2021版新高考數學：雙曲線含答案

/20l.（20xx?荊州模擬）已知雙曲線x2y2C：02~b2=1(a>0,成一個等邊三角形,則雙曲線C的標準方程是（）A.X-2x2y2C：02~b2=1(a>0,成一個等邊三角形,則雙曲線C的標準方程是（）A.X-2-y2=12x2y2B.?―廠1C.X2-升1_x2y2D.亍二132C[由雙曲線C：2202—b2=1（a>0,b>0）過點（邊，V3）,且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點構成一個等邊三角形，可得23=1,解得Ja2b2a=1,雙曲b=3,線C的標準方程是X2—￥=1,故選C.]2.已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0,焦點坐標為（±5,0）,則雙曲線的方程為?16—￥=1[將3x±4y=0化為4±3=0,設以4±3=0為漸近線的雙曲線方程為16一罟=久（久工°）,因為該雙曲線的焦點坐標為（±5,0）,所以16久+9久=25,解得久=1,即雙曲線的方程為磊一普=1.]考點3雙曲線的幾何性質雙曲線的漸近線求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線a2_b2=1（a>0，b>°）或篇―bl=l（a>0，b>°）的漸近線方程的方法

是令右邊的常數等于0,即令a2—y2=0,得y=±|x;或令爲—2=0,得y=±bx.bx2y2反之，已知漸近線方程為y=±Ox,可設雙曲線方程為務一牯=牝>0,b>0,入H0）.l.（20xx?全國卷II）雙曲線a2—b2TOC\o"1-5"\h\z=l（a>0,b>0）的離心率為冷3則其漸近線方程為（）A.y=±\：2xB?y=土冷3x23C.y=±〒xD.y=±亍xc丿A［法一：（直接法）由題意知，e=-=\/3,所以c=￡a,所以b=pc2—a2bb=\/2a,即-=\;'2,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±\/2x.c法二：c法二：（公式法）由e=-=\『+已2=羽，得a=&,所以該雙曲線的漸近b線方程為y=±-x=±\：2x.]1a._4C.-22.（20xx?揭陽一模）已知雙曲線mx2+y2=1的一條漸近線方程為2x+y=1a._4C.-2B.-1D.-4x2tD［因為mV0,則雙曲線為：y2—i=1,漸近線方程為：±\；—mx+y=m0,所以~m=2,解得m=_4,故選D.］

3.（20xx?鄭州模擬3.（20xx?鄭州模擬）設厲，F2分別是雙曲線C：x2a2y2b2=l(a>0,b>0)的左、右焦點，P是C上一點，若IPF]l+IPF2l=6a，且△PF1F2的最小內角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是（）A.x±2y=0B.\：2x±y=0C.x±2y=0D.2x土y=0B[假設點P在雙曲線的右支上，則嚴葉旳丸,〔則嚴葉旳丸,〔IPF1LIPF2l=2a,Z.IPF1I=4a，IPF2I=2a.???IF]F2I=2c>2a,:.△PF}F1最短的邊是PF，:.△PF1F2的最小內角為ZPF1F2.在\PF]F2中，由余弦定理得4a2=16a2+4c2—2X4aX2cXcos30°，c2—2\,'3ac+3a2=0，?°?e2—2\i3e+3=0，.二e=*3，.?.—=*3,c2=3a2，a2+b2=3a2，b2=2a2，??.—=、'2，???雙曲線的漸近線方程為\Qx±y=0，故選B.]4.（20xx?江蘇高考）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2-b|=1（b>0）經過點（3,4），則該雙曲線的漸近線方程是216「??雙曲線x2—b2=1(b>0)經過點(3,4)，?32—b2=1,解得b2=2，即方=10.又a=1，??該雙曲線的漸近線方程是y=±*2x.]雙曲線的離心率求雙曲線的離心率或其范圍的方(1)求a,雙曲線的離心率求雙曲線的離心率或其范圍的方(1)求a,b,的值，由c2_a2+b2_a2a2e.（2）列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助于b2=c2—a2消去b,然后轉化成關于e的方程（或不等式）求解.

⑴已知點f是雙曲線誇一篇=l(a>0,b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若AABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()B.（1，2）A.（1，+x）B.（1，2）C.（2,1+<2）D.（1，1+羽C.（2,1+<2）(2)(20xx?全國卷I(2)(20xx?全國卷I)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若F1A=AB，F1B?F2B=0,則C的離心率為.(1)B(2)2[(1)若AABE是銳角三角形，只需ZAEFV45。，在Rt^AFE中,IAF\=中,IAF\=b2,a\FE\=a+c,則b2Va+c,a即b2Va2+ac,即2a2—c2+ac>0,則e2-e-2V0,解得一1VeV2,又e>1,則1VeV2,故選B.（2）如圖，由F1A=AB,得FA=AB.又OF]=OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位線，即BF/OA,BF2=2OA.由F]B?F2B=0,得F]B丄F2B,OA丄F1A,則OB=OF1，所以ZAOB=ZAOF1，

又OA與OB都是漸近線，得ZBOF2=ZAOF],又ZBOF2+ZAOB+ZAOF]=n得ZBOF2=ZAOF]=ZBOA=60°,b又漸近線OB的斜率為-=tan60°=.[3,^a所以該雙曲線的離心率為2=所以該雙曲線的離心率為2=\”+(\&)2=2.]雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e率e的關系：亠^aal.（20xx?衡水模擬）已知雙曲線223C］：a^-b2=1（a>0，b>0）,圓C2：x2+y2—2ax+4a2=0,若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線q的離心率的取值范圍是（）TOC\o"1-5"\h\zAL2^3]B(2^3,)A.(1,-3^B.，+門C.(l,2)D.(2,+T\o"CurrentDocument"……bA[由雙曲線方程可得其漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,圓C2:x2+y2311—2ax+4a2=0可化為(x—a)2+y2=4a2,圓心C2的坐標為(a,0),半徑廠=尹，由雙曲線C］的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，得I，"；+厲<2"'即c>2b,即4ca/3c2>4b2,又知b2=c2—a2,所以c2>4（c2—a2）,即c2<jO2,所以e=a<3,又知.]e>1，所以雙曲線Ci的離心率的取值范圍為（l,爭.]2.（20xx?濟南模擬）已知雙曲線E：誇一活=1（。>0，b>0）.若矩形ABCD的四個頂