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廣東省梅州市河?xùn)|中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.某科研小組共有5個(gè)成員,其中男研究人員3人,女研究人員2名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女研究人員當(dāng)選的概率為()A. B. C. D.以上都不對(duì)參考答案:C【考點(diǎn)】等可能事件的概率.【分析】先確定科研小組共有5個(gè)成員,選舉2名代表的方法數(shù),再求出至少有1名女研究人員當(dāng)選的方法數(shù),由此可求概率.【解答】解:科研小組共有5個(gè)成員,選舉2名代表,共有=10種方法,其中至少有1名女研究人員當(dāng)選,共有=7種方法,∴選舉2名代表,至少有1名女研究人員當(dāng)選的概率為故選C.2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=﹣11,a4+a6=﹣6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于(
)A.6 B.7 C.8 D.9參考答案:A考點(diǎn):等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:條件已提供了首項(xiàng),故用“a1,d”法,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得.解答:解:設(shè)該數(shù)列的公差為d,則a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得d=2,所以,所以當(dāng)n=6時(shí),Sn取最小值.故選A.點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力3.已知全集,則正確表示集合和關(guān)系的圖是參考答案:B略4.對(duì)具有線性相關(guān)的變量x,y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…6),其回歸直線方程是,且x1+x2+…+x6=10,y1+y2+…+y6=4,則實(shí)數(shù)a的值是()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】線性回歸方程.【專題】對(duì)應(yīng)思想;待定系數(shù)法;概率與統(tǒng)計(jì).【分析】根據(jù)回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)(,),代入方程計(jì)算即可.【解答】解:因?yàn)?×(x1+x2+…+x6)==,=×(y1+y2+…+y6)==,代入回歸直線方程中,即,解得.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.5.命題P:2016≤2017,則下列關(guān)于命題P說(shuō)法正確的是.()A.命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”,是假命題B.命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”,是假命題C.命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”,是假命題D.命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”,是真命題參考答案:D【考點(diǎn)】邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”.【分析】根據(jù)p或q的定義進(jìn)行判斷即可.【解答】解:2016≤2017等價(jià)為2016=2017或2016<2017,中間使用了邏輯連接詞或,為真命題,故選:D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合命題以及邏輯連接詞的判斷,比較基礎(chǔ).6.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍是
()A.﹣1<a<2 B.a(chǎn)>2或a<﹣1 C.a(chǎn)≥2或a≤﹣1 D.a(chǎn)>1或a<﹣2參考答案:B【考點(diǎn)】6D:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值,可知導(dǎo)數(shù)為0的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,通過(guò)△>0,即可求出a的范圍.【解答】解:函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1所以函數(shù)f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值,所以方程f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即x2+2ax+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴△>0,∴(2a)2﹣4×1×(a+2)>0,解得:a<﹣1或a>2故選:B.7.已知圓O:和點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的圓的兩條弦AC,BD互相垂直,則四邊形ABCD面積的最大值(
)
A.
B.
C.23
D.25參考答案:C8.若橢圓的短軸為,它的一個(gè)焦點(diǎn)為,則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是()A. B. C. D.參考答案:B略9.在極坐標(biāo)系中,已知A(1,),B(2,)兩點(diǎn),則|AB|=()A. B. C.1 D.參考答案:B【分析】根據(jù)題意,由AB的坐標(biāo)分析可得|OA|=1,|OB|=2,且∠AOB,由余弦定理計(jì)算可得答案【詳解】在極坐標(biāo)系中,已知A(1,),B(2,),則|OA|=1,|OB|=2,且∠AOB,則|AB|2=+﹣2|OA||OB|cos∠AOB=1+4﹣2×1×2×cos3,則|AB|,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)的應(yīng)用,涉及余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10.頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的面積所對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征是(
)A.頻數(shù) B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.頻率參考答案:D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的概念進(jìn)行判斷?!驹斀狻款l率分布直方圖中每個(gè)矩形的面積故所對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征是為這一組所對(duì)應(yīng)的頻率.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的概念,屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,且是第二象限角,則____________參考答案:12.若方程x2+y2-2mx+(2m-2)y+2m2=0表示一個(gè)圓,且該圓的圓心位于第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.參考答案:0<m<13.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0),則該雙曲線的漸近線方程為________.參考答案:
14.已知雙曲線﹣=1與﹣=1有相同的離心率,則m=.參考答案:6【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,由雙曲線離心率公式變形可得e2=1+,對(duì)于題目所給的兩個(gè)雙曲線可得:e12=1+=3和e22=1+,兩者離心率相等,可得1+=3,解可得m的值,即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,對(duì)于雙曲線﹣=1,其離心率e=,則e2===1+,對(duì)于雙曲線﹣=1,其離心率為e1,則e12=1+=3,對(duì)于雙曲線﹣=1,其離心率為e2,則e22=1+,而兩個(gè)雙曲線有相同的離心率,則有1+=3,解可得m=6;故答案為:6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),要掌握并靈活運(yùn)用雙曲線離心率的計(jì)算公式.15.我們知道,在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值,類比上述結(jié)論,在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值
.參考答案:類比在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值,得棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值,如圖,不妨設(shè)O為正四面體ABCD外接球球心,F(xiàn)為CD中點(diǎn),E為A在平面BCD上的射影,由棱長(zhǎng)為a可以得到BF=a,BO=AO=a-OE,在直角三角形中,根據(jù)勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2,把數(shù)據(jù)代入得到OE=a,所以棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為4×a=a
16.命題的否定為參考答案:17.已知函數(shù)=若=,則實(shí)數(shù)______參考答案:2
略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.參考答案:【考點(diǎn)】直線與平面所成的角;直線與平面平行的判定.【分析】(1)法一、取PB中點(diǎn)G,連接AG,NG,由三角形的中位線定理可得NG∥BC,且NG=,再由已知得AM∥BC,且AM=BC,得到NG∥AM,且NG=AM,說(shuō)明四邊形AMNG為平行四邊形,可得NM∥AG,由線面平行的判定得到MN∥平面PAB;法二、證明MN∥平面PAB,轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,過(guò)N作NE⊥AC,垂足為E,連接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通過(guò)求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,則結(jié)論得證;(2)連接CM,證得CM⊥AD,進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD內(nèi),過(guò)A作AF⊥PM,交PM于F,連接NF,則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【解答】(1)證明:法一、如圖,取PB中點(diǎn)G,連接AG,NG,∵N為PC的中點(diǎn),∴NG∥BC,且NG=,又AM=,BC=4,且AD∥BC,∴AM∥BC,且AM=BC,則NG∥AM,且NG=AM,∴四邊形AMNG為平行四邊形,則NM∥AG,∵AG?平面PAB,NM?平面PAB,∴MN∥平面PAB;法二、在△PAC中,過(guò)N作NE⊥AC,垂足為E,連接ME,在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=,∵AD∥BC,∴cos,則sin∠EAM=,在△EAM中,∵AM=,AE=,由余弦定理得:EM==,∴cos∠AEM=,而在△ABC中,cos∠BAC=,∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC,∴AB∥EM,則EM∥平面PAB.由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC,∴NE∥PA,則NE∥平面PAB.∵NE∩EM=E,∴平面NEM∥平面PAB,則MN∥平面PAB;(2)解:在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=,得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=.∴AM2+MC2=AC2,則AM⊥MC,∵PA⊥底面ABCD,PA?平面PAD,∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,∴CM⊥平面PAD,則平面PNM⊥平面PAD.在平面PAD內(nèi),過(guò)A作AF⊥PM,交PM于F,連接NF,則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角.在Rt△PAC中,由N是PC的中點(diǎn),得AN==,在Rt△PAM中,由PA?AM=PM?AF,得AF=,∴sin.∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定,考查直線與平面所成角的求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查了空間想象能力和計(jì)算能力,是中檔題.19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E為PA的中點(diǎn).(1)證明:DE∥平面PBC;(2)證明:DE⊥平面PAB.參考答案:
略20.為了解A,B兩種輪胎的性能,某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機(jī)抽取了8個(gè)進(jìn)行測(cè)試,下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)(單位:1000km)輪胎A
96,112,97,108,
100,103,
86,
98輪胎B
108,101,94,105,96,93,97,106(1)分別計(jì)算A,B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)、中位數(shù);(2)分別計(jì)算A,B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差、標(biāo)準(zhǔn)差;(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為哪種型號(hào)的輪胎性能更加穩(wěn)定?
參考答案:解:(1)100,100
(2)99,99
(3)26,15
略21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)⑴求的最小值.⑵若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;參考答案:解:⑴,令即,得當(dāng)時(shí),,原函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,原函數(shù)單調(diào)遞增;所以函數(shù)在處取到最小值,最小值。⑵由得。令,令。在處取到最大值為1,所以。略22.已知函數(shù)
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