半無(wú)線長(zhǎng)桿中卸載邊界傳播特性

半無(wú)限長(zhǎng)桿中卸載邊界的傳播特性翟文宇2014年5月9日

從前面的章節(jié)可知，除了在卸載擾動(dòng)是強(qiáng)間斷或塑性加載擾動(dòng)是強(qiáng)間斷的情況外，一般情況下彈塑性邊界并非應(yīng)力擾動(dòng)、應(yīng)變擾動(dòng)或指點(diǎn)速度擾動(dòng)本身的傳播軌跡。彈塑性邊界雖然不是力學(xué)擾動(dòng)本身的傳播，但它的位置也隨時(shí)間變化，這就是所謂的彈塑性邊界的傳播。前言正文邊界傳播速度局部線性化法邊界傳播速度

彈塑性邊界的傳播速度一般是隨著彈塑性波相互作用過(guò)程的進(jìn)行而不斷地變化著的，可以前進(jìn)，可以后退。

從加載——卸載的角度看，彈塑性邊界有從彈性區(qū)發(fā)展到塑性區(qū)的加載邊界，也有從塑性區(qū)卸載到彈性區(qū)的卸載邊界。對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)桿，彈塑性加載波是簡(jiǎn)單波，因此加載邊界容易確定，困難主要在于卸載邊界的確定。接下來(lái)我們用特征線法來(lái)分析一下半無(wú)限長(zhǎng)桿中弱間斷卸載邊界的一般傳播特性，討論一下傳播速度到底主要取決于哪些因素。邊界傳播速度如圖所示，考察弱間斷卸載邊界

（或者其反演）上任意一點(diǎn)及其鄰近點(diǎn)，它們通過(guò)卸載區(qū)中的點(diǎn)以特征線相聯(lián)系，其中是卸載區(qū)中左行特征線而是卸載區(qū)中右行特征線。在塑性加載區(qū)一側(cè)，經(jīng)點(diǎn)的左行特征線與經(jīng)點(diǎn)的右行特征線交于N點(diǎn)。邊界傳播速度由沿特征線的相容條件：和沿特征線的相容條件：消去，并考慮到在半無(wú)限長(zhǎng)桿的情況下和之間應(yīng)滿足簡(jiǎn)單波關(guān)系式：則可以得到：邊界傳播速度由特征線和表達(dá)式：來(lái)求和對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，考慮到和是相互獨(dú)立的，及，可得于是根據(jù)公式（4）可得邊界傳播速度當(dāng)時(shí)，可得弱間斷卸載邊界上任意一點(diǎn)處與之間的關(guān)系如下：另一方面，在塑性簡(jiǎn)單波區(qū)中，沿右行特征線有：而由特征線的表達(dá)式有：邊界傳播速度將式（10）帶回式（9），并令，則可得上任一點(diǎn)處與間的如下關(guān)系：

和均為已知，因而式（8）和式（11）消去后，就得到上任意點(diǎn)處卸載邊界傳播速度與該點(diǎn)處和三者間的關(guān)系如下：邊界傳播速度可以解出得在現(xiàn)在所討論的情況下，表示由塑性區(qū)進(jìn)入彈性區(qū)的卸載邊界。只要和不同時(shí)為零，則必定異號(hào)。于是由式（12）可知：這說(shuō)明半無(wú)限長(zhǎng)桿中卸載邊界傳播速度之值必在彈性波速值和塑性波速值之間。局部線性化法

對(duì)于解正問(wèn)題，有一種有效的近似方法，叫做局部線性化法。其基本思想為：把上述結(jié)果用于桿端，由于桿端處的載荷條件已作為邊界條件給出，其對(duì)t的各階偏導(dǎo)數(shù)均屬已知，因而由卸載開(kāi)始時(shí)和對(duì)t的各階偏導(dǎo)數(shù)中不同時(shí)為零的階數(shù)最低者，即可按照下式確定卸載邊界的初始傳播速度，也即平面上

在點(diǎn)的初始斜率。局部線性化法只要把初始段取得足夠短，就可以近似看做直線由所確定，而上的應(yīng)力值和質(zhì)點(diǎn)速度值可根據(jù)塑性加載區(qū)的已知解來(lái)確定，于