利用導(dǎo)數(shù)證明不等式復(fù)習(xí)課程

第三章導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)及其應(yīng)用利用(lìyòng)導(dǎo)數(shù)證明不等式第一頁，共15頁。第二頁，共15頁。(1)函數(shù)單調(diào)(dāndiào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)(dāndiào)性。具體有如下幾種形式利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)(dāndiào)性來證明不等式。我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)(dāndiào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)(dāndiào)性,然后再用：方法：直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)(dāndiào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（小），來證明不等式成立。第三頁，共15頁。例1、證明(zhèngmíng)：當(dāng)x>0時(shí)，x>ln(1+x)解：設(shè)f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).所以(suǒyǐ)f(x)在x>0上單調(diào)遞增，從而(cóngér)當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)>f(0)=0即f(x)>0第四頁，共15頁。例2:當(dāng)x>1時(shí),證明(zhèngmíng)不等式:證:設(shè)顯然,當(dāng)x>1時(shí),

,故f(x)是（1,+∞)上的增函數(shù).所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0第五頁，共15頁。例3已知：x>0，求證(qiúzhèng)：x>sinx[證明]設(shè)f(x)＝x－sinx(x>0)f′(x)＝1－cosx≥0對x∈(0，＋∞)恒成立∴函數(shù)(hánshù)f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)(hánshù)∴f(x)>f(0)＝0∴f(x)>0即x－sinx>0對x∈(0，＋∞)恒成立即：x>sinx(x>0)．第六頁，共15頁。有時(shí)把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)(hánshù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)(hánshù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。第七頁，共15頁。方法2：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)(hánshù)的最值（或值域）后，再證明不等式。導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)(hánshù)的最值.因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)(hánshù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)(hánshù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)(hánshù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)(hánshù)求最值問題。第八頁，共15頁。x0(0,0.5)0.5(0.5，1)1

+

—

f(x)f(0)單調(diào)遞增↗極大值f(0.5)單調(diào)遞減↘

f(1)第九頁，共15頁。x0—+f(x)單調(diào)遞減↘f(0)單調(diào)遞增↗第十頁，共15頁。第十一頁，共15頁。例7、求證(qiúzhèng)證明：設(shè)第十二頁，共15頁。在x=1附近由負(fù)到正令=0,解得x=1,當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值，這里(zhèlǐ)也是最小值所以(suǒyǐ)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥f(1)=0從而第十三頁，共15頁。小結(jié):①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值(jízhí)(極大值與極小值);②將函數(shù)y=f(x)的各極值(jízhí)與f(a)、f(b)（即端點(diǎn)的函數(shù)值）作比較,其中最大的一個(gè)為最大