初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計(jì)算直角三角形未知的邊長(zhǎng)、角度和面積，以及與之相關(guān)的幾何圖形的數(shù)量。1、明確解直角三角形的依據(jù)和思路在直角三角形中，我們是用三條邊的比來表述銳角三角函數(shù)定義的。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是解直角三角形的基礎(chǔ)。如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c（以下字母同），則解直角三角形的主要依據(jù)是（1）邊角之間的關(guān)系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝。（2）兩銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°。（3）三條邊之間的關(guān)系：。以上每個(gè)邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過解一元方程來求解。2、解直角三角形的基本類型和方法我們知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外還有三條邊及兩個(gè)銳角共五個(gè)元素，那么什么樣的直角三角形才可解呢？如果已知兩個(gè)銳角能否解直角三角形呢？事實(shí)上，解直角三角形跟直角三角形的判定與作圖有著本質(zhì)的聯(lián)系，因?yàn)橐阎獌蓚€(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此時(shí)直角三角形是確定的，所以這樣的直角三角形是可解的。由于已知兩個(gè)銳角的直角三角形是不確定的，它們是無數(shù)多個(gè)相似的直角三角形，因此求不出各邊的長(zhǎng)。所以，要解直角三角形，給出的除直角外的兩個(gè)元素中，必須至少有一個(gè)是邊。這樣，解直角三角形就分為兩大類，即已知一條邊及一個(gè)銳角或已知兩條邊解直角三角形。四種基本類型和解法列表如下：

已知條件解法一邊及一銳角直角邊a及銳角AB＝90°－A，b＝a·ctgA，斜邊c及銳角AB＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA兩邊兩條直角邊a和b，B＝90°－A，直角邊a和斜邊c，B＝90°－A，

例1、如圖1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的長(zhǎng)。分析一：所求AB是Rt△ABC的斜邊，但在Rt△ABC中只知一個(gè)銳角A＝α，暫不可解。而在Rt△ADE中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解Rt△ADE入手。解法一：在Rt△ADE中，，且∠A＝α，AE＝1，，在Rt△ADC中，，在Rt△ABC中，。分析二；觀察圖形可知，CD、CE分別是Rt△ABC和Rt△ACD斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。解法二：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，。說明：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形。這樣的問題，總是先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時(shí)經(jīng)常要用到。在解直角三角形的問題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的圖形（圖3），它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形。隨著D點(diǎn)在BC邊上位置的變化，會(huì)引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)許多不同的解直角三角形的問題，下面舉例加以說明。

例2、如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC邊上的中線。（1）若BD＝，∠B＝30°，求AD的長(zhǎng)；（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求證：tgβ＝2tgα。（1）分析：由AD是BC邊的中線，只知DC一條邊長(zhǎng)，僅此無法直接在Rt△ADC中求解AD。而在Rt△ABC中，由已知BC邊和∠B可以先求出AC，從而使Rt△ADC可解。解：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC·tgB＝2，在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，∴。（2）分析：α和β分別為Rt△ABC和Rt△ADC中的銳角，且都以直角邊AC為對(duì)邊，抓住圖形的這個(gè)特征，根據(jù)直角三角形中銳角三角比可以證明tgβ＝2tgα。證明：在Rt△ABC中，,在Rt△ADC中，,又∵BC＝2DC,∴tgβ＝2tgα。

例3、如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線。（1）若AB∶BD＝，求∠B；（2）又若BD＝4，求。分析：已知AD是∠BAC的平分線，又知兩條線段的比AB∶BD＝,應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到Rt△ADC中，先求出∠DAC即可求得∠B。解：（1）∵AD是∠BAC的平分線，,即,在Rt△ADC中，,∴∠DAC＝30°,∴∠BAC＝2∠DAC＝60°,∴∠B＝90°－∠BAC＝30°。（2）,BD＝4，∴AB＝BD＝4，∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝2，又∵BC＝AB·cosB＝6，∴＝BC·AC＝×6×2＝6。說明：解直角三角形時(shí)，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，找到解決問題的突破口。

例4、如圖3，在Rt△ABC中、∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD＝1，求AB。分析：已知的角度告訴我們，Rt△ABC和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往這個(gè)特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解。解：在Rt△ADC中，設(shè)DC＝x，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2x，AC＝x，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，BD＝1，∴1＋x＝x，∴x＝，∴AB＝AC＝x＝。說明：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關(guān)系布列方程。還要熟練地掌握特殊銳角的三角比值，以使解答過程的表述簡(jiǎn)潔。

例5、如圖4，在△ABC中、D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。分析：由數(shù)形結(jié)合易知，△ABC是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC為所求，已知的另外兩邊都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形。因此，可以過D作DE⊥BC，拓開思路。由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得AC。解：在△ABC中，設(shè)AC為x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根據(jù)射影定理,得：，即BC＝。再由射影定理,得：，即。在△BDC中，過D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，。在Rt△DEC中，，即，整理得。說明：本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用。還應(yīng)該注意，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法。3、解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用借助解直角三角形解決實(shí)際問題，包括度量工件、測(cè)量距離、工程技術(shù)等許多方面。解決問題的關(guān)鍵是要從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角之間的關(guān)系，從而通過解直角三角形使實(shí)際問題得到解決。例6、某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖5，根據(jù)圖示尺寸計(jì)算AC、BD和AB的長(zhǎng)度（保留三個(gè)有效數(shù)字）。分析；飛機(jī)機(jī)翼形狀為四邊形ABDC，要求其中三條邊的長(zhǎng)度，一方面應(yīng)使所求線段成為直角三角形的元素，另一方面，要設(shè)法將已知條件與未知量集中在某個(gè)三角形中以求解，這就需要恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形。解：過C作CE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于E。在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，CE＝5，∴AC＝CE≈×5＝。過D作DF⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于F，且與AC交于G，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝30°，DF＝5，∴BD＝，∴AB＝BF－AF＝BF－FG＝BF－（DF－DG）＝BF－（DF－CD）＝－（5－）≈（米）。說明：解決實(shí)際問題時(shí)，計(jì)算常有精確度的要求，應(yīng)注意近似計(jì)算的法則和規(guī)范表述。

例7、某勘測(cè)隊(duì)在山腳測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?8°，沿傾斜角為25°的山坡前進(jìn)800米后，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?2°，求山的高度（精確到米）。分析：先根據(jù)題意畫出示意圖（如圖6），BC為山高，AD為山坡，∠DAC＝25°，因?yàn)檠鼋菫橐暰€與水平線的夾角，所以∠BAC＝38°，AD＝800米，∠BDE＝62°，要直接在Rt△ABC中求BC不夠條件，必須設(shè)法先求出AB，這就需要根據(jù)已知條件，構(gòu)造直角三角形。解：過D作DF⊥AB于F，在Rt△ADF中，∠DAF＝38°－25°＝13°，∴AF＝AD·cos∠DAF＝800×＝，DF＝AD·sin∠DAF＝800×＝。在Rt△BDF中，∵∠DBF＝62°－38°＝24°，∴BF＝DF·ctg∠DBF＝×＝，∴AB＝AF＋BF＝＋＝，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝×＝（米）。答：山高為米。說明：在學(xué)過解斜三角形以后，解答本題會(huì)有更簡(jiǎn)捷的方法。說明：應(yīng)用問題盡管題型千變?nèi)f化，但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形。例8、如圖7所示，河對(duì)岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別