相似三角形知識點總結(jié)講解學(xué)習

相似三角形知識點總結(jié)我愛思考2：中國最高的樓——

臺北101大樓怎樣測量這些非常高大物體的高度？目錄1、相似多邊形知識點回顧2、相似三角形的判定3、相似三角形的性質(zhì)4、相似三角形的預(yù)備定理相似多邊形的判定：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形為相似多邊形.兩個條件要同時具備溫馨回顧：總結(jié)

相似多邊形概念：（1）相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.（2）相似多邊形的識別：如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似.（3）相似比：我們把相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.總結(jié)

相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．

問題情境在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比:三角形的邊長,周長,面積,角,發(fā)生什么關(guān)系？我愛學(xué)習總結(jié)

相似三角形的概念：（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，讀作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以寫成△ABC∽△DEF，也可以寫成△DEF∽△ABC，讀作△ABC相似于△DEF.定義判定方法全等三角形相似三角形回顧并思考三角、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

三角對應(yīng)相等,三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似角邊角ASA角角邊AAS邊邊邊SSS邊角邊SAS斜邊與直角邊HL

判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？總結(jié)

相似三角形的判定方法：（1）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；（2）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；（3）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形相似.（5）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；邊邊邊SSS已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求證：探究1證明：在線段（或它的延長線）上截取，過點D作，交于點E根據(jù)前面的定理可得.A1B1C1ABCDE∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C1ABC三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。邊邊邊SSS√求證：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE練一練已知：解：∵邊角邊SAS探究2已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求證：∠B=∠B1.你能證明嗎？如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之二兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似。邊角邊SAS√A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1.那么角邊角ASA角角邊AAS角角AAA1B1C1ABC已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：∠A=∠A1，∠B=∠B1.你能證明嗎？如果兩個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之三兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。角角AAA1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√∠A=∠A1，∠B=∠B1.如果兩個三角形有一個內(nèi)角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形一定相似嗎？一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定相似?！鰽CD∽△CBD∽△ABC練一練找出圖中所有的相似三角形。“雙垂直”三角形BDAC有三對相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1又∵∠ADB=∠A1D1B1=900∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1，∠BAC=∠B1A1C1∵AD，A1D1分別是∠BAC和∠B1A1C1的角平分線∴∠BAD=∠B1A1D1∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比A1B1C1ABCDD1探究4已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。知識要點真命題HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.

利用利用三角形相似可以解決一些不能

直接測量的物體的長度的問題

學(xué)校操場上的國旗旗桿的高度我們無法直接測量，你能否借助平行的太陽光線來測量呢？

輕松一刻ＡＢＯＡ′Ｂ′Ｏ′6m1.2m1.6m

古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，測量金字塔的高度。DEA(F)BO2m3m201m解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEF=BO==134OAFDOA·EFFD=201×23AFEBO┐┐還可以有其他方法測量嗎？一題多解OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面鏡總結(jié)

相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.（2）相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.（3）相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.理解ABCDEF相似三角形的周長比等于相似比嗎?從而由等比性質(zhì)有相似三角形的周長比等于相似比.思考已知：如圖，△ABC∽△A’B’C’，它們的相似比是K，AD、A’D’分別是高.求證：證明：∵△ABC∽△A’B’C’B’D’C’A’ABCD相似三角形的面積比等于相似比的平方.練一練：已知兩個三角形相似，請完成下列表格相似比周長比面積比22421010100如圖，△ＡＢＣ中，ＤＥ??ＦＧ??ＢＣＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，則Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四邊形ＤＦＧＥ:Ｓ四邊形ＦＢＣＧ=_________.1：3：5

已知:梯形ABCD中AD∥BC,AD=36cm,BC=60cm,延長兩腰BA,CD交于點O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,則OF=_______.ABCDEOF80cm運用

已知梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，若△AOD的面積為4cm2,△BOC的面積為9cm2,則梯形ABCD的面積為_________cm2ABCDO解:∴△AOD∽△COBS△AOD:S△COB=4:9∴OD:OB=2:3∴S△AOD:S△AOB=2:3∴S△AOB=6cm2∴梯形ＡＢＣＤ的面積為25cm2∵AD∥BC25總結(jié)

相似三角形判定的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交。所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交。所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。DABCE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC相似三角形判定的預(yù)備定理：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5ABCEDABCDE∵DE∥BCADAEACAB=∵∵DE∥BCADAEACAB=∵數(shù)學(xué)符號語言數(shù)學(xué)符號語言平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段的比相等

如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于點Ｏ，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個?請你寫出來.解：與△ABC相似的三角形有3個:

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO如圖，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）請找出圖中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1：4課堂小結(jié)1.相似圖形三角形的判定方法：定義預(yù)備定理判定定理一(三組對應(yīng)邊的比相等）判定定理二(兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等）判定定理三（兩角對應(yīng)相等）（三邊對應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）對應(yīng)角相等。對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)高的比等于相似比。對應(yīng)中線的比等于相似比。對應(yīng)角平分線的比等于相似比。2.相似三角形的性質(zhì)：（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等邊三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一個角是100°的兩個等腰三角形都相似。（6）有一個角是70°的兩個等腰三角形都相似。（7）若兩個三角形相似比為1，則它們必全等。（8）相似的兩個三角形一定大小不等。1.判斷下列說法是否正確？并說明理由?！獭痢獭痢獭痢獭岭S堂練習ABCDFE1、若BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出線段AE的長度嗎？2∴△BDF∽△BAC∵DF∥AC∴∴AC=10∴解：∵DE∥BC,DF∥AC∴四邊形DFCE為平行四邊形∴FC=DE=2，EC=DF=6321.566∴AE=AC-CE=10-6=4∴△BDM∽△BACABCMDE2、如圖：在△ABC中，點M是BC上任一點，MD∥AC，ME∥AB，若求的值。=

，BDABECAC25解：∵MD∥AC，∴==

，BDBA25BMBC∴=CECACMCB

=

35MCBC又∵ME∥AB，∴△CEM∽△CAB2份5份3份35=

1.鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高___8___m。

OBDCA┏┛1m16m0.5m？迎考精煉

2.某一時刻樹的影長為8米,同一時刻身高為1.5米的人的影長為3米,則樹高為__4____。

3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：設(shè)正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD與PN相交于點E。設(shè)正方形PQMN的邊長為x毫米。因為PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。80–x80=x120

4.小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h.（設(shè)網(wǎng)球是直線運動）ADBCE┏┏0.8m5m10m？2.4m

5.在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例，在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3