第二章z變換與離散時間傅里葉變換

第二章

Z變換與離散時間傅里葉變換※序列的Z變換※序列的傅里葉變換※離散時間系統(tǒng)變換域分析1第二章第1講§1序列的Z變換Z變換的定義抽樣信號令：雙邊Ｚ變換單邊Ｚ變換拉氏變換與Ｚ變換：版權所有違者必究2第二章第1講1講●

z變換的收斂域一般，序列的Z變換并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和，因此z平面的收斂域應滿足

Z變換的收斂域版權所有違者必究3第二章第1講1講

z變換的收斂域jIm[z]Rx+Rx-Re[z]0Rx-〈|z|〈Rx+這就是收斂域，一個以Rx-和Rx+為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和Rx+稱為收斂半徑，Rx-和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關，特殊情況為Rx-等于0，Rx+為無窮大，這時圓環(huán)變成圓或空心圓。因為對于實數(shù)序列，

因此，|z|值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對可和條件，這個范圍一般表示為版權所有違者必究4第二章第1講1講這里主要討論以下四種序列：a有限長序列序列(序列x(n)只在有限長度n1~n2

內(nèi)有值，其余為零)其Z變換X（z）是有限項的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項有界，有限項和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于|z|-n〈∞，n1≤n≤n2。顯然|z|在整個開域（0，∞）都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除0及∞兩個點（對應n>0和n<0不收斂）以外的整個z平面：

0〈|z|〈∞版權所有違者必究5第二章第1講1講b右邊序列指x（n）只在n≥n1，有值，而n〈n1時，x（n）=0

收斂域：

，為收斂半徑Rx-以外的z平面，

如果對n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，則根據(jù)條件（n1≤n≤n2），收斂域可進一步擴大為包括0點或∞點的半開域：版權所有違者必究6第二章第1講1講右邊序列中最重要的一種序列是“因果序列”，即n1≥0的右邊序列，因果序列只在n≥0有值，n〈0時，x（n）=0，其z變換為：

收斂域：

Z變換的收斂域包括∞點是因果序列的特征。版權所有違者必究7第二章第1講1講c左邊序列序列x（n）只在n≤n2有值，n〉n2時，x（n）=0

收斂域：|Z|〈Rx+，在收斂半徑為Rx+的圓內(nèi)。d雙邊序列可看作一個左邊序列和一個右邊序列之和，因此雙邊序列z變換的收斂域是這兩個序列z變換收斂域的公共部分。版權所有違者必究8第二章第1講1講

如果Rx+〉Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域:Rx-〈|z|〈Rx-如Rx+〈Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂.Z變換收斂域的特點：

1）收斂域是一個圓環(huán)，有時可向內(nèi)收縮到原點，有時可向外擴展到∞，只有x（n）=δ（n）的收斂域是整個z平面。

2）在收斂域內(nèi)沒有極點，X（z）在收斂域內(nèi)每一點上都是解析函數(shù)。

收斂域右邊序列的收斂域收斂域左邊序列的收斂域收斂域雙邊序列的收斂域版權所有違者必究9第二章第1講1講

例1

序列x（n）=δ（n）

由于n1=n2=0，其收斂域為整個閉域z平面，0≤|Z|≤∞，

例2

矩形序列x（n）=RN（n）等比級數(shù)求和

版權所有違者必究10第二章第1講1講例3：求序列x

(n)=anu(n)的Z變換。

解：為保證收斂，則收斂域Z平面若a=1,則版權所有違者必究11第二章第1講1講例4：求序列x(n)=-anu(-n-1)的Z變換。

解：為保證收斂，則收斂域Z平面版權所有違者必究12第二章第1講1講例5：求序列x

(n)=(1/3)|n|的Z變換。

解：|z|>1/3時，第二項收斂于，對應于右邊序列。|z|<3時，第一項收斂于，對應于左邊序列。當時：零點：0，極點：3，1/3收斂域Z平面版權所有違者必究13第二章第1講1講逆Z變換逆Z變換從給定的Z變換表達式(包括收斂域)求原序列的過程稱為逆z變換。其實質(zhì)是求X(z)的冪級數(shù)展開式各項的系數(shù)。逆Z變換的三種基本方法

圍線積分法部分分式展開法長除法（冪級數(shù)展開法）圍線積分法式中C為收斂域中的一條逆時針環(huán)繞原點的閉合曲線。

版權所有違者必究14第二章第1講1講逆Z變換是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C內(nèi)的一組極點是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C外的一組極點

如果還滿足在有二階或二階以上的零點，則根據(jù)留數(shù)輔助定理，有:

若被積函數(shù)是有理分式，一般采用留數(shù)定理來計算圍線積分。根據(jù)留數(shù)定理，等于圍線C內(nèi)全部極點留數(shù)之和，即:

版權所有違者必究15第二章第1講1講逆Z變換在具體利用留數(shù)定理進行圍線積分計算時，應根據(jù)被積函數(shù)的特點及n值靈活選用公式來計算，可使問題得以簡化。例如，在n小于某一值時，被積函數(shù)在圍線內(nèi)部z=0處可能具有高階極點，這時采用圍線外部的極點進行計算將方便得多。如果為單階極點，按留數(shù)定理:

如果為階極點，則其留數(shù)為:

版權所有違者必究16第二章第1講1講

求原序列x(n)已知某序列的Z變換為:

解:并且當時，z=0處不是極點，被積函數(shù)僅有單階極點a，在收斂域內(nèi)取圍線C包含極點a，可求得:

由于收斂域為，可知該序列必定是因果序列。例1:逆Z變換版權所有違者必究17第二章第1講1講逆Z變換例2：求原序列x(n)已知序列的Z變換為：解：a1/a收斂域|z|=|a|圍線C∵所給收斂域為環(huán)域∴原序列必為雙邊序列|z|=|1/a|在收斂域內(nèi)作包圍原定的圍線C版權所有違者必究18第二章第1講1講逆Z變換當時，只有一個單階極點z=a,其圍線積分為：當n<0時，被積函數(shù)在圍線內(nèi)除了在z=a處有一個單階極點，在z=0處為高階極點，因為這時在圍線外X(z)zn-1只有一個單極點z=a-1，因此有:

版權所有違者必究19第二章第1講1講部分分式展開法逆Z變換用部分分式展開法求反Z變換，通常為有理分式。1、單極點若序列為因果序列，且N≥M，當X(z)的N個極點都是單極點時，可以展開成以下的部分分式的形式：則其逆Z變換為：版權所有違者必究20第二章第1講1講逆Z變換說明：1、X(z)較簡單時可按算術展開求各系數(shù)Ak(k=0,1…,N)。

2、X(z)較復雜時可按留數(shù)定理求各系數(shù)Ak(k=0,1…,N)，此時為了方便通常利用X(z)/z的形式求?。喊鏅嗨羞`者必究21第二章第1講1講逆Z變換2、高階極點當上述有理分式中的M≥N且具有高階極點時，若設除單極點外，在zi處還有一個s階的極點，則其展開式修改為：式中Bk(k=0,1…,N)為X(z)整式部分的系數(shù)，可用長除法求得。Ak仍按上面的方法計算，Ck的計算公式為：版權所有違者必究22第二章第1講1講逆Z變換例：已知，求X(z)的原序列。

解：由求系數(shù)Ak的公式求得

因為X(z)的收斂域為，為因果序列，從而求得

將X(z)變?yōu)閄(z)/z的形式并化為部分分式版權所有違者必究23第二章第1講1講逆Z變換長除法（冪級數(shù)展開法）若把X(z)展開成z-1的冪級數(shù)之和，則該級數(shù)的各系數(shù)就是序列x(n)的值。在具體進行長除法時，要根據(jù)收斂域先確定序列是左邊序列還是右邊序列。對于左邊序列Z變換為z的正冪級數(shù)，分子分母多項式應按升冪排列展開；對于右邊序列，Z變換為z的負冪級數(shù)，分子分母應按降冪排列進行展開。

典型例題版權所有違者必究24第二章第1講1講用長除法求

的逆Z變換。

由收斂域知，這是一右邊序列。用長除法將其展開成z的負冪級數(shù)時應將分母多項式按降冪排列。例:解：即：逆Z變換版權所有違者必究25第二章第1講1講逆Z變換例:用長除法求的逆Z變換∵收斂域為環(huán)域，∴x(n)必為雙邊序列。解：對右邊序列

∴右邊序列為:

對左邊序列

∴左邊序列為:

綜上可得:

版權所有違者必究26第二章第1講1講逆Z變換例:求的逆Z變換。由收斂域知原序列應為因果序列。的冪級數(shù)展開式為

故有，即：

用

代入上式，因解：版權所有違者必究27第二章第1講1講序列Z變換收斂域1全部z版權所有違者必究28第二章第1講1講線性性Z變換的性質(zhì)與定理序列的移位序列乘指數(shù)序列（尺度性）返回返回版權所有違者必究29第二章第1講1講Z變換的性質(zhì)與定理序列的反褶序列的共軛Z域微分性返回版權所有違者必究30第二章第1講1講Z變換的性質(zhì)與定理初值定理若x(n)為因果序列，它的初值為：若x(n)為因果序列，且其Z變換的極點除在z=1處可以有一個一階極點外，其它極點均在單位圓內(nèi)，則有：終值定理卷積定理返回版權所有違者必究31第二章第1講1講Z變換的性質(zhì)與定理序列相乘（復卷積定理）Parseval定理返回版權所有違者必究32第二章第1講1講Z變換的性質(zhì)與定理重抽樣序列的Z變換對序列抽取運算時，將序列x(n)以M抽取后形成的新序列y(n)。兩者之間的關系為：

●有限項累加特性設x(n)為因果序列，X(z)=Z[x(n)],|z|>則版權所有違者必究33第二章第1講1講典型例題求序列的z變換，并確定其收斂域。解：例1線性性查看性質(zhì)版權所有違者必究34第二章第1講1講求的z變換和收斂域。解：例2典型例題查看性質(zhì)序列的移位性版權所有違者必究35第二章第1講1講典型例題查看性質(zhì)例3解：X(z)對z進行微分：Z域微分性逆Z變換版權所有違者必究36第二章第1講1講典型例題查看性質(zhì)例4用卷積定理求

解：卷積定理逆Z變換版權所有違者必究37第二章第1講1講典型例題查看性質(zhì)例5用復卷積定理求

解：復卷積定理版權所有違者必究38第二章第1講1講典型例題查看性質(zhì)在v平面中，被積函數(shù)有2個極點，即v1=z/a和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收斂域為：可見，只有一個極點v2=b在圍線C內(nèi)。由留數(shù)定理求得：版權所有違者必究39第二章第1講1講Z變換與拉氏變換的關系S平面到Z平面的映射Z變換與拉氏變換的關系:

這一關系實際上是通過將S平面的函數(shù)映射到了Z平面。

若將Z平面用極坐標表示，S平面用直角坐標表示，代入，得：上述關系表明：z

的模r僅與s的實部相對應，z

的幅角則僅與s的虛部對應。

映射關系：版權所有違者必究40第二章第1講1講Z變換與拉氏變換的關系(S平面實軸映射到Z平面的正實軸)

(S平面原點映射到z

=1點)(當由-/T增加到+/T時,對應于由-增加到+)

由于是的周期函數(shù)，S平面每增加一個寬為2/T的水平條帶時，對應于Z平面從-到+旋轉了一周。這樣就有：

即S平面的整個虛軸都映射到了Z平面=1的單位圓上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,這些關系示于下圖示：

版權所有違者必究41第二章第1講1講抽樣序列的Z變換表示Z變換與拉氏變換的關系抽樣序列的傅立葉變換即抽樣序列的頻譜。由于傅立葉變換是拉氏變換在虛軸上的特例，按照前面的S→Z平面的映射關系，它映射到Z平面=1的單位圓上，故有或定義：Z平面的角變量，稱為數(shù)字頻率，單位為弧度。版權所有違者必究42第二章第1講1講序列傅立葉變換的定義§2序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換是從頻域對離散時間信號和系統(tǒng)進行分析。它是用{

}作為基函數(shù)對序列進行正交展開，這與連續(xù)時間信號中的傅立葉變換用{

}對模擬信號進行展開相似。版權所有違者必究43第二章第1講1講§2序列的傅立葉變換

1．序列傅立葉正變換

x(n)的傅立葉變換定義如下:

是的連續(xù)函數(shù)。但由于其中M為整數(shù)，故有

可見還是的周期函數(shù)，周期為2。

版權所有違者必究44第二章第1講1講序列傅立葉變換的定義2．序列傅立葉變換與Z變換的關系

比較后可見：序列的傅立葉變換是Z變換在時的Z變換，即Z變換在的單位圓上的特殊情況。序列的傅立葉變換式：

序列的Z變換定義式：

版權所有違者必究45第二章第1講1講序列傅立葉變換的定義由于單位圓上的Z變換就等于抽樣序列的傅立葉變換，也就是序列的頻譜，因此，序列的傅立葉變換也就是序列的頻譜。由于序列的傅立葉變換直接給出了序列的頻譜，在頻譜分析與數(shù)字濾波器設計中經(jīng)常用到，因此它是信號處理的重要工具之一。

版權所有違者必究46第二章第1講1講序列傅立葉變換的定義一般為的復變函數(shù)，可表示為:

其中，分別為的實部和虛部；通常稱為序列的幅頻特性或幅度譜，而稱為相位譜，并且有：顯然都是的連續(xù)函數(shù)和周期為2的周期函數(shù)。版權所有違者必究47第二章第1講1講序列傅立葉變換的定義3．序列的傅立葉反變換

4．序列的傅立葉變換的收斂條件

即序列絕對可和該條件是序列傅立葉變換存在的充分但非必要條件有些序列雖然不滿足以上條件，但滿足平方可和，其傅立葉變換依然存在。見后例。某些既不滿足絕對可和的條件也不滿足平方可和條件的序列，若引入頻域的沖擊函數(shù)，其傅立葉變換也存在。如、某些周期序列，見后例。

版權所有違者必究48第二章第1講1講序列傅立葉變換的定義5．常用序列的傅立葉變換

序列傅立葉變換版權所有違者必究49第二章第1講1講典型例題已知，求它的傅立葉變換。

解：其幅度譜和相位譜分別為：例1版權所有違者必究50第二章第1講1講典型例題例2已知序列的傅立葉變換如下，求它的反變換。

解：顯然序列不是絕對可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立葉變換。Parseval定理版權所有違者必究51第二章第1講1講典型例題例3證明復指數(shù)序列的傅立葉變換為：

證：根據(jù)序列的傅立葉反變換定義，利用沖擊函數(shù)的性質(zhì)，有：若序列為復指數(shù)和的形式：

推論版權所有違者必究52第二章第1講1講典型例題例4求余弦序列的傅立葉變換

解：可見：序列的傅立葉變換表現(xiàn)為在處的沖擊，強度為，并以2為周期進行周期延拓。

利用上例結論版權所有違者必究53第二章第1講1講序列傅立葉變換的性質(zhì)下面所列出的性質(zhì)都可直接由Z變換令得到，可自行證明。因序列的傅立葉變換是Z變換在的單位圓上的特例，故所有Z變換的性質(zhì)對傅立葉變換都成立。版權所有違者必究54第二章第1講1講序列傅立葉變換的性質(zhì)線性性序列的移位頻域的相移序列的反褶版權所有違者必究55第二章第1講1講序列傅立葉變換的性質(zhì)序列的共軛頻域微分性對時域信號進行線性加權對應于頻域的微分時域卷積定理版權所有違者必究56第二章第1講1講序列傅立葉變換的性質(zhì)頻域卷積定理（序列相乘）序列相關推論序列的自相關函數(shù)的傅立葉變換就是序列的功率譜---維納-辛欠定理版權所有違者必究57第二章第1講1講序列傅立葉變換的性質(zhì)Parseval定理該定理表明：信號在時域中的能量等于頻域中的能量重抽樣序列的傅立葉變換該性質(zhì)表明：重抽樣序列的頻譜是將原來序列的頻譜展寬了M倍，并將展寬后的頻譜以為周期擴展了M個，幅度則下降到原來的1/M。版權所有違者必究58第二章第1講1講序列傅立葉變換的對稱性序列的共軛對稱性質(zhì)若序列滿足

則稱為共軛對稱序列類似地，若序列滿足

則稱為共軛反對稱序列

任何序列均可表示成上述兩種序列之和，其中版權所有違者必究59第二章第1講1講序列傅立葉變換的對稱性若將共軛對稱序列用它的實部和虛部來表示：此式表明：的實部是n的偶函數(shù)，而虛部是n的奇函數(shù)；的實部是n的奇函數(shù)，而虛部是n的偶函數(shù)。

序列傅立葉變換的共軛對稱性質(zhì)將分成實部與虛部

共軛對稱部分共軛反對稱部分版權所有違者必究60第二章第1講1講序列傅立葉變換的對稱性上式表明：的傅立葉變換對應于的實部；的傅立葉變換對應于的虛部(加上j在內(nèi))。版權所有違者必究61第二章第1講1講序列傅立葉變換的對稱性結論：

具有共軛對稱性質(zhì)，具有共軛反對稱性質(zhì)。若序列為純實數(shù)序列，即若

所以實序列x(n)的傅立葉變換的實部是w的偶函數(shù)，而虛部是w的奇函數(shù)；幅度是w的偶函數(shù)，而相位是w的奇函數(shù)推論若序列為純虛數(shù)序列，即若所以純虛數(shù)序列的傅立葉變換是w的奇函數(shù)。

版權所有違者必究62第二章第1講1講§3離散時間系統(tǒng)變換域分析

系統(tǒng)函數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點與頻率響應63第二章第1講系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的頻率響應本節(jié)將以系統(tǒng)函數(shù)和傳輸函數(shù)為核心來研究系統(tǒng)的變換域分析方法，它們分別是h(n)的Z變換和傅立葉變換。1、系統(tǒng)函數(shù)：若系統(tǒng)單位脈沖響應為h(n)，則線性時不變離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應的輸入輸出關系為：兩邊取Z變換得

稱H(z)為線性時不變離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應的Z變換

，即：版權所有違者必究64第二章第1講1講

2、系統(tǒng)的頻率響應（傳輸函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的Z變換，即單位脈沖響應的傅立葉變換稱為系統(tǒng)的頻率響應，又稱為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。傳輸函數(shù)若給系統(tǒng)輸入單頻率的復信號，則系統(tǒng)的輸出為：物理意義結論：當輸入為一個單頻率的信號時，輸出亦為同一頻率的信號，但其幅度與相位都因為的加權而發(fā)生了變化，且的值是隨頻率的變化而變化的。版權所有違者必究65第二章第1講1講

穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應存在且連續(xù)1）因果：2）穩(wěn)定：序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性版權所有違者必究66第二章第1講1講系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性例：若系統(tǒng)函數(shù)如下式，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

H(z)有2個極點，和，給定的收斂域為，包括無窮遠點，故系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。但收斂域不包括單位圓，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

解：3）因果穩(wěn)定：Roc：H(z)須從半徑小于1的圓到的整個z域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內(nèi).版權所有違者必究67第二章第1講1講若將收斂域改為，這時，收斂域包括單位圓，但不包括無窮遠點，此時系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果。實際上這時系統(tǒng)的單位脈沖響應為，顯然不是因果的。該例表明:①同一個系統(tǒng)函數(shù)，如果收斂域不同，系統(tǒng)的特性是完全不同的。②由于任何物理可實現(xiàn)系統(tǒng)都必定是因果的，對于這種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)，有時可采用將單位脈沖響應截取一段后保存在存儲器中，通過延時使之變成因果系統(tǒng)來近似實現(xiàn)。版權所有違者必究68第二章第1講1講如該例中，若將截取從的一段，然后令：來近似實現(xiàn)，如圖所示。顯然N越大，近似程度越好，但系統(tǒng)也就越復雜成本也越大。版權所有違者必究69第二章第1講1講版權所有違者必究70第二章第1講1講二、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程常系數(shù)線性差分方程：取z變換則系統(tǒng)函數(shù)版權所有違者必究71第二章第1講1講版權所有違者必究72第二章第1講1講版權所有違者必究73第二章第1講1講版權所有違者必究74第二章第1講1講版權所有違者必究75第二章第1講1講三、系統(tǒng)的頻率響應的意義1）LSI系統(tǒng)對復指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應：在穩(wěn)態(tài)下，輸入為復指數(shù)時，輸出也含有復指數(shù)