whx周期序列離散傅里葉級數及傅里葉變換

第六講2.3周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換2.4離散時間信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系學習目標了解傅里葉變換的幾種形式了解時域與頻域信號特性的對偶關系了解周期序列的傅里葉級數及傅里葉變換之間的關系了解離散時間信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系補充內容:Fourier變換的幾種可能形式

時間函數頻率函數連續(xù)非周期非周期連續(xù)—傅里葉變換（FT）周期連續(xù)離散非周期—傅里葉級數（FS）離散非周期周期連續(xù)—序列的傅里葉變換周期離散離散周期—離散傅里葉變換連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換(FT)時域連續(xù)函數造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數。連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(FS)時域連續(xù)函數造成頻域是非周期的譜，時域周期函數造成頻域的離散。離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換

時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應于頻域的連續(xù)離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換

一個域的離散造成另一個域的周期延拓，因此離散周期序列的傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的四種傅里葉變換形式的歸納時間函數頻率函數連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)(FT)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)(FS)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)(DFS)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)(DFT)§2.3.1周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對上式進行抽樣，得：導出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的傅氏級數開始的：因是離散的，所以應是周期的。，代入而且，其周期為，因此應是N點的周期序列。又由于所以求和可以在一個周期內進行，即

即，當在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結果是一致的。二、周期序列的DFS及其性質周期為N的正弦序列其基頻成分為：

K次諧波序列為：

但離散級數所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續(xù)傅氏級數的不同之處，即

因此注意與連續(xù)周期序列傅氏級數的區(qū)別周期序列的特點周期序列不能進行傅里葉變換，因為其在n=-到+都周而復始永不衰減，不滿足絕對可和條件。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數表達，周期序列也可用離散的傅氏級數來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。將周期序列展成離散傅里葉級數時，只需取k=0到(N-1)這N個獨立的諧波分量，所以一個周期序列的離散傅里葉級數只需包含這N個復指數J加權的復指序列的線性組合。二.的k次諧波系數的求法

1.預備知識注意：其他r時分子總是為零的表達式將式的兩端乘

，然后從n=0到N-1求和，則：3.離散傅氏級數的習慣表示法

通常用符號 代入，則：正變換：反變換：周期序列的DFS正變換和反變換：其中：

1)周期序列可展開為N次諧波的線性組合2）諧波系數也是一個由N個獨立諧波分量組成的傅立葉級數3）為周期序列，周期為N。周期序列的DFS小結周期序列的DFS小結DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內容（一個周期內信號的變化情況），其它的內容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質的聯(lián)系。2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中，的傅里葉變換是在Ω=Ωo處的單位沖激函數，強度是2π，即

對于時域離散系統(tǒng)中

，暫時假定其FT的形式與上式一樣，也是在ω=ω0處的單位沖激函數，強度為2π，即X(ejω)是在ω=ω0+2πr(r取整數)處強度為2π的單位沖激函數，這是因為

的周期性引起的。的頻譜如圖2-3所示。圖2-3的傅里葉變換逆變換計算如下

這是因為積分區(qū)間(-π，π)只包括一個單位沖激函數。以上利用沖激函數表示序列的傅里葉變換，對于一般的周期序列，可以用DFS表示為N次諧波疊加的形式，那么利用傅里葉變換可以將按各次諧波表示如下式中k=0，1，2，…，N-1，若讓k在±∞之間變化，上式可簡化為其中上式就是利用沖激函數，以及周期序列的離散傅里葉級數表示周期序列的傅里葉變換的表達式。例2.3.1設x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓得到的序列(如圖2-4(a)所示)，求序列的DFS與FT。解：(1)求DFS其幅度特性如圖2-4(b)所示。(2)求FT圖2-4序列x(n)的幅頻特性

序列x(n)的幅頻特性如圖2-4(c)所示。注意序列x(n)幅度特性和幅頻特性||的相似性，它們都可以表示周期序列的頻譜分布，但周期序列的||使用沖激函數表示的。2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬

信號傅里葉變換之間的關系

我們知道模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述

這里t與Ω的域均在±∞之間。從模擬信號幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號，即連續(xù)信號和采樣信號，它們之間的關系如下：

X(ejω)與Xa(jΩ)之間有什么關系，數字頻率ω與模擬頻率Ω(f)之間有什么關系，這在模擬信號數字處理中，是很重要的問題。為分析上面提出的問題，觀察令，代入上式后，再將Ω′用Ω代替圖模擬頻率與數字頻率之間的定標關系

例2.4.1設xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采樣頻率fs=200Hz對xa(t)進行采樣得到采樣信號和時域離散信號x(n)，求xa(t)和的傅里葉變換以及x(n)的FT。解：

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0處的單位沖激函數，強度為π，如圖2.4.2(a)所示。以fs=200Hz對xa(t)進行采樣得到采樣信號，其與xa(t)的關系式為將采樣信號轉換成序列x(n)，用下式表示：