高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量 市獲獎

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題中的真命題是()A．單位向量都相等B．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠bD．若|a|＝|b|，則a∥b解析：只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量．答案：C2．設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，則(a＋2b)·c＝()A．(－15，12) B．0C．－3 D．－11解析：a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3.答案：C3．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：因為m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.答案：B4．已知點A(1，3)，B(4，－1)，則與向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，與其同方向的單位向量e＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,5)(3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).答案：A5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝eq\r(19)，則向量a與b的夾角為()A．30° B．45°C．60° D．以上都不對解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2).又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.答案：C6．向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(4，－3)，向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－4)，則△ABC的形狀為()A．等腰非直角三角形B．等邊三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴△ABC是直角非等腰三角形．答案：C7．如圖，M，N分別是AB，AC的一個三等分點，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))成立，則λ＝()\f(1,2) \f(1,3)\f(2,3) D．±eq\f(1,3)解析：由eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，得λ＝eq\f(1,3).答案：B8．已知點A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為()\f(3\r(2),2) \f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)解析：由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，因此eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).答案：A9．兩個大小相等的共點力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°時，合力的大小為20N，則當(dāng)它們的夾角為120°時，合力的大小為()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N \r(10)N解析：對于兩個大小相等的共點力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°，合力的大小為20N時，由三角形法則可知，這兩個力的大小都是10eq\r(2)N；當(dāng)它們的夾角為120°時，由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形，因此合力的大小為10eq\r(2)N.答案：B10．設(shè)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，∠BAC＝60°，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AB,\s\up6(→))，x∈[0，1]，則eq\o(AE,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影的取值范圍是()A．[0，1] B．[1，7]C．[7，9] D．[9，21]解析：由eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AB,\s\up6(→))，x∈[0，1]，可知B，D，E共線，且E點在線段BD上，如圖所示．因為E點在線段BD上，所以eq\o(AE,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影d的取值范圍是|eq\o(AF,\s\up6(→))|≤d≤|eq\o(AG,\s\up6(→))|.而|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos60°＝2×eq\f(1,2)＝1，|eq\o(CG,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝2(3－1)＝4，|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4＋3＝7，所以d∈[1，7]，故選B.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)11．平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，則向量a，b的夾角為________．解析：(a＋b)(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夾角為eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)12．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________．解析：|5a－b|＝eq\r(|5a－b|2)＝eq\r(（5a－b）2)＝eq\r(25a2＋b2－10a·b)＝eq\r(25＋9－10×1×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝7.答案：713．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，由于eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，解得λ＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是線段BC上一動點，Q是線段DC上一動點，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的取值范圍是________．解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，1)，C(1，1)．設(shè)Q(m，n)，由eq\o(DQ,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))得，(m，n－1)＝λ(1，0)，即m＝λ，n＝1.又B(2，0)，設(shè)P(s，t)，由eq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0，1]．故eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))∈[0，2]．答案：[0，2]三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)設(shè)|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．解析：方法一∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq\f(1,3).∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×eq\f(1,3)＋1＝12.∴|3a＋b|＝2eq\r(3).方法二設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＝1.∵3a－2b＝(3x1－2x2，3y1－2y2)，∴|3a－2b|＝eq\r(（3x1－2x2）2＋（3y1－2y2）2)＝3，∴x1x2＋y1y2＝eq\f(1,3)，∴|3a＋b|＝eq\r(（3x1＋x2）2＋（3y1＋y2）2)＝eq\r(9＋1＋6×\f(1,3))＝2eq\r(3).16．(本小題滿分12分)如右圖，在平面直角坐標(biāo)系中，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∠OAB＝eq\f(2π,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3))．(1)求點B，C的坐標(biāo)；(2)求證：四邊形OABC為等腰梯形．解析：(1)設(shè)B(xB，yB)，則xB＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos(π－∠OAB)＝eq\f(5,2)，yB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·sin(π－∠OAB)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))＋(－1，eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).(2)證明：連接OC.∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).又|eq\o(OC,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(AB,\s\up6(→))|，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，∴四邊形OABC為等腰梯形．17．(本小題滿分12分)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b，d＝a－b.(1)若c∥d，求k的值，并判斷c，d是否同向；(2)若|a|＝|b|，a與b的夾角為60°，求當(dāng)k為何值時，c⊥d.解析：(1)c∥d，故c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．又a，b不共線，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,k＝－1.))即c＝－d，故c與d反向．(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－