第一章(5)習(xí)題課

第一章習(xí)題課(場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)）1、描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的兩條基本規(guī)律是高斯定理、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理。相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為2、在靜電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分等于零，即這表明靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)線不閉合。3、一均勻靜電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)則點(diǎn)a（3、2）和點(diǎn)b（1、0）之間的電勢(shì)差為4、一“無限長(zhǎng)”均勻帶電直線沿Z軸放置，線外某區(qū)域的電勢(shì)表達(dá)式為V＝Aln(x2+y2)，式中A為常數(shù)，該區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量為：5、在圓心角為，半徑為R的圓弧上均勻分布著電荷q，試求：(1)圓心處的電勢(shì)；(2)圓心處的場(chǎng)強(qiáng)。任取一小段圓弧dl，其電量為解：電荷線密度圓弧在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)yRqOx的方向如圖所示yRqOx(在習(xí)題四、7中

=)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分為零6、半徑為R的球面上有一小孔，小孔的面積為ΔS,ΔS與球面積相比很小，若球面的其余部分均勻分布正電荷q，則球心O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小E=方向由O指向ΔS，電勢(shì)V=解:ΔS的電量為ΔS在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分別為?o完整球面在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分別為根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理根據(jù)電勢(shì)疊加原理?o7、一個(gè)半徑為R1的均勻帶電球面，帶電+q，其外套一個(gè)半徑為R2的同心均勻帶電球面。R2＞R1，外球面帶電–Q，求兩球面間的電勢(shì)差；若有一試驗(yàn)電荷q0從外球面處移到無限遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力作功多少？?R1R2–Q+qO解法一：由高斯定理可得解法二：以無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)則由電勢(shì)疊加原理可得內(nèi)球面電勢(shì)為外球面電勢(shì)為8、一半徑為R的“無限長(zhǎng)”圓柱形帶電體，其電荷體密度為=Ar(r＜R)，式中A為常數(shù)，試求：(1)圓柱體內(nèi)，外各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小分布；(2)選距離軸線的距離為R0(R0＞R)處為電勢(shì)零點(diǎn)，計(jì)算圓柱體內(nèi)，外各點(diǎn)的電勢(shì)分布。RSrh上底下底側(cè)面解：(1)作一半徑為r，高為h的同軸圓柱面為高斯面根據(jù)對(duì)稱性分析，圓柱面?zhèn)让嫔先我稽c(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向沿矢徑方向由高斯定理Rr>R時(shí),Srh上底下底側(cè)面hdr'r'即RrSh上底下底側(cè)面r<R時(shí)，即(2)電勢(shì)分布r>R時(shí)r<R時(shí)解：利用均勻帶電球殼產(chǎn)生電勢(shì)的結(jié)果和電勢(shì)疊加原理來計(jì)算，作一半徑為r，厚度為dr的球殼其電量為9、球殼的內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，殼體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為，A、B兩點(diǎn)分別與球心O相距r1和r2，(r1＞R2，r2＜R1)，求A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)。AOR2R1Br1rdrr2（1）A點(diǎn)處，r1

>R2

AOR2R1Br1rdrr2（2）B點(diǎn)處，r2

<R1解[2]：利用高斯定理求均勻帶電球殼產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布，再由電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系求電勢(shì)分布。以O(shè)點(diǎn)為中心，r為半徑作高斯球面，由電荷分布的球?qū)ΨQ性可知電場(chǎng)分布有球?qū)ΨQ性AOR2R1Br1r2Sr∴根據(jù)高斯定理∴∴得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布(1)A點(diǎn)處，r1

>R2

(2)B點(diǎn)處，r2

<R1

=010.(第一章習(xí)題二.9)無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面，電荷面密度為，半徑為R，求圓柱面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。Rr為高斯面,作一半徑為r，高為h的同軸圓柱面解：根據(jù)對(duì)稱性分析，圓柱面?zhèn)让嫔先我稽c(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向沿矢徑方向。(1)r<R時(shí),

由高斯定理(2)r>R時(shí),∴的方向垂直軸線沿徑向，>0則背離軸線；<0則指向軸線。即由高斯定理即得得11、無限大的均勻帶電平面，電荷面密度為，P點(diǎn)與平面的垂直距離為d，若取平面的電勢(shì)為零，則P點(diǎn)的電勢(shì)，若在P點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)電子(其質(zhì)量為m，電量絕對(duì)值為e)則電子到達(dá)平面的速率為：

Pd解法一:,方向如圖場(chǎng)強(qiáng)大小P點(diǎn)的電勢(shì)電子受電場(chǎng)力大小為方向指向平面電子加速度大小為∵電子在P點(diǎn)的電勢(shì)能電子在平面上的電勢(shì)能電子在P點(diǎn)和平面上的動(dòng)能分別為0和平面上的電勢(shì)解法二:P點(diǎn)電勢(shì)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，能量守恒電子到達(dá)平面時(shí)的速率為12、求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)。解：（1）求電勢(shì)分布根據(jù)電勢(shì)疊加原理（2）求場(chǎng)強(qiáng)分布采用球面坐標(biāo)系，其極軸沿電矩方向。由于軸對(duì)稱性，V與方位角無關(guān)?？梢姡冀K在極軸與

組成的平面內(nèi)在電偶極子的延長(zhǎng)線上在電偶極子的中垂面上與前面的結(jié)果相同。設(shè)與夾角為，則

=0或，E

=0

=/2，Er=0，13、(教材P.54.1-19)設(shè)氣體放電形成的等離子體圓柱體內(nèi)的電荷體密度為=

0/[1+(r/)2]2，式中r是到軸線的距離，0是軸線上的電荷體密度，

是個(gè)常量，求場(chǎng)強(qiáng)分布。解：該體具有軸對(duì)稱性，可用高斯定理求解作一同軸高斯圓柱面，其高為h，半徑為r，電場(chǎng)的方向垂直于軸，在圓柱側(cè)面上E為常量而即14、(教材P.54.1-20)設(shè)有一均勻帶電球體，電荷體密度為，半徑為R，今在帶電球體內(nèi)挖去一個(gè)半徑為b的小球，帶電球體中心到空腔中心的距離為a，（1）求帶電球體中心O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；（2）計(jì)算空腔內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布。Rbaoo1解：設(shè)Q為任一點(diǎn)，空腔中電荷分布可看作球心在O點(diǎn)半徑為R，電荷體密度為

的實(shí)心均勻帶電球和球心在O1點(diǎn)半徑為b

，電荷體密度為的實(shí)心均勻帶電球的疊加結(jié)果，因此Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)是這兩帶電球體在該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的疊加。Rbaoo1(1)兩帶電球分別在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：根據(jù)疊加原理可得O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：(2)設(shè)Q點(diǎn)為空腔內(nèi)任意一點(diǎn)，O點(diǎn)至Q點(diǎn)的矢徑為，O1點(diǎn)至Q點(diǎn)的矢徑為，則由高斯定理可得Q設(shè)>0，則方向如圖根據(jù)疊加原理可得Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：Rbaoo1Q∴空腔內(nèi)為一均勻電場(chǎng)∵Q點(diǎn)為空腔中任意一點(diǎn)，為一常矢量[討論]求O、O1連線上M點(diǎn)和P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和(以代表沿方向的單位矢，rM、rP分別代表M、P與O的距離)，?P