2022-2023學(xué)年四川綿陽市高三年級上冊學(xué)期12月二診模擬考試（3）理科數(shù)學(xué)試題

2020級綿陽二診理科數(shù)學(xué)模擬試題（三）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．“直線與直線相互垂直”是“”的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知正數(shù)x，y滿足：，則下列關(guān)系式恒成立的是（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的實(shí)軸長為4，虛軸長為6，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：與聲音強(qiáng)度單位：滿足．一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級約為，在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級約為，那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的（）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍6．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．10 B．12 C．4 D．57．下列說法中，正確的命題的是（）A．一臺晩會(huì)有6個(gè)節(jié)目，其中有2個(gè)小品，如果2個(gè)小品不連續(xù)演出，共有不同的演出順序240種B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和0.3C．若事件與事件互斥，則事件與事件獨(dú)立D．若樣本數(shù)據(jù)，，…的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為168．若離散型隨機(jī)變量的分布列如下，若，，則（）012A． B． C． D．9．若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．蒙特·卡羅方法（MonteCarlomethod），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法．某同學(xué)根據(jù)蒙特·卡羅方法設(shè)計(jì)了以下實(shí)驗(yàn)來估計(jì)圓周率的值，每次用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，共進(jìn)行了2000次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)與3能構(gòu)成以3為最長邊的鈍角三角形的情況有565種，則由此估計(jì)的近似值為（）A．3.15 B．3.14 C．3.13 D．3.1211．已知點(diǎn)在以，為左、右焦點(diǎn)的橢圓上，橢圓內(nèi)存在一點(diǎn)在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A． B． C． D．12．對于函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①該函數(shù)的值域是；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取最大值1；③該函數(shù)的最小正周期為；④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；其中所有正確命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是______．14．已知平面向量，為單位向量，且，則向量在向量上的投影為______．15．已知數(shù)列的各項(xiàng)互異，且，，則______．16．已知曲線，拋物線，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的有______．①直線是曲線和的公切線②曲線和的公切線有且僅有一條；③最小值為；④當(dāng)軸時(shí)，最小值為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求使不等式成立的最小正整數(shù)．18．當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢依然復(fù)雜嚴(yán)峻．為進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的防控意識，讓全體學(xué)生充分了解新冠肺炎疫情的防護(hù)知識，提高防護(hù)能力，做到科學(xué)防護(hù)，某中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行了新冠肺炎疫情防控科普知識線上問答，共有100人參加了這次問答，將他們的成績（滿分100分）分成六組：，，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）試估計(jì)這100人的問答成績的中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）用分層抽樣的方法從問答成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取24人參加疫情防控知識宣講，那么在，，內(nèi)應(yīng)各抽取多少人？19．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并進(jìn)行解答．（1）求角的大小；（2）若角的內(nèi)角平分線交于，且，求的最小值．20．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．21．在中，已知點(diǎn)，，邊上的中線長與邊上的中線長之和為6．記的重心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）如圖，若圓，，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)A，B，直線，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P，M，求面積的最大值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．已知的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，（1）求的直角坐標(biāo)方程，（2）過作直線交圓于P，Q兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．23．已知．（1）解不等式．（2）記的最小值為，若，求的最小值．2020級綿陽二診理科數(shù)學(xué)模擬試題（三）答案題號123456789101112答案AADCBABDBCDB8．【詳解】由題意知，①；由，即，得②；由，即整理得③聯(lián)立①②③解得，，；又因?yàn)樗裕蔬x：D．9．【詳解】因?yàn)橛凶钚≈?，?dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增，且，即在上沒有最小值；當(dāng)時(shí)，，易知在上必有最小值，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，易知，故不是在上的最小值，則在上沒有最小值，不滿是題意；當(dāng)時(shí)，，要使得是在上的最小值，則，即，解得或，所以；綜上：，即．故選：B．11．【詳解】解：因?yàn)?，，不妨設(shè)，，，由橢圓定義可知：，，由勾股定理可知：，即，化簡可得：，點(diǎn)在延長線上，且在橢圓內(nèi)部，所以，，解得：．令在上單調(diào)遞增，所以，解得：，∴．又，且在橢圓內(nèi)部，所以，則，∴．作出函數(shù)f（x）的圖象，利用圖象逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng)．12．【詳解】因?yàn)椋?，，對于?），，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，作出函數(shù)的圖象（圖中實(shí)線）如下圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的最小正周期為，（3）對；對于（1），由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?，?）錯(cuò)；對于（2），由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最大值1，（2）錯(cuò)；對于（4），由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，（4）對．故選：B．13．14．15．216．①③④．15．【詳解】由題意，得，則，,即．所以．故答案為：216．選項(xiàng)①，對于曲線，，當(dāng)時(shí)，，．故直線與曲線相切與點(diǎn)；聯(lián)立，可得，故此時(shí)直線與切于點(diǎn)，故直線是曲線和的公切線，故①正確：對于②，設(shè)公切線分別與，切于點(diǎn)，，則曲線的切線為：，曲線的切線為，桹據(jù)與表示同一條直線，則有，解得，令，則有，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在一條公切線故曲線和的公切線有且僅有2條，故②錯(cuò)誤；對于③，如圖所示，可得，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，故有：，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有：，令，可得，再次求導(dǎo)可得：，故在上單調(diào)遞增，又，可得：當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；故，則，故，故③正確；對于④，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，則，則有：，記，則有，令，解得：，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有，故，故選項(xiàng)④正確．故答案為：①③④．17．（1）由題意得：根據(jù)，得：，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列?！啵?）∵ ∴∴．解得或，又 ∴使不等式成立的最小正整數(shù)為11．18．（1），解得．（2），故中位數(shù)為．平均數(shù)為．（3），，，內(nèi)應(yīng)各抽人數(shù)分別為：，，．19．（1）若選條件①，由正弦定理得：，∵，∴，∴，則，又，∴．若選條件②，由得：，∴，則，又，∴．若選條件③，由得：，∴，即，又，，∴．（2）∵，∴，即，∴，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），∴的最小值為9．20．（1）解∵函數(shù)，∴，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，有極小值；當(dāng)時(shí)，，故，∴在上單調(diào)遞減，故此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．可得，，易知，則當(dāng)及時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∴在處有極小值，在處有極大值．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)．（2）證明由（1）可知當(dāng)時(shí)有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，是方程的兩個(gè)正根，則，?！?，令，∴，，∴在上單調(diào)遞減，故，∴．21．（1）解：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及已知條件，得∵，∴曲線是以，為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓（不含軸上的兩點(diǎn)）由，，得，∴C的方程為；（2）解：法一，因?yàn)?，由題意知直線，的斜率存在且不為0，，不妨設(shè)直線的斜率為，則．由，解得或，∴∴，用代替，可得，∴，設(shè)，由，可得匙，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，∴，∴，令，函數(shù)在上遞增，∴，∴，當(dāng)時(shí)，取等號，∴面積的最大值為．法二、設(shè)，，易知斜率存在，設(shè)直線為由得，∴，∵，．∴，得，即整理得：，∴舍去，∴與軸交于∴設(shè)，∴在時(shí)單調(diào)遞減，∴當(dāng)，即時(shí)，22．（1）的極坐標(biāo)方程為：，則，所以所以的直角坐標(biāo)方程為（