科技論文中的方法(五步法)

科技論文中的方法1.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性1.2、靈敏度分析主講：朱家明Mathematicalmodeloffivestepmethod

數(shù)學(xué)1.1、五步方法化最優(yōu)數(shù)學(xué)建模講座循序漸進(jìn)追求卓絕安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959建模電話箱：zhujm1973@163.com※2021/5/23※1.1、五步方法1、五步方法概要2、五步方法詳解1.2、靈敏性分析1、問題的提出2、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格下降速率r的靈敏性3、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于生長率g的靈敏性4、靈敏性的相對改變量1.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性1、關(guān)于穩(wěn)鍵性2、r,g不是常數(shù)時(shí)對模型結(jié)果的影響1.4、小結(jié)1.5、練習(xí)題數(shù)模方法之五步法※2021/5/23※1.1、五步方法1、五步方法概要數(shù)學(xué)模型解決問題的一般過程分五步，稱之為五步方法。⑴定義：⑵五個(gè)步驟：⑴提出問題；⑵選擇建模方法；⑶推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式；⑷求解模型；⑸回答問題?！?021/5/23※1.1、五步方法2、五步方法詳解例1.1、一頭豬重200磅，每天增重5磅，飼養(yǎng)每天需花費(fèi)45美分。豬的市場價(jià)格為每磅65美分，但每天下降1%，求出售豬的最佳時(shí)間。（1磅=0.454kg）⑴提出問題:即如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)問題。①列出問題涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝?；②寫出關(guān)于上述變量所做的假設(shè)，列出已知的或假設(shè)的這些變量之間的關(guān)系式(等式和不等式)；③用明確的數(shù)學(xué)語言寫出問題的目標(biāo)的表達(dá)式。變量、單位、等式、不等式、假設(shè)和目標(biāo)表達(dá)式等構(gòu)成完整的問題?！?021/5/23※1.1、五步方法①例1.1中，全部的變量包括：豬的重量w(磅)，從現(xiàn)在到出售豬期間經(jīng)歷的時(shí)間t(天),t天飼養(yǎng)豬的花費(fèi)C(美元),豬的市場價(jià)格p(美元/磅),售出生豬所獲得的收益R(美元),我們最終獲得的凈收益P(美元)。其他相關(guān)的參(非變)量:如豬的初始重量(200磅)等。②寫出關(guān)于上述變量所做的假設(shè)，考慮到參量在模型中的影響。豬的重量從初始的200磅按每天5磅增加有這里把變量的單位帶進(jìn)去,可以檢查所列式子的意義.該問題涉及到的其他假設(shè)包括:※2021/5/23※1.1、五步方法售價(jià)飼養(yǎng)成本收益利潤假設(shè)t≥0③目標(biāo)：求利潤或凈收益P的最大值。為了便于參考，下面對第一步所得的結(jié)果進(jìn)行了如下的歸納（見下表）※2021/5/23※1.1、五步方法變量：t=時(shí)間(天)w=豬的重量(磅)p=豬的價(jià)格(美元/磅)C=飼養(yǎng)t天的花費(fèi)(美元)R=售出豬的收益(美元)P=凈收益(美元)假設(shè)：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45tR=p·wP=R-Ct≥0目標(biāo)：求Ｐ的最大值注意：第一部分三個(gè)階段(變量、假設(shè)、目標(biāo))的確定不需要按特定的順序。圖1-1售豬問題的第一步的結(jié)果※2021/5/23※1.1、五步方法⑵選擇建模方法:即如何用數(shù)學(xué)方法來獲得解。①許多問題都可表成一個(gè)已有有效方法的標(biāo)準(zhǔn)形式.②應(yīng)用數(shù)學(xué)的多數(shù)研究，包含確定問題的一般類別，并提出解決該類問題的有效方法。③在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有許多的文獻(xiàn)，并且不斷取得許多新的進(jìn)展。一般很少有學(xué)生對選擇較好的建模方法有經(jīng)驗(yàn)或熟悉參考文獻(xiàn)。注意：下面除了極少例外，一般都給定所用的建模方法。如例1.1可定位為單變量優(yōu)化問題，或極大—極小化問題,建模方法為：設(shè)y=f(x)在x∈S處是可微的，若f(x)在x處達(dá)到極大或極小,則f?(x)=0。詳細(xì)可參閱微積分中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分的內(nèi)容.※2021/5/23※1.1、五步方法⑶推導(dǎo)模型公式:

即要把第一步得到的問題應(yīng)用于第二步，寫成所選建模方法需要的標(biāo)準(zhǔn)形式，以于我們運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的算法過程求解。

如：例1.1把問題中的變量名改換一下，在算法上就比較方便。P=R-C=p·w-0.45t

=(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t記y=P作為求最大值的目標(biāo)變量，x=t作為自變量，我們的問題就化為在集合S={x:x≥0}上求下面函數(shù)的最大值：

y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x.這是我們最熟悉不過的求一元函數(shù)極值問題。

※2021/5/23※1.1、五步方法⑷利用第二步中確定的標(biāo)準(zhǔn)過程求解這個(gè)模型。

如本例中即對y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x在區(qū)間x≥0上求最大值。

如圖可知y=f(x)關(guān)于x是二次的曲線圖，易得f'(x)=-0.1x+0.8則在點(diǎn)x=8處f'(x)=0.由f在區(qū)間(-∞,8)上單升,而在區(qū)間(8,+∞)上單減.故點(diǎn)x=8是整體最大值點(diǎn).且有f(8)=133.20,從而點(diǎn)(x,y)=(8,133.20)是f在整個(gè)實(shí)軸上的整體最大值點(diǎn),也是區(qū)間x≥0上的最大值點(diǎn)。圖1-2售豬問題的凈收益f(x)關(guān)于時(shí)間x的曲線圖05101520126128130132134xf(x)y=-0.05x2+0.8x+130※2021/5/23※1.1、五步方法⑸回答問題：回答第一步提問“何時(shí)售豬可以達(dá)到最大凈收益.由第四步我們得到的答案是在8天之后，可以獲得凈收益133.20美元。只要第一步假設(shè)成立，這一結(jié)果就是正確的。相關(guān)的問題及其他不同的假設(shè)可以按照第一步中的做法調(diào)整得到。由于我們處理的是一個(gè)實(shí)際問題（一個(gè)農(nóng)民決定何時(shí)出售他飼養(yǎng)的生豬），在第一步中會(huì)有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，這一過程稱為靈敏性分析。我們將在下一節(jié)進(jìn)行討論。本節(jié)主要介紹五步方法,下面將這一方法總結(jié)歸納成如下圖表,以便以后參考.※2021/5/23※1.1、五步方法第一步、提出問題.⑴列出問題涉及的變量，包括恰當(dāng)?shù)膯挝?⑵注意不要混淆了變量和常量;⑶列出你對變量所做的全部假設(shè),包括等式和不等式;⑷檢查單位從而保證你的假設(shè)有意義；⑸用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出問題的目標(biāo)。第二步、選擇建模方法.⑴選擇你問題的一個(gè)一般的求解方法；⑵一般地，這一步的成功需要經(jīng)驗(yàn)、技巧的對相關(guān)文獻(xiàn)有一定的熟悉程度；⑶在本書中，我們通常會(huì)給定要用的建模方法。第三步、推導(dǎo)模型的公式:

⑴把第一步中得到的問題重新表達(dá)成第二步選定的建模方法需要的形式；圖1-3五步方法圖※2021/5/23※1.1、五步方法⑵你可能需要將第一步中的一些變量名改成與第二步所用的記號一致；⑶記下任何補(bǔ)充假設(shè)，這些假設(shè)是為了使在第一步中描述的問題與第二步中選定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)而做的。第四步、求解模型.⑴將第二步中所選方法應(yīng)用于第三步得到的表達(dá)式;⑵注意你的數(shù)學(xué)推導(dǎo),檢查是否有錯(cuò)誤,答案是否有意義;⑶采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù),計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、圖形、數(shù)值計(jì)算的軟件等都能擴(kuò)大你解決問題的范圍,并減少計(jì)算錯(cuò)誤.第五步、回答問題.⑴用非技術(shù)性的語言將第四步中的結(jié)果重新表述；⑵避免數(shù)學(xué)符號和術(shù)語;⑶能理解最初提出問題的人就應(yīng)該能理解你給出的解答.圖1-3五步方法圖（續(xù)）※2021/5/23※1.2、靈敏性分析1、問題的提出⑵靈敏性分析是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要方面，具體內(nèi)容與所用的建模方法有關(guān),關(guān)于它的討論貫穿本書,下面僅對單變量優(yōu)化問題進(jìn)行靈敏性分析.⑶上用售豬說明五步法，圖1-1列出了求解的所有假設(shè)，雖然數(shù)據(jù)和假設(shè)都有非常詳細(xì)的說明，但還要再嚴(yán)格檢查，由于數(shù)據(jù)是由測量、觀察有時(shí)甚至完全是猜測得到的，故要考慮數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確的可能性。⑴上概要介紹五步法,從假設(shè)開始,但難保證假設(shè)都正確.故要考慮結(jié)果對每一條假設(shè)的敏感程度即靈敏性.①可靠性高的數(shù)據(jù):生豬現(xiàn)在的重量、豬現(xiàn)在的價(jià)格、每天飼養(yǎng)的花費(fèi)等易測量，確定性大；②可靠性低的數(shù)據(jù):豬的生長率g和價(jià)格的下降速率r.※2021/5/23※1.2、靈敏性分析2、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格下降速率r的靈敏性⑴粗分析前面我們假定r=0.01美元/天，現(xiàn)在假設(shè)r的實(shí)際值是不同的，對幾個(gè)不同的r值，重復(fù)前面的求解過程,我們會(huì)對問題的解關(guān)于r的敏感程度有所了解.即給定r對y=f(x)=(0.65-

rx)(200+5x)-0.45x求導(dǎo)，令f'(x)=0，可得相應(yīng)x值，下表1-1給出了選擇幾個(gè)不同的r值求出x的計(jì)算結(jié)果。表1-1售豬問題中最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格的下降速率r的靈敏性r(美元/天)x(天)r(美元/天)x(天)0.0080.0090.010.0110.01215.011.18.05.53.3※2021/5/23※1.2、靈敏性分析將上表1-1中的數(shù)據(jù)繪制在如下圖1-4中。圖1-4售豬問題中最佳售豬時(shí)間x關(guān)于價(jià)格的下降速率

r的曲線x(天)r(美元/天)2468101214160.0080.0090.0100.0110.012我們可以看到售豬的最優(yōu)時(shí)間x對參數(shù)r是很敏感的.⑶x對價(jià)格下降速率r靈敏性的系統(tǒng)分析將r作為未知的參數(shù),仍按前面的步驟求解(見下頁):※2021/5/23※1.2、靈敏性分析①出售價(jià)格:p=0.65-rt;②目標(biāo)函數(shù):y=f(x)=(0.65-rx)(200+5x)-0.45x

=130+2.8x-200rx-5rx2;③求導(dǎo)f'(x)=2.8-

200r-10rx;④使f'(x)=0的點(diǎn)為

x=(7-500r)/25r.若要x≥0,只要0<r≤0.014,最佳售豬時(shí)間可由x=(7-500r)/25r給出,對r>0.014,在[0,+∞)上都有f‘(x)<0,最佳售豬時(shí)間為x=0.圖1-5給出了r=0.015的情況.圖1-5售豬問題的凈收益f(x)在r=0.015關(guān)于時(shí)間x的曲線圖0510152090100110120130xf(x)y=-0.075x2-0.2x+130※2021/5/23※1.2、靈敏性分析3、最佳售豬時(shí)間x關(guān)于生長率g的靈敏性前面我們假定g=5磅/天，一般地,我們有如下步驟①出售重量:w=200+gt;②目標(biāo)函數(shù):y=f(x)=(0.65-

0.01x)(200+gx)-0.45x

=130+0.65gx-2.45x-0.01gx2;③求導(dǎo)

f'(x)=0.65g-

2.45-0.02gx;④使f'(x)=0的點(diǎn)為

x=5(13g-49)/2g.若要x≥0,最佳售豬時(shí)間可由

x=5(13g-49)/2g

給出,圖1-6給出了最佳售豬時(shí)間和生長率g之間的關(guān)系.圖1-6售豬問題中最佳售豬時(shí)間關(guān)于生長率g的曲線圖34567-10-50510gxx=5(13g-49)/2g15※2021/5/23※1.2、靈敏性分析4、靈敏性的相對改變量⑴意義:相對改變量比絕對改變量更自然、更實(shí)用,例如r的10%下降導(dǎo)致了x的39%的增加,g的10%下降導(dǎo)致了x的34%的下降.⑵x對r的靈敏性:對售豬問題中,由x=(7-500r)/25r可得在點(diǎn)r=0.01.即若r增加1%,則導(dǎo)致了x的3.5%下降.即r對x的彈性※2021/5/23※1.2、靈敏性分析⑶x對g的靈敏性:對售豬問題中,由x=5(13g-49)/2g可得在點(diǎn)g=5.若g增加1%,則x上升3.0625%,即多等侍約3%的時(shí)間.即g

對x的彈性注意:⑴靈敏性分析的成功應(yīng)用要有好的判斷力,即不可能也不必要對模型中每個(gè)參數(shù)都進(jìn)行靈敏性分析,要選擇較大不確定的參數(shù);⑵對靈敏性的解釋要依賴于參數(shù)的不確定程度;⑶原始問題中的數(shù)據(jù)的不確定程度也會(huì)影響我們對答案的自信度.如售豬問題中,豬的生長率g比價(jià)格下降率r更可靠.※2021/5/23※1.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性1、關(guān)于穩(wěn)鍵性⑴穩(wěn)鍵性:一個(gè)數(shù)學(xué)模型不完全精確，但由其導(dǎo)出的結(jié)果仍是正確的，我們稱這個(gè)模型有穩(wěn)鍵性.⑵研究的理由：實(shí)際問題中，我們不會(huì)有絕對準(zhǔn)確的信息，即使建立一個(gè)完美的精確的模型，也可能采用較簡單和易于處理的近似方法。⑶數(shù)據(jù)假設(shè)與其它假設(shè)：靈敏性分析的過程(數(shù)據(jù)的相關(guān)變化),是一種根據(jù)對數(shù)據(jù)提出的假設(shè)來評估模型的穩(wěn)鍵性的方法。在提出問題中，還有其它假設(shè)要檢查。由于數(shù)學(xué)處理的方便和簡化的目的，常要做一些假設(shè)，建模者有責(zé)任考察假設(shè)是否特殊，會(huì)導(dǎo)致建模結(jié)果的無效?！?021/5/23※1.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性⑷對售豬問題：圖1-1列出了全部假設(shè)，除了數(shù)據(jù)的取值外，主要的假設(shè)是豬的重量和價(jià)格都是時(shí)間的線性函數(shù)。這顯然是做了簡化，不可能嚴(yán)格滿足的。比如：由線性假設(shè)，一年后，豬的重量是

w=200+5t=200+5×365=2025磅一年后價(jià)格為p=0.65-0.01t=0.65-0.01×365=-3美元/磅顯然：線性假設(shè)不合理，更實(shí)際的模型既要考慮函數(shù)的非線性性，又要考慮隨時(shí)間的不確定性的增加。若假設(shè)錯(cuò)誤，模型怎能給出正確答案？雖然模型力求完美，但這難以達(dá)到。確切地說：數(shù)學(xué)模型力求接近完美。好模型有穩(wěn)鍵性，是指雖然它給出的答案不完全精確，但足夠近似從而可以在實(shí)際問題中應(yīng)用?！?021/5/23※1.3、穩(wěn)定性與穩(wěn)健性2、r,g不是常數(shù)時(shí)對模型結(jié)果的影響⑴考察售豬問題中的線性假設(shè)重量:w=200+rtTw=w(t)價(jià)格:p=0.65-gtTp=p(t)T收益:P(t)=pw-0.45t令P′(t)=0Tp′w+pw′=0.45每天利潤的增值每天投入的資金其中

p′w代表因價(jià)格下降而損失的價(jià)值;