初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)上冊(cè)第3章　圓的基本性質(zhì)3．8　弧長(zhǎng)及扇形的面積(j)

弧長(zhǎng)及扇形的面積(一)1.已知120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是6π，則此弧所在圓的半徑是9.2.如圖，扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，則該扇形的周長(zhǎng)為2π＋6(結(jié)果保留π).(第2題)3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(π,3).(第3題)4.已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置.搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50m.若半圓的直徑為4m，則圓心O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是2π＋50(第4題)5.如圖，△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，∠C＝40°，則eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)是eq\f(8,9)π.(第5題)6.如圖，用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索(粗細(xì)不計(jì))與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了(C(第6題)A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcm7.如圖，小明把一長(zhǎng)為4cm，寬為3cm的矩形木板在桌面上做無(wú)滑動(dòng)的翻轉(zhuǎn)(順時(shí)針)，木板上點(diǎn)A的位置變化為A→A1→A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使得木板與桌面成30°角，則點(diǎn)A翻轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2走過(guò)的路徑長(zhǎng)為((第7題)A.10πcmB.4πcmC.πcmD.πcm8.如圖所示是一段圓弧形彎道，已知eq\o(DB,\s\up8(︵))＝50cm，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝30cm，求彎道的中心線eq\o(EF,\s\up8(︵))的長(zhǎng).(第8題)【解】設(shè)∠BOD的度數(shù)為n，則eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ·OD,180)，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ·OC,180)，eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ·OE,180).∵OE＝OC＋eq\f(OD－OC,2)＝eq\f(OC＋OD,2)，∴eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\f(nπ,180)·eq\f(OC＋OD,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ·OC,180)＋\f(nπ·OD,180)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(︵))＋eq\o(BD,\s\up8(︵)))＝eq\f(1,2)(30＋50)＝40(cm).9.如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，P是⊙O上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C，D不重合)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過(guò)45°時(shí)，點(diǎn)Q走過(guò)的路徑長(zhǎng)為(A)(第9題)A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)【解】連結(jié)OP.∵PM⊥AO，PN⊥OD，AB⊥CD，∴四邊形ONPM是矩形.又∵Q為MN的中點(diǎn)，∴Q為OP的中點(diǎn)，∴OQ＝1.∴點(diǎn)Q走過(guò)的路徑長(zhǎng)＝eq\f(45π×1,180)＝eq\f(π,4).10.如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2eq\r(2)，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π.(第10題)【解析】如解圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，取CE的中點(diǎn)F，連結(jié)PE，MF.(第10題解)∵在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2eq\r(2)，∴AB＝4.∵E是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為圓心，∴PE＝eq\f(1,2)AB＝2.∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，∴MF是△CPE的中位線，∴MF＝eq\f(1,2)PE＝1.∵F為定點(diǎn)，∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的半圓弧，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為eq\f(1,2)×2π×1＝π.11.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.(1)求證：BD＝CD.(2)若⊙O的半徑為3，求eq\o(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng).(第11題)【解】(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°.∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°＝∠DBC，∴BD＝CD.(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的度數(shù)為60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(60π×3,180)＝π.12.已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，將△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).(第12題)(1)如圖①，當(dāng)α＝90°時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG＝AD，連結(jié)GF.求證：GF∥AC.(2)如圖②，當(dāng)90°≤α≤180°時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M.①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C，D不重合時(shí)，連結(jié)CM，求∠CMD的度數(shù).②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).【解】(1)∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°.由旋轉(zhuǎn)可得∠CBF＝∠A＝45°，∴∠ABF＝∠ABC＋∠CBF＝90°.∵BG＝AD＝BF，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，∴∠A＝∠BGF，∴GF∥AC.(2)①∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD.∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF.∵2∠CAE＋∠ACE＝180°，2∠CDF＋∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF.∴A，D，M，C四點(diǎn)共圓，∴∠DAM＝∠DCM，∴∠CMF＝∠CDM＋∠DCM＝∠CAE＋∠DAM＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°－∠CMF＝135°.(第12題解)②如解圖，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，CM.∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.由①可知A，D，M，C四點(diǎn)共圓，∴當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以AC為直徑的⊙O上的eq\o(CD,\s\u