl9由于TN0,Gn>0，故v/0。（學(xué)生活動(dòng)：若換一個(gè)v0值，在AB階段，v=0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在BC階段v=0也是可能出現(xiàn)的。）下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D，對(duì)應(yīng)方位角為。，如圖8所示。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的張力T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足V2Gn=Gsin9=m— ①在再針對(duì)A-D過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）:1mV2+0=mg（L+Lsin9）+萬(wàn)mvD代入v0值解①、②兩式得：9『sin3，（同時(shí)得到：VD=\：撲）小球脫離D點(diǎn)后將以VD為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì)A）可以用兩種方法求得。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"先求小球斜拋的最大高度，、=曳孕竺=VD（1-sin2e）m2g 2g代入9和vd的值得：hm —L匕/50小球相對(duì)A的總高度：Hm=L+Lsin9+hm —L匕/解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有vD的水平分量，即vDsin9=2；'3gL。對(duì)A—最高點(diǎn)的過(guò)程用機(jī)械能守恒定律（設(shè)A所在的平面為參考平面），有11^mv2+0=^m（VDsine）2+mgHm50容易得到：Hm=3L五、萬(wàn)有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M,球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為R/2的球形空腔（球心在O'）。在O、O'的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力。模型分析：無(wú)論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應(yīng)萬(wàn)有引力的拓展條件之外，著重介紹“填

補(bǔ)法”的應(yīng)用。空腔里現(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為R/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8,一個(gè)的質(zhì)量為一M/8。然后，前者正好填補(bǔ)空腔一一和被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球A；注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物體（質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為B。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說(shuō)明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和m之間的萬(wàn)有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥一一成了“萬(wàn)有斥力”了。具體過(guò)程如下MmFAm=G〒M一-M一-mFBm=GZ^RaAd-R"2JMm=一G R—8(d--)2m1 Mm1^mvam1 Mm1^mva+(—G )=2mv*+—Mm(—G )a+c圈11比較A、B兩點(diǎn)，應(yīng)用開(kāi)普勒第二定律，有：vA（a—c）=vB(a+c)結(jié)合橢圓的基本關(guān)系：c=va2-b2MmMm最后，兩物之間的萬(wàn)有引力F=FAm+FBm=G —G r—d 8（d-萬(wàn)）2需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O'的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬(wàn)有引力M—-mF=G7r（d+）214然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。六、天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算物理情形：地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為m和M，地球繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道的半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，如圖11所示。試求地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，以及軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑。模型分析：求解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式，常常要用到開(kāi)普勒定律（定量）、機(jī)械能守恒（萬(wàn)有引力勢(shì)能X橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)等等，相對(duì)高考要求有很大的不同。地球軌道的離心率很小（其值-O0.0167，其中ca為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。為了方便說(shuō)明問(wèn)題，在圖11中，我們將離心率夸大了。針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，解以上三式可得：vA?A.解以上三式可得：vA?A.a+仲2-b2,'GM

bVBa-&2-b2:GM

b a再針對(duì)地球從A到C的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能